Учреждение образования
Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка
Физико-математический факультет
Кафедра математики и методики преподавания математики
Специальность «Математика и информатика»
Курсовая работа
Тема:
Функции в природе и технике
Выполнила: Иванова В.О.
Студентка 3 курса группы 240217
Научный руководитель:
к. ф.-м. н., доцент Э.В. Шалик
Минск, 2020
Оглавление
Введение
Функция является одним из основных понятий математики. Люди использовали функциональные зависимости, сами того не осознавая, еще в древние времена. В большинстве наук используются математические функции, для описания каких-либо явлений, закономерностей и законов.
Функциональная линия одна из важнейших в школьной программе. Понятие функции изучается на уроках математики, на уроках биологии, химии, физики и информатики ученики пользуются этим понятием для описания конкретных процессов. Значимость изучения функциональных зависимостей требует от педагогов четкого понимания роли сформированности понятия функции у обучающихся.
Данная работа является актуальной, в связи с тем, что в ней функция рассматривается не как абстрактный математический объект, а как важнейший инструмент для описания процессов действительность.
Цель исследования - теоретически обосновать и подтвердить практическими примерами значимость изучения функциональных зависимостей.
Задачи исследования:
1. Раскрыть сущность понятий «функция», «виды функций», «графики функций».
2. Выявить использование функций в технических устройствах и описании природных явлений.
3. Определить задачи, позволяющие применять полученную информацию на уроках математики, с целью укрепления межпредметных связей.
Объект исследования - функции.
Предмет исследования - использование функций для описания явлений природы, механизма работы некоторых технических приборов.
Методы исследования:
1. Изучение научной литературы.
2. Анализ и синтез полученной информации.
3. Обобщение и систематизация данных.
Теоретическая значимость исследования состоит в анализе и систематизации применения функциональной зависимости в природе и технике.
Практическая значимость исследования состоит в том, что представленный теоретический и практический материал исследования может быть использован студентами педагогических учебных заведений, учителями для проведения уроков математики, способствующих формированию необходимых компетенций у обучающихся.
Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы. В первой главе рассматриваются такие проблемы, как возникновение понятия функции, связь природы и техники с функциональным анализом. Во второй главе на конкретных примерах иллюстрируются использование функций для описания явлений природы и технического устройства некоторых приборов.
Глава 1. Теоретические основы изучения функции
1.1 Различные подходы к определению функции
Что есть функция? Вопрос, которым задаются не только начинающие математики и физики, но и люди, совершенно не связанные с точными науками.
Согласно словарю Ожегова у понятия функции большое число трактовок.
Начнем с одной из старейших наук, а именно - философии. Функция в философии - это «явление, зависящее от другого и изменяющееся по мере изменения этого другого явления» [2].
В биологии функция определена во многих отношениях. К примеру, в физиологии, функция представляет собой деятельность или процесс, осуществляемый с помощью системы в организме.
Функция в обще употребляемом смысле - это обязанность, круг деятельности того или иного человека. Например, служебные функции, функции профкома [2].
Функции так же находят широкое применение в экономической теории и практике. Экономика использует широкий спектр функций: от простейших линейных, до функций, получаемых с помощью рекуррентных соотношений. Например, кривые спроса и предложения.
Так чем же является функция в математике?
Говорят, что на множестве X имеется функция (отображение, операция, оператор) f со значениями из множества Y, если каждому элементу x из множества X по правилу f поставлен в соответствие некоторый элемент y из множества Y. [5]
Очевидно, что каждая из наук использует хотя бы одно определение функции. Но есть сферы деятельности человека, которые никак не могут обойтись без функциональных зависимостей. Как представить себе изучение физиками колебаний, без изучения синусоиды? Или изучения распада и полураспада? А возможно ли вообще представить законы природы и техники, без функций?
В дальнейшем, под функциональной зависимостью будем понимать следующее:
«Функциональная зависимость одной величины (у) от другой (х) означает, что каждому значению х соответствует определенное значение у.
Величина х при этом называется независимой переменной, у - функцией этой переменной.» (Рисунок 1.1) [4].
Рисунок 1.1
1.2 История формирования «функции» природой
Ещё до того, как люди ввели само понятие «функция», они использовали его, не осознавая этого. Понимание того, что чем большую силу ты приложишь, чтобы метнуть копье, тем дальше оно полетит. Чем больше костер развести в пещере, тем теплее там будет. Чем большего мамонта поймать, тем дольше будешь сыт [3].
Затем, с развитием земледелия и скотоводства, людям пришлось замечать зависимости между поливом и количеством урожая, и оперировать понятиями «больше», «меньше».
На следующей ступени развития люди стали развивать ремесло и обмен того, чего у них «больше», на то, чего им не хватает. Таким образом появились более сложные зависимости. За глиняный горшок нужно отдать две корзины ягод, то есть за три таких горшка нужно отдать шесть корзин.
С появлением поселений и цивилизаций зависимости становились все более сложными. Для построения одной египетской пирамиды, нужно было высчитать необходимое количество камня, а также человеческий ресурс, и время, которое будет затрачено. Всем этим занимались писцы. Из поколения в поколение передавались способы решения задач, и чем быстрее писцы с этим справлялись, тем большим уважением пользовались [3].
Но не только Древний Египет развивался в математике. В Вавилоне, «первом мегаполисе», для упрощения своих вычислений, стали создавать таблицы обратных чисел, квадратов чисел, а также таблицы сложения и умножения, что позволяло им рассчитывать длину гипотенузы, зная длинны катетов. Что по сути является нахождением значения функции, зная значения аргумента.
Наука Древней Греции отличалась от Египта и Вавилона. Здесь впервые появились учёные, которые изучали математику как науку. Они решали задачи на построения и смотрели за изменениями количеств решения задачи, в зависимости от изменений входящих данных. Но так и не создали общего понятия функции [3].
Вопросами практической математики в Греции в большей степени занимались астрономы. Уже в то время астрономами были заложены основы сферической тригонометрии. Чтобы решать тригонометрические задачи, пришлось составить таблицы зависимости между длинной хорды и величиной, стягиваемой ею дуги. В общем случае, это уже были таблицы функции y = sin x [3].
Следующая важнейшая ступень к понятию функции - это графики. В 14 веке началось исследование общих зависимостей, вся средневековая наука была словесной, опирающейся на высказывания древних философов и цитаты из религиозных книг. Николай Оресм (французский учёный того времени) первым стал изображать различные интенсивности отрезками различной длинны. Располагая данные отрезки перпендикулярно некоторой прямой и соединяя их другие концы, он получал линию, которую называл «линией интенсивности» или «линией верхнего края». Тем самым, он стал первым математиком, который построил графики функций. Ещё одним важным его достижением была попытка классификации полученных графиков на три группы: равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (скорость изменения интенсивности постоянна), неравномерные (все, не вошедшие в две другие группы). В работах данного ученого так же были совершены попытки дать определение мгновенной скорости и ускорения [3].
Идеи Орсема обгоняли тот уровень науки, в котором он находился, но для дальнейшего развития необходимо было выражать зависимости не только графически, но и буквенно. Так в 16 веке начала зарождаться буквенная алгебра [3].
Каким же образом и зачем возникло понятие переменной величины? Данное понятие было введено в математику французским философом и ученым Рене Декартом. Декарт решил убрать пропасть, которая еще со времен древнегреческой математики лежала между геометрией и арифметикой, тем самым объединив две науки в одну. Фридрих Энгельс писал:
«Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем» [7].
Термин «функция» (имея тогда очень узкий смысл, речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекциях на оси координат) впервые использовал Лейбниц в 1692 году. Тогда как, Иоганн Бернулли в своем письме к Лейбницу употребил этот термин в более близком смысле к тому, как функция определяется в современной математике, а именно «Функцией переменной величины называется количество, образованное, каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных» [3, 5].
В дальнейшем Эйлер так же дал свое определение для функции «когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых» (1751 год), а затем и Лакруа (1806 год), - в очень приближенном к современному виду [3].
Однако, общее определение функции в современной форме, но лишь для числовых функций, было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год). [13].
«Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению величины х соответствует единственное определенное значение величины у» [3].
В конце 20-го века понятие функции выходило за рамки только числовых систем. В начале оно распространилось на векторные функции, затем Фреге ввёл логические функции (1879), а вскоре после появления теории множеств и Дедекинд (1887), и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение [6].
1.3 Функции, их графики и методика изучения
Современные тенденции к усилению функциональной линии в школьной математике требует от учителя понимания исключительной роли функциональной зависимости, выделяющей её из основных математических понятий [9].
1) «Ни одно из других понятий не отражает явлений реальной действительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как понятие функциональной зависимости, в которой воплощены и подвижность, и динамичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин…
2) это понятие, как ни одно другое, воплощает в себе динамические черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственно препарированной неподвижности; в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве друг от друга…
3) понятие функциональной зависимости - есть основное понятие высшей математики и поэтому качество подготовки оканчивающих среднюю школу и усвоению курса математики в высшей школе в значительной степени измеряется тем, насколько твёрдо, полно и культурно они свыклись с этим важнейшим понятием.
Представление функциональной зависимости может войти в сознание учащихся как орудие математического мышления только при том условии, что к этому представлению они будут систематически приучаться на протяжении всего курса математики. Это не значит, что общее определение функции следует давать в младших классах, или, что термин «функция» должен навязываться в каждом удобном случае. Никаких абстрактных определений и никаких специальных терминов в младшей и средней школе. Непринуждённо, но в то же время настойчиво и планомерно должно вестись формирование навыков функционального мышления. Об этом учитель должен думать на каждом уроке - в любой теме арифметики, алгебры и геометрии найдётся материал, направляющий учащихся на ту сторону изучаемого вопроса, которую они позднее обозначают как функциональную связь между величинами.