Изгиб колонны
Синусоида встречается при рассмотрении изгиба колонны под действием вертикальной нагрузки. Если нагрузка слишком мала, колонна не изгибается совсем. Но если нагрузка достигнет некоторого значения, называемого критическим, то колонна начнет изгибаться, причем ее ось примет форму синусоиды. В этом можно убедиться на опыте, сгибая вместо колонны металлическую линейку. Критическая сила равна:
,
где l - высота колонны, а числа Е и I зависят от материала колонны и размеров ее сечения. Из формулы видно, что чем длиннее колонна, тем меньшая сила нужна, чтобы ее согнуть. Это также можно проверить, изгибая линейку.
Биения
Довольно сложная картина возникает, когда складываются колебания различной частоты. При этом уже получаются несинусоидальные колебания. Если частоты w1 и w2 складываемых колебаний близки друг к другу, то получающееся колебание имеет вид как бы синусоидального колебания с частотой (w1+w2)/2, амплитуда которого медленно меняется с частотой ¦(w1-w2)/2¦. Это явление называют биениями. Может случиться, что мы не воспринимаем слагаемых колебаний из-за того, что их частота слишком велика, но можем воспринять медленное изменение амплитуды суммы колебаний. Например, если электрическая лампочка присоединена к динамо-машине, дающей переменный ток с периодом Т = 1/50 сек., то изменения в яркости лампочки будут незаметными. Если же присоединить эту лампочку к двум динамо-машинам, периоды которых мало отличаются друг от друга, то возникнут биения и лампочка начнет мигать.
Возникают биения и на двухвинтовом корабле, если винты имеют близкие, но различные периоды вращения. Приходится учитывать биения и композиторам. Колебания с периодически меняющейся амплитудой применяют в радиотехнике. Радиостанции посылают в пространство электромагнитные колебания с очень большой частотой (от 150 тыс. до 15 млн. колебаний в секунду). Амплитуда же этих колебаний меняется примерно со звуковой частотой (несколько сотен или тысяч колебаний в секунду). Такого изменения амплитуды можно добиться, вызвав биения. Этот прием называют частотной модуляцией.
Приливы и отливы
Очень интересный пример биений дают океанские приливы и отливы. Из-за притяжения Луны и Солнца уровень воды в океане все время меняется. Примерно каждые 12 час. уровень воды достигает наивысшего значения, а через 6 час. после этого - наинизшего. Однако из-за вращения Луны вокруг Земли период колебаний уровня воды, вызываемых притяжением Солнца, не совпадает с периодом колебаний уровня воды, вызываемых притяжением Луны. Первый период равен 12 час., а второй - 12 час. 25 мин. В результате сложений этих колебаний, имеющих близкие периоды, получаются биения. Самая большая высота приливов превосходит примерно в 2 раза самую малую [3].
Спектральный анализ
Любое самое сложное периодическое колебание можно изобразить как сумму синусоидальных колебаний (т. е. таких, что их графики имеют форму синусоиды). Частоты этих синусоидальных колебаний называют спектром сложного колебания, а само разложение - спектральным анализом колебания.
Это название не случайно. Разложение луча света в спектроскопе связано с разложением сложного электромагнитного колебания на простые синусоидальные составляющие.
Спектральный анализ применяют также к звукам и другим колебаниям. С помощью спектрального анализа удается установить особенности тембра голоса певца и т.д.
В технике пользуются спектральным анализом колебаний для того, чтобы правильно рассчитывать различные конструкции. Например, может случиться, что частота одной из синусоидальных составляющих колебаний самолета, вызванных работой моторов, совпадет с собственной частотой колебаний какой-нибудь детали самолета. Тогда из-за резонанса при работе моторов возникнут сильные колебания этой детали, что может привести к аварии [3].
Почему не работал трансатлантический кабель
Когда проложили телеграфный кабель через Атлантический океан, то оказалось, что по нему нельзя передавать телеграммы. Вместо точек и тире на другом конце кабеля принимались совершенно непонятные сигналы. Исследованием работы кабеля занялся известный английский физик и математик Кельвин. Для этого он сначала разложил сигналы на синусоидальные составляющие и изучил, как передаются по кабелю эти составляющие. Оказалось, что колебания различной частоты передаются по-разному. Одни из них идут быстрее, другие медленнее, одни сильно ослабевают, а другие меньше. Поэтому, когда эти составляющие приходят на другой конец кабеля, то их сумма становится совсем непохожей на передававшиеся сигналы. Кельвин нашел, от чего зависит изменение скорости и силы синусоидальных колебаний, и указал, как сделать кабель, чтобы колебания любой частоты шли по нему с одинаковой скоростью и одинаково ослабевали. Когда по его указаниям переделали кабель, сигналы стали передаваться без искажений и трансатлантическая связь наладилась [3].
Радиоприемник и камертон
Иногда вместо разложения колебания на синусоидальные составляющие стараются выделить из всего колебания одну составляющую определенной частоты. Именно это делают, когда настраивают радиоприемник на определенную частоту; из сложного электромагнитного колебания, вызванного работой всех радиостанций, ловят колебание, вызванное работой нужной станции. Точно так же камертон отзывается только на ту ноту, на которую он настроен [11].
2.2 Функции в природе
Природа и математика, казалось бы, совершенно несовместимы. Для описания природных явлений существуют естественные науки. Действительно ли это так? Каким образом функции связаны с природой и природными явлениями?
Конические сечения
Конические сечения были известные ещё математикам древней Греции. Наиболее полное сочинение по этим кривым «конические сечения» Аполлония Пергского (200 г. До н.э.) Он первый описал фокусы эллипса и гиперболы. Папп Александрийский первым описал и вывел общее уравнение для конического сечения параболы и вывел общее уравнение для конического сечения, как геометрического места точек, для которых отношение расстояний до точки фокуса и директрисы постоянно.
Коническое сечение - пересечение плоскости с поверхностью конуса. Существует 3 главных типа сечений: эллипс, парабола, гипербола, кроме того, существуют вырожденные сечения: прямая, точка, пара прямых.
Зрение и конические сечения
Конические сечения описывают функционирование органов зрения человека. Область зрения представляет собой конус, в котором находится двояковыпуклая линза - хрусталик глаза. Любая оптическая иллюзия, перспектива или проекция так или иначе представляют собой коническое сечение. Разберем, где же в природе используются конические сечения.
Эллипс
В античную эпоху ученые астрономы считали, что Земля располагается в центре Вселенной и все небесные тела вращаются вокруг неё, эта теория носила название геоцентрической. Её развенчал польский астроном Николай Коперник в 1534 году, создавший гелиоцентрическую модель мира, доказывавшую, что Солнце не может вращаться вокруг Земли, как бы это не хотелось Птолемею, Аристотелю и их последователям.
Земля вращается вокруг Солнца по эллиптической траектории, называемой орбитой, её длина около 940 миллионов км и это расстояние планета проходит за 365 суток 6 часов 9 минут и 9 секунд. По прошествии четырех лет эти шесть часов накопляются в сутки, они добавляются к году как еще один день (29 февраля), такой год високосный. Да и мама планета Земля имеет форму эллипса (Рисунок 2.3) [8].
Рисунок 2.3
Парабола в природных явлениях
Общая физическая картина радуги была уже четко описана Марком Антонием де Доминисом (1611). На основании опытных наблюдений он пришел к заключению, что радуга получается в результате отражения от внутренней поверхности капли дождя и двукратного преломления - при входе в каплю и при выходе из нее. Рене Декарт дал более полное объяснение радуги в своем труде “Метеоры” в главе “О радуге” (1635) [3]. Декарт пишет: “Во-первых, когда я принял во внимание, что радуга может появляться не только на небе, но также и в воздухе вблизи нас каждый раз, когда в нем находятся капли воды, освещенные солнцем, как это иногда можно видеть в фонтанах, мне легко было заключить, что она зависит от того, каким образом лучи света действуют на эти капли, а от них достигают нашего глаза; далее, зная, что эти капли шарообразны, и видя, что и при больших и при малых каплях радуга появляется всегда одинаковым образом, я поставил себе целью создать очень большую каплю, чтобы иметь возможность лучше ее рассмотреть. Для этого я наполнил водой большой стеклянный сосуд, вполне круглый и вполне прозрачный и пришел к следующему выводу…” Ниже представлен рисунок из данной работы (Рисунок 2.4) [10].
Рисунок 2.4
Рис. 2.5
Этот вывод повторяет и уточняет результат, полученный Доминисом. В частности, Декарт обнаружил, что вторая (внешняя) радуга (Рисунок 2.5) возникает в результате двух преломлений и двух отражений [10].
Струя воды, вытекающая под напором из трубки, принимает форму параболы, так как каждая частица воды движется по параболе, подобно шарику, брошенному под углом к горизонту (Рисунок 2.6) [1].
Рисунок 2.6
Спираль и моллюски
Спираль - это плоская кривая линия, многократно обходящая одну из точек на плоскости, эта точка называется полюсом спирали. Полюсом логарифмической спирали является начало координат. Спираль носит такое название, так как ее уравнение содержит логарифмы. Такая спираль имеет бесконечное множество витков и не проходит через свой полюс.
Рис. 2.7
Логарифмическую спираль (Рисунок 2.7) называют равноудаленной спиралью, так как в любой её точке угол между касательной к ней и радиус-вектором сохраняет постоянное значение.
Где же в природе используется логарифмическая спираль? Раковины улиток и моллюсков (Рисунок 2.8, Рисунок 2.9), морские коньки, папоротники, океанские волны (Рисунок 2.10), чешуйки сосновой шишки, паутина (Рисунок 2.11), которую плетут некоторые виды пауков, семена подсолнуха (Рисунок 2.12) и пр. представляют собой не что иное, как математическую кривую - логарифмическую спираль.
Рисунок 2.8
Рисунок 2.9
Рисунок 2.10
Рисунок 2.11
Рисунок 2.12
Рис. 2.13
Тому, кому этих примеров окажется недостаточно, можно посоветовать обратить свое внимание на более «высокие» сферы: галактики открытого космоса (в том числе галактика, включающая в себя Солнечную систему) (Рисунок 2.13), облака, образующие циклоны (2.14), хвосты комет, ураганы, следы от врезавшихся в землю метеоритов и пр. - все это явления в природе логарифмической спирали, которую также называют равноугольной, изогональной, чудесной, спиралью роста, спиралью Декарта (по имени философа, открывшего ее в XYII веке) и спиралью Бернулли (по имени ученого, посвятившего свою жизнь ее изучению). Кроме того, можно просто-напросто согнуть указательный палец, который примет форму золотой спирали - спирали, витки которой находятся по отношению друг к другу в пропорции золотого сечения.
Рисунок 2.14
Надо отметить, что многие ученые, философы и даже поэты преклонялись перед красотой и изяществом логарифмической спирали: не зря И.В. Гете признал эту кривую символом жизни и развития человеческой души, а швейцарский математик Якоб Бернулли, пораженный способностью логарифмической спирали реагировать на любые изменения и трансформации полным восстановлением, сделал ее своеобразным символом воскресения.
Краткие выводы: Таким образом, есть множество явлений и процессов, которые можно рассматривать с точки зрения функции, что позволяет глубоко изучать и анализировать эти явления и процессы, давать им точное математическое описание.
Заключение
Основные научные результаты исследования:
1. Уточнены сущность и содержание понятий «функция», «виды функций», «графики функций»
2. Изучено использование функций, для описания процессов, происходящих в технических устройствах и природных явлениях.
3. Предложены задачи, демонстрирующие связь технических устройств и методов, а также природных явлений, с понятием функции, позволяющие укрепить межпредметные связи.
Цель работы достигнута, все поставленные задачи реализованы.
Подводя итог, отметим, что в процессе работы мною было изучено 13 литературных источников, проведен анализ и систематизация данных, полученных из них. Рассмотрены основные понятия, касающиеся проблемы исследования. Собраны данные об историческом происхождении понятия функция и о практическом применении различных видов функций в технических устройствах, физических опытах, и природных явлениях.
В ходе написания курсовой работы мне удалось показать, что такой важный объект математического аппарата и мышления как функция может послужить для развития мета предметных компетенций учащихся, а так же для повышения заинтересованности учащихся в математике. В своей работе я показала, что функция используется не только в математике, но и во многих других науках и предоставила примеры практико-ориентированных задач, которые позволят укрепить межпредметные связи.
Данная работа может быть использована при подготовке к проведению уроков и факультативных занятий по математике для повышения заинтересованности в предмете учащихся различных возрастов.
Список используемой литературы
1. Банников, А.Г., Генкель, П.А. Детская энциклопедия / А.Г. Банников, П.А. Генкель. - М.: Педагогика, 1973. - Т. 4. - 448 с.
2. Баханьков, А.Е. [и др.] Толковый словарь русского языка / А.Е. Баханьков [и др.]. - Минск: Народная асвета, 1995. - 335 с.
3. Виленкин, Н.Я. Функции в природе и технике / Н.Я. Виленкин. - М.: Просвещение, 1985. - 192 с.
4. Зельдович, Я.Б., Яглом, И.М. Высшая математика для начинающих физиков и техников / Я. Б. Зельдович, И.М. Яглом. - М.: Наука, 1982. - 512 с.
5. Зорич, В.А. Математический анализ. Часть 1 [Электронный ресурс] // The University of Chicago.