1. Влияние изменений компонент арифметических операций на результат операций (как изменяется одна величина с изменением другой);
2. Буквенные формулы (от скольких и каких величин зависит величина, определяемая данной формулой);
3. Сколько и какие элементы в треугольнике надо знать, чтобы однозначно определить все остальные;
4. Чтобы определить площадь квадрата, достаточно знать длину одного отрезка (сторону или диагональ и т.д.), то же для площади круга. Но чтобы определить площадь прямоугольника или треугольника, нужно знать два или три отрезка.
5. Для определения рационального числа достаточно задать конечную группу цифр, а для иррационального - бесконечное множество;
6. Если в конечной десятичной дроби изменить первую цифру после запятой, то величина дроби измениться заметным образом, а если изменить, например, седьмую, то почти не изменится;
7. При увеличении числа сторон правильного многоугольника внутренний угол его растёт (сначала быстро, потом всё медленнее), а внешний угол убывает.
8. Корень уравнения ax = b, где a ?0, b?0 уменьшается, когда a увеличивается, и увеличивается, когда a уменьшается (то и другое безгранично).
9. Выражение n! очень быстро растёт при возрастании n; 3 n растёт быстрее, чем 2 n, n 2 растёт ещё быстрее.
Эти и многие другие примеры служат пропедевтикой к достаточно осознанному, действенному, а не формальному восприятию нового понятия и связанных с ним представлений и навыков» [12].
В настоящее время, когда существует большое количество школьных пособий, вопрос о наилучшем определении понятия функции по - прежнему стоит остро. У разных авторов под функцией понимают: переменную величину; зависимость, правило, закон, отношение, соответствие, множество пар. В действующих учебниках функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменой y. Данное определение не совершенно, т.к. переменную рассматривают как букву, вместо которой можно подставлять число, словно функция - это зависимость между самими буквами, сам же термин “зависимость” и примеры, которые иллюстрируют в учебнике понятие функции, создают у учащихся впечатление, будто с изменением значений x обязаны меняться и значения y. Хотя, позже в том же классе появляется функция, представленная формулой y = b, в которой вообще нет переменной x. В иных учебных пособиях функцией на множестве Х называется соответствие (правило, закон), по которому для любого х ? Х сопоставляется вполне определённое (единственное) y ? Y. Таким образом, множество Х, по определению задано, но далее рассматриваются задания: найти область определения, т.е. множество Х. Таким образом, следовало бы ввести пояснение, что если множество Х - не задано, то имеется самое широкое множество, на котором данное соответствие имеет смысл, а под E(y) понимается множество всех соответствующих f(x) ?x ? D(f) [9].
Общий план изучения рациональных функций:
1. Рассматривается какая-нибудь задача, решение которой сводится к применению свойств неизвестной учащимся функции. Например, из курса физики известно, что s = s0 +vt. Рассматривается ещё ряд задач, решение которых сводится к подобным функциям.
2. Устанавливается область определения функции, даётся название новой функции.
3. Составляется таблица значений новой функции.
4. На основании аккуратных построений учащиеся высказывают предположения о свойствах этой функции (график, убывание, возрастание, нули функции, область положительных значений, область отрицательных значений, наибольшее, наименьшее значение функции и т. д.)
5. Часть из выявленных свойств обосновывается (на соответствующем уровне строгости), часть остаётся без доказательств, отмечается, что будут доказаны после расширения теоретической базы.
6. Ставятся вопросы к полученному графику (для первоначального усвоения свойств этой функции)
7. Решаются уравнения и неравенства на применение свойств этой функции.
8. Решаются комбинированные уравнения и неравенства (новая функция включается в общий процесс формирования функционального метода, используются её общие и специфические свойства).
Методика изучения линейной функции
Начать следует с задачи, которая приведет к необходимости рассмотрения линейной функции.
Из курса физики известно, что l(t) = l0 +0,002t формула линейного расширение твердых тел. Известно, что если тело движется прямолинейно и равномерно, то S(t) = S0 +vt. Скорость движения тела при равноускоренном движении v(t) = v0 + at. Т. о., многие процессы описываются одинаковыми по форме записи зависимостями между переменными: y = kx+b.
Далее в ходе эвристической беседы устанавливается, что данное выражение действительно является функциональной зависимостью, так как каждому значению переменной х ставится в соответствие единственное значение у [8, 9].
На примере конкретной задачи разбирается способ построения графика, с помощью таблицы, делается вывод о том, что все точки, заданные парами чисел (х,у) лежат на одной прямой, значит графиком линейной функции является прямая, и для её построения достаточно двух различных точек (Рисунок 1.2).
Рисунок 1.2
В 7-ом классе не проводится доказательство того, что графиком линейной функции служит прямая, однако в 9-ом классе, когда уже определённые свойства мышления сформированы и расширена теоретическая база, можно доказать, что график - есть прямая.
Свойства линейной функции (обсуждаются при повторении в 9- ом классе)
1) Область определения функции - множество всех действительных чисел D (f): R.
2) Множеством значений функции является множество всех действительных чисел E (f): R. Выразим из уравнения y = kx + b переменную х:
3) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
4) Функция не является ни четной, ни нечетной (кроме особых случаев).
a) b ? 0, k = 0, следовательно, y = b - четная;
b) b = 0, k ? 0, следовательно, y = kx - нечетная;
c) b ? 0, k ? 0, следовательно, y = kx + b - функция общего вида;
d) b = 0, k = 0, следовательно, y = 0 - как четная, так и нечетная функция.
5) Функция непериодическая.
6) График функции пересекает ось Ох в точке , а ось Оу - в точке (0;b).
7) Нули функции:
а) k ? 0, x = ;
б) b ? 0, k = 0, то нулей нет
в) k = 0, b = 0, 0 нулей бесконечно много.
8) а) Функция монотонно возрастает на области определения при k>0, монотонно убывает при k<0.
б) Если k = 0, то E(f) = {b}.
9) При k>0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке .
При k<0: функция принимает отрицательные значения на промежутке и положительные значения на промежутке .
10) Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом. Если k>0, то этот угол острый, если k<0 - тупой, если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
Квадратичная функция
В некоторых учебных пособиях свойства корней квадратных уравнений, квадратные неравенства, свойства квадратичных функций изучаются в разных разделах курса алгебры. В 8 классе изучаются свойства корней квадратного уравнения, а в 9 - квадратичные функции и квадратные неравенства. Однако, если сначала ознакомить учащихся со свойствами квадратичной функции, то они найдут применение и при решении уравнений и квадратных неравенств.
В других учебниках построение графика и изучение свойств квадратичной функции рассматривается в последовательности:
y = x2;
y = ax2;
y = (х - m)2;
y = (х - m)2 + c.
Построение графиков выполняется по точкам для частных случаев.
Свойства изучаются по графику, частично доказываются, формулируется алгоритм построения параболы, далее изучается тема: решение неравенств второй степени.
Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида
,
где a, b, с - числа. Графиком квадратичной функции является парабола.
Рисунок 1.3
Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка
Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a<0, то ветви параболы направлены вниз.
Свойства квадратичной функции y = x2
1.
Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.
2. Множеством значений функции является промежуток
3. Значение функции y = 0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.
4. Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.
5. Функция непериодическая.
6. Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) - начало координат.
7. Значение аргумента x = 0 является нулем функции.
8. На промежутке функция убывающая, а на промежутке - возрастающая.
9. Функция принимает положительные значения на множестве, т.е. все точки параболы, кроме начала координат.
Геометрические преобразование графиков функций - одна из содержательных тем школьной математики: она интегрирует различные разделы школьной математики, развивает и углубляет представление о функции, служит пропедевтикой изучения сложных функций, вырабатывает графическую культуру, вызывает интерес к предмету в силу наглядности материала и результативности выполняемых упражнений.
Функциональная линия играет огромную роль в формировании мета предметных компетенций учащихся.
Примеры использования функций в различных школьных предметах:
Физика:
- формулы, описывающие равномерное прямолинейное движение;
s = v t,
х = х0 + нх t
P = mg - вес тела;
p = сgh - давление в жидкости;
U = IR - закон Ома для участка цепи
R = R0(1+бT) - зависимость сопротивления металлов от температуры;
v = 331+0,6t - скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры
l = l0(1+at) - линейное расширение твердых тел;
v = v0 + at - скорость равноускоренного движения.
Биология:
l = l0+0,4t - рост волос на голове у человека, где l - длина в мм, l0 - первоначальная длина волос в мм, t - количество дней
а = 0,983р+50,6 - зависимость численности сине-зелёных водорослей от концентрации общего фосфора в воде, где а - численность сине-зелёных водорослей, р - концентрация общего фосфора
t = зависимость продолжительности сна t (ч) от возраста человека T (лет) до 18 лет.
География:
S = k s, где S - расстояние на местности, s - расстояние на карте, k - масштаб на карте (На карте города с масштабом 1:80000, что означает, что расстояние на местности в 80000 раз больше, чем расстояние на карте. Получаем линейную зависимость: S = 80000 s [9].
Краткие выводы: изучение и анализ научной литературы позволяет сделать вывод, что понятие функции является основополагающим при изучении различных процессов и явлений и под функцией обычно понимаю некую зависимость одной величины от другой.
Глава 2. Практическое применение функциональных зависимостей
2.1 Функции в технике и физике
Для описания функций, чаще всего, пользуются формулами. В школе изучают случаи, когда эти формулы достаточно простые. К примеру, зависимость площади круга от его радиуса выражается формулой
S = рr2.
Силы тока от сопротивления (Закон Ома):
I =
Таким образом, появляется вопрос: встречаются ли на практике, и как часто, зависимости, которые выражаются с помощью сложных функций, например многочленов высших степеней, логарифмической, показательной и тригонометрических функций? Рассмотрим некоторые случаи использование функций в физике и технике [3].
Жесткость балки
Балками в технике называют изгибаемый элемент конструкции, длина которого значительно больше его остальных размеров. Балки широко применяют в конструкциях зданий, сооружений, машин, станков и пр. Изготавливаются балки из металла, железобетона, дерева, полимерных материалов.
Они должны выдержать вес перекрытий и предметов, находящихся в данном сооружении. Под такой тяжестью балки изгибаются. Если они изогнутся слишком сильно, перекрытие может рухнуть. В связи с этим ещё до постройки сооружения необходимо рассчитать какую нагрузку выдержат балки. Такими расчетами занимается особая наука - сопротивление материалов.
Прогиб определенной балки очень сильно зависит от многих факторов. Под одной и той же нагрузкой стальная балка изогнется меньше, чем деревянная, короткая - меньше, чем длинная, толстая - меньше, чем тонкая. Зависимость прогиба балки от материала, из которого она сделана, связана с особой величиной, называемой модулем Юнга.
Модуль Юнга - физическая величина, характеризующая способность материала сопротивляться растяжению, сжатию при упругой деформации. Обозначается большой буквой Е.
Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга.
В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле - как функционал деформируемой среды и процесса.
В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на квадратный метр или в паскалях. Является одним из модулей упругости.