Курсовая работа: Функции в природе и технике

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

где:

F - нормальная составляющая силы,

S - площадь поверхности, по которой распределено действие силы,

- длина деформируемого стержня,

- модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина ).

Если из вещества с модулем Юнга Е кг/см² сделать стержень длиной 1м и сечением 1 см² и подвесить к этому стержню гирю в 1 кг, то он вытянется на 1/E м. Например, для стали модуль Юнга равен 2 150 000 кг/см², а для дуба - 105 000 кг/см², то есть в 20 раз меньше.

Чем больше значение модуля Юнга, тем меньше прогиб балки. Поэтому стальные балки прогибаются намного меньше, чем деревянные.

Исследование зависимости прогиба балки от материала, из которого она сделана, - это скорее дело физики, чем математики. Математиков больше интересует зависимость прогиба от длины балки и от размеров и формы ее сечения. А то, что форма сечения влияет на прогиб, легко видеть из простого опыта. Обычную линейку просто согнуть, если она лежит ее плашмя, и трудно, если поставить на ребро.

Такой простой опыт ещё показывает и то, что прогиб зависит не от площади сечения (ведь площадь сечения линейки одна и та же, лежит она плашмя или поставлена на ребро). Оказывается, дело не в площади сечения, а в его моменте инерции. Момент инерции считают так: сечение балки мысленно разрезают на очень тонкие горизонтальные слои и площадь каждого слоя умножают на квадрат расстояния этого слоя от среднего слоя. Сумма этих произведений и дает момент инерции сечения данной балки. Подсчеты показывают, что момент инерции для круглого сечения радиуса R равен

,

а для квадратного сечения со стороной а равен

.

Произведение модуля Юнга на момент инерции сечения балки называют жесткостью балки. Чем больше жесткость, тем труднее изогнуть балку. Можно увеличить жесткость балки, не меняя площади ее сечения. Для этого надо сосредоточить основную массу балки на большом расстоянии от среднего слоя, например, придать сечению форму, изображенную на рисунке (Рисунок 2.1).

Рисунок 2.1

Прогиб балки

Прогиб балки зависит не только от ее жесткости, но и от длины балки, распределения нагрузки на неё, от того, каким образом и сколькими концами балка закреплена в стену, и другие факторы. Для того, чтобы найти наибольший прогиб данной балки, необходимо узнать форму, которую она принимает после изгиба.

Возьмем балку длины l, заделаем оба ее конца в стены и положим на нее равномерно распределенную нагрузку Q. Тогда прогиб у в точке, находящейся на расстоянии х от левого конца балки, выражается формулой:

Отношение называют интенсивностью нагрузки. Чем больше интенсивность нагрузки, тем сильнее изгибается балка.

Ясно, что самый большой прогиб балки будет в середине, т. е. при х = l/2. Он равен y_max = . Значит, если взять две балки из одного и того же материала, с одинаковой формой сечения, но разной длины, и подвергнуть их равномерно распределенной нагрузке, имеющей одну и ту же интенсивность, то длинная балка прогнется сильнее, чем короткая. При этом увеличение длинны балки вдвое, приведет к увеличению прогиба в 16 раз.

Балки, на которые опираются балконы, заделываются в стену лишь одним концом, второй же конец оставляют свободным. Такие балки называются консольными. Форма равномерно нагруженной консольной балки выражается уравнением:

В этом случае наибольший прогиб будет на свободном конце балки, при х = l. Он равен y_max = т. е. в 48 раз больше, чем для такой же балки, оба конца которой заделаны.[3]

Сосредоточенная нагрузка

Форма изогнутой балки зависит и от того, как распределена по ней нагрузка. Возьмем балку, оба конца которой свободно лежат на опорах, а нагрузку Q соберем в одну точку -- середину балки. Тогда форма изогнутой балки будет задаваться не одним, а двумя уравнениями. Для левой половины балки прогиб равен;

у_лев. =

а для правой:

у_пр. =

Наибольший прогиб будет на конце балки.

Число е. Натуральные логарифмы

Перейдем теперь к случаям, когда зависимость выражается показательной функцией. При записи законов физики, связанных с показательной функцией, удобно пользоваться особым числом, которое называется числом е. Это число можно определить следующим образом. Начертим графики функций (Рисунок 2.2) y = a^х при раз­ных значениях основания а. Чем больше это основание, тем круче поднимаются вверх графики [3].

Рисунок 2.2

функция технический процесс природный явление

Эти графики в точке А (0; 1) под разными углами пересекают ось Оу. Например, угол между осью Оу и кривой y = 2^х ра­вен приблизительно 55°15', а для кривой y = 3^х этот угол равен примерно 42°20'. Поэтому найдется такое число е, лежащее между 2 и 3, что кривая у = е^х пересечет ось Оу под углом 45°.

Более точные подсчеты показывают, что число е равно 2,71828... Логарифмы по основа­нию е называются натуральными. Они обозначаются lnx. Если мы знаем десятичный логарифм числа, то его натуральный логарифм можно найти по формуле lnx = lgx/M, где М = 0,43429... - так называемый модуль перехода.

Так где же используют логарифмы физики?

Например, давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону

,

где p₀ - давление на уровне моря,

p - давление на высоте h

H - константа, зависящая от температуры.

Один человек может удержать корабль

Когда корабль подходит к берегу, с него бросают на пристань канат. Здесь канат обматывают несколько раз вокруг столба и таким образом удерживают им корабль. Как же удается одному человеку удержать корабль? Оказывается, ему помогает сила трения. Если обмотать канат один раз вокруг столба, то из-за трения каната о столб можно уравнове­сить силой F₀ силу F, большую, чем F₀, в а раз. Отношение F/F₀ = а зависит от материала, из которого сделаны канат и столб. Например, если канат пеньковый, а столб железный, то a = 3,5. Иными словами, силой в 100 кН можно уравновесить (используя «помощь» силы трения) силу в 350 кН. Каждый новый оборот ка­ната вокруг столба увеличивает отношение сил еще в а раз. Таким образом, если обернуть канат два раза, то отношение удерживаемой и удерживающей сил будет равно а², а если три раза, то F/F₀ = a³. В общем случае, если число оборотов равно х (х может быть не целым числом), то F/F₀ = аx. Если обмотать пеньковый канат вокруг железного столба два раза, то силой в 100 кН можно уравновесить силу примерно в 1,2 Н, а при трехкратном обматывании - силу в 4,2 Н.

Радиоактивный распад вещества

Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени t₀ называется периодом полураспада вещества. Если пройдет еще t₀ лет, то из оставшейся половины распадется еще половина вещества и останется только четверть первоначального количества. Вообще через t лет масса вещества будет равна:

,

где m₀ - первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество. Например, у урана-238 период полураспада равен 4,5 млрд. лет. Значит, за все время существования Земли не распалось еще и половины первоначального запаса урана. А вот у радия период полураспада равен всего 1590 годам. Если бы миллион лет назад вся Земля состояла из радия, то сейчас на ней не осталось бы и одного атома радия. Существует же он лишь потому, что при распаде урана все время появляются новые атомы радия.

Остывание чайника

Вы, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающего воздуха. Чем меньше становится эта разность, тем медленнее остывает чайник. Чем больше чайник, тем значение k меньше и тем медленнее он остывает.

Допустим, температура чайника равнялась Т, а температура воздуха Т₀, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:

,

где k - число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количе­ства воды, которое в нем находится. Медленнее всего остывает шарообразный чайник. Так как для заданного объема шар имеет наименьшую площадь поверхности, то и площадь, на которой происходит теплопередача.

Почему парашютист падает равномерно

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти опреде­ленной величины.

Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т.е. что F = -kv, то через t секунд скорость падения будет равна:

(m - масса парашютиста). По прошествии некоторого времени станет очень малым числом и скорость падения будет почти в точности равна , т.е. падение станет равномерным. Коэффициент пропорциональности k зависит от плотности воздуха, размеров парашюта, площади падающего и т.д.

Написанная формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т. д. Из нее видно, что чем меньше отношение mg/k, тем медленнее падает тело. Этим и объясняется, почему пушинка падает медленнее камня: у нее маленькая масса, а площадь поверхности довольно большая, и воздух оказывает значительное сопротивление ее падению [3].

Как измеряют высоту при помощи барометра

Чем выше поднимаются в гору альпинисты, тем меньше становится давление воздуха. Этим можно воспользоваться для того, чтобы с помощью барометра определять высоту подъема. Как показывают расчеты, при постоянной температуре воздуха разность высот двух точек выражается такой формулой:

Здесь р₁ и р₂ - давление воздуха на высотах h₁ и h₂, р₀ - давление воздуха на уровне моря, w₀ - плотность воздуха при температуре 0°С и давлении р₀, Т - абсолютная температура воздуха.

Эта формула верна для не слишком больших высот.

Исследования, проведенные в Советском Союзе по программе Международного геофизического года при помощи ракет, показали, что на больших высотах имеют место другие законы изменения давления с высотой.

Вообще любая физическая формула имеет ограниченную область применения - она верна при одних условиях и перестает быть верной при других. Дело в том, что при выводе любой физической формулы делаются некоторые допущения, верные лишь приблизительно. Когда же эти допущения перестают быть верными, формула теряет силу.

Сколько топлива должна взять ракета

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении количества топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Это количество М зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости v₀, с кото­рой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.

Если пренебречь сопротивлением воздуха и притяжением Земли, то количество топлива определится формулой:

(формула К. Э. Циолковского)

Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8 км/сек, надо при скорости истечения газов 2 км/сек взять примерно 80 т топлива.

Если бы удалось увеличить скорость истечения газов до 4 км/сек, то понадобилось бы всего 10 т топлива. В общем, чем с большей скоростью v₀ вытекают газы из ракеты, тем меньше понадобится топлива.

Гармонические колебания

Было рассмотрено несколько примеров из физики и техники, в которых так или иначе встречается показательная функция. Теперь перейдем к рассмотрению примеров, связанных с тригонометрическими функциями.

Начнем с гармонических колебаний. Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине, и толкнем ее вниз. Гиря начнет колебаться вниз и вверх. Как показывают расчеты, отклонение гири от положения равновесия выражается фор­мулой

Здесь v₀ - скорость, с которой мы толкнули гирю,

,

где m - масса гири и k - жесткость пружины (сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).

Разряд конденсатора

Не только многие механические колебания происходят по синусоидальному закону. И в электрических цепях возникают синусоидальные колебания. I = I₀sin(wt+a). Частота w колебаний тока равна 1/vLC, где С - емкость конденсатора, a L - самоиндукция цепи. Этот закон очень похож на закон колебаний гири, только вместо жесткости пружины надо взять величину, обратную емкости конденсатора, а вместо массы гири - самоиндукцию катушки [3].

Как соединить две трубы

Приведенные примеры могут создать впечатление, что синусоиды встречаются только в связи с колебаниями. Однако это не так. Например, синусоиды используются при соединении двух цилиндрических труб под углом друг к другу. Чтобы соединить две трубы таким образом, надо срезать их наискосок. Если развернуть срезанную наискосок трубу, то она окажется ограниченной сверху синусоидой. В этом можно убедиться, обернув свечку бумагой, срезав ее наискосок и развернув бумагу. Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы, можно сначала обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу [3].