Материал: fizika

19.Корпускулярно волновые свойства микрочастиц,волны де-Бройля.

Микрочастица не является классической корпускулой. К микрочастицам приводит процесс «раздробления» окружающих нас тел на все более и более мелкие «частички». Поэтому вполне естественно, что микрочастицы ассоциируются, прежде всего, с корпускулами. Этому способствует и тот факт, что большинству микрочастиц характерна определенная масса покоя и определенные заряды. Бессмысленно говорить, например, о половине электрона, обладающей половинной массой и половинным электрическим зарядом целого электрона. В самих терминах «микрочастица», «элементарная частица» отражено представление о микрочастице как о некоей частице (корпускуле).

Однако как это следует из предыдущего рассмотрения, микрочастица весьма существенно отличается от классической корпускулы. Прежде всего, он не имеет траектории, являющейся неизменным атрибутом классической корпускулы. Использование при рассмотрении микрочастиц таких корпускулярных характеристик, как координата, импульс, момент, энергия, ограничивается рамками соотношений неопределенностей. Взаимопревращения микрочастиц, самопроизвольные распады, наличие специфического неуничтожаемого собственного момента (спина), способность проходить сквозь потенциальные барьеры – все это свидетельствует о том, что микрочастицы совершенно не похожи на классические корпускулы.

Корпускулярным представлениям противостоят волновые представления. Неудивительно поэтому, что разительное отличие микрочастиц от классических корпускул объясняют наличием у них волновых свойств, тем более, микрочастицы, что именно с волновыми свойствами связаны соотношения неопределенностей и все, вытекающие отсюда следствия. Весьма показательно в этом отношении следующее замечание де Бройля: «В оптике в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым. Не делалась ли в теории материи обратная ошибка? Не думали ли мы слишком много о картине «частиц» и не пренебрегали ли чрезмерно картиной волн?». Вопрос, поднятый де Бройлем, совершенно уместен. Однако следует опасаться чрезмерного увеличения волнового аспекта при рассмотрении микрочастиц. Необходимо помнить, что, если, с одной стороны, микрочастица не является классической корпускулой, то точно так же, с другой стороны, он не является и классической волной.

Микрочастица не является классической волной. Весьма поучителен анализ одной из поныне довольно распространенной ошибки, допускаемой при упрощенном рассмотрении квантовой механики. Продемонстрируем эту ошибку на двух примерах.

Первый пример. Утверждается, что волновые свойства электрона позволяют вывести условие квантования момента, которое в теории Бора постулируется. Этот «вывод» делают следующим образом. Пусть 2r_nπ – длина n-ной боровской орбиты. По орбите движется электрон с дебройлевской длиной волны λ_n = = 2πh / p_n. Основное предположение состоит в том, что на длине орбиты должно укладываться n-раз длина волны электрона λ_n. Следовательно, 2r_nπ = nλ_n. Отсюда немедленно получается искомое условие квантования момента: p_nr_n = nh.

Второй пример. Утверждается, что волновые свойства электрона позволяют вывести формулу для энергетических уровней в потенциальной яме, если предположить, что различным стационарным состояниям отвечает определенное число полуволн де Бройля, укладывающееся на ширине ямы (по аналогии с числом полуволн, укладывающихся на длине струны, закрепленной на концах). Обозначая через а ширину одномерной прямоугольной потенциальной ямы, записывают а = nλ_n / 2, откуда немедленно приходят к искомому результату: E_n = n²π²h² / 2ma².

Оба конечных результата правильны, они следуют также из строгой теории. Однако продемонстрированный здесь «вывод» этих результатов надо признать несостоятельным. В обоих случаях допущена одна и та же принципиальная ошибка: в основу положено неверное предположение, будто электрон в потенциальной яме имеет определенную длину волны де Бройля, или, иначе говоря, определенный импульс. Однако, согласно соотношению Δp_xΔx > h, импульс микрочастицы в связанном состоянии характеризуется неопределенностью Δp > h / а. Поскольку в приведенных выше примерах Δp h / λ h / a, то, следовательно, импульс по порядку величины такой же, как и диктуемая соотношением Δp_xΔx > h неопределенность импульса. Ясно, что в таких условиях нельзя говорить о каком-то значении импульса электрона (а соответственно, и его дебройлевской длины волны) даже приблизительно.

Приведенные примеры явно демонстрируют преувеличение волнового аспекта. Отождествление находящегося в потенциальной яме электрона с классической волной внутри некоего «резонатора» неправомерно. Образ электронной волны в «резонаторе» есть такое же упрощение, как и образ электрона-шарика, движущегося по классической орбите. Следует знать, что под термином «дебройлевская волна» отнюдь не скрывается какая-то классическая волна. Это всего лишь отражение в наших представлениях факта наличия у микрочастицы волновых свойств.

Волны де Бройля – волны, связанные с любой движущейся материальной частицей. Любая движущаяся частица (например, электрон) ведёт себя не только как локализованный в пространстве перемещающийся объект - корпускула, но и как волна, причём длина этой волны даётся формулой λ = h/р, где h = 6.6·10^-34 Дж^.сек – постоянная Планка, а р – импульс частицы. Эта волна и получила название волны де Бройля (в честь французского физика-теоретика Луи де Бройля, впервые высказавшего гипотезу о таких волнах в 1923 г.). Если частица имеет массу m и скорость v << с (с – скорость света), то импульс частицы р = mv и дебройлевская длина волны связаны соотношением λ = h/mv.     Волновые свойства макроскопических объектов не проявляются из-за малых длин волн. Так для тела массой 200 г, движущегося со скоростью 3 м/сек, длина волны ≈10^-31 см, что лежит далеко за пределами наблюдательных возможностей. Однако для микрочастиц длины волн лежат в доступной наблюдению области. Например, для электрона, ускоренного разностью потенциалов 100 вольт, длина волны ≈10^-8 см, что соответствует размеру атома.     Для расчёта длины волны де Бройля частицы массы m, имеющей кинетическую энергию E, удобно использовать соотношение

где E₀ = mc² − энергия покоя частицы массы m, λ_{комптон} = h/mc − комптоновская длина волны частицы, λ_{комптон} (электрон) = 2.4·10^-12 м = 0.024 Å, λ_{комптон} (протон) = 1.32·10^-15 м = 1.32 фм. Длина волны де Бройля фотона с энергией Е определяется из соотношения

λ(фм) = h/p = hc/E = 2π·197 МэВ·фм /E(МэВ).

20.Масса и энергия релятивистских частиц.Соотношение неопределенностей.

Соотношения неопределённостей – фундаментальные соотношения квантовой механики, устанавливающие предел точности одновременного определения так называемых дополнительных физических величин, характеризующих систему (например, координаты и импульса). В упрощённой формулировке эти соотношения утверждают, что дополнительные физические величины не могут быть одновременно точно определены. Неопределённостей соотношения являются следствием двойственной, корпускулярно-волновой природы частиц материи, отражением вероятностной (статистической) сути квантовой механики.     Неопределённостей соотношения имеют вид неравенств, например, ΔxΔp > ћ = h/2π, где Δx – неопределённость координаты (частицы или системы), Δp – неопределённость её импульса, а h = 6.6·10^-34 Дж^.с = 4.1·10^-15 эВ^.с - постоянная Планка. Отсюда видно, что произведение неопределённостей координаты и импульса не может быть меньше ћ, и никаким усовершенствованием методов наблюдения нельзя преодолеть этот рубеж. Увеличение точности определения координаты неизбежно ведёт к потере точности определения импульса. Предельная точность одновременного определения координаты и импульса даётся соотношением Δx·Δp ≈ ћ.

21.Волновая функция.Принцип суперпозиции. Уравнение Шредингера для станционарных состояний

Принцип суперпозиции является одним из фундаментальных принципов квантовой механики описания состояний с помощью волновых функций. Если квантовомеханическая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями ψ₁, ψ₂, … ψ_n, то физически допустимой будет и суперпозиция этих состояний, т.е. состояние ψ = с₁ψ₁ + с₂ψ₂, +… + с_nψ_n, где с₁, с₂, …, с_n произвольные комплексные числа. В квантовой механике волновые функции складываются. Вероятности процессов определяются квадратом модуля волновой функции.

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение (20)

где m - масса частицы, - мнимая единица, U - потенциальная энергия частицы,  - оператор Лапласа [ см. (1.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию (x, y, z, t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.

Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя(x, y, z, t) =(x, y, z) exp[-i(E/ )t] (21)

где E/ =.

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид (22)

где Е, U - полная и потенциальная энергия, m - масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений

22.Энергетические уровни,волновые функции и квантовые числа атомов на примере атома водорода

23.Спектральные серии излучения атома водорода. Правила отбора для дипольных переходов.

24.Магнитный момент атома,его связь с орбитальным моментом. Опыты Штерна и Герлаха. Спин элетрона

Идея опыта заключалась в измерении силы, действующей на атом в сильно неоднородном магнитном поле. Неоднородность магнитного поля должна быть такова, чтобы она сказывалась на расстояниях порядка размера атома. Только при этом можно было получить силу, действующую на каждый атом в отдельности.

       Схема опыта изображена на рис. 7.9. В колбе с вакуумом, 10^–5 мм рт. ст., нагревался серебряный шарик К, до температуры испарения.

Рис. 7.9 Рис. 7.10

Атомы серебра летели с тепловой скоростью около 100 м/с через щелевые диафрагмы В и, проходя резко неоднородное магнитное поле, попадали на фотопластинку А.

Если бы момент импульса атома (и его магнитный момент ) мог принимать произвольные ориентации в пространстве (т.е. в магнитном поле), то можно было ожидать непрерывного распределения попаданий атомов серебра на фотопластинку с большой плотностью попаданий в середине. Но на опыте были получены совершенно неожиданные результаты: на фотопластинке получились две резкие полосы – все атомы отклонялись в магнитном поле двояким образом, соответствующим лишь двум возможным ориентациям магнитного момента (рис. 7.10).

Этим доказывался квантовый характер магнитных моментов электронов. Количественный анализ показал, что проекция магнитного момента электрона равна магнетону Бора:

.

Таким образом, для атомов серебра Штерн и Герлах получили, что проекция магнитного момента атома (электрона) на направление магнитного поля численно равна магнетону Бора.

Напомним, что .

Опыты Штерна и Герлаха не только подтвердили пространственное квантование моментов импульсов в магнитном поле, но и дали экспериментальное подтверждение тому, что магнитные моменты электронов тоже состоят из некоторого числа «элементарных моментов», т.е. имеют дискретную природу. Единицей измерения магнитных моментов электронов и атомов является магнетон Бора (ħ – единица измерения механического момента импульса).

В современном представлении – спин, как заряд и масса, есть свойство электрона.

П. Дирак впоследствии показал, что существование спина вытекает из решения релятивистского волнового уравнения Шредингера.

Из общих выводов квантовой механики следует, что спин должен быть квантован: , где s – спиновое квантовое число.

Аналогично, проекция спина на ось z (L_sz) (ось z совпадает с направлением внешнего магнитного поля) должна быть квантована и вектор может иметь (2s + 1) различных ориентаций в магнитном поле.

Из опытов Штерна и Герлаха следует, что таких ориентаций всего две: , а значит s = 1/2, т.е. спиновое квантовое число имеет только одно значение.

Для атомов первой группы, валентный электрон которых находится в s-состоянии (l = 0), момент импульса атома равен спину валентного электрона. Поэтому обнаруженное для таких атомов пространственное квантование момента импульса в магнитном поле является доказательством наличия у спина лишь двух ориентаций во внешнем поле. (Опыты с электронами в p-состоянии подтвердили этот вывод, хотя картина получилась более сложной) (желтая линия натрия – дуплет из-за наличия спина).

Численное значение спина электрона: .

25. Физические основы работы лазеров

Лазер, или оптический квантовый генератор — это устройство, преобразующее энергиюнакачки (световую, электрическую, тепловую, химическую и др.) в энергию когерентного, монохроматического,поляризованного и узконаправленного потока излучения.

Физической основой работы лазера служит квантовомеханическое явление вынужденного (индуцированного) излучения. Излучение лазера может быть непрерывным, с постоянной мощностью, или импульсным, достигающим предельно больших пиковых мощностей.

. Суть явления состоит в том, что возбуждённый атом способен излучить фотон под действием другого фотона без его поглощения, если энергия последнего равняется разности энергий уровней атома до и после излучения. При этом излучённый фотон когерентен фотону, вызвавшему излучение (является его «точной копией»). Таким образом происходит усиление света. Этим явление отличается от спонтанного излучения, в котором излучаемые фотоны имеют случайные направления распространения, поляризацию и фазу.

26. Основы зонной теории твердых тел( металлы, полупроводники и диэлектрики). Собственные и примесные полупроводники.

Зонная теория твёрдого тела — квантовомеханическая теория движения электронов в твёрдом теле.

В соответствии с квантовой механикой свободные электроны могут иметь любую энергию — их энергетический спектр непрерывен. Электроны, принадлежащие изолированным атомам, имеют определённые дискретные значения энергии. В твёрдом теле энергетический спектр электронов существенно иной, он состоит из отдельных разрешённых энергетических зон, разделённых зонами запрещённых энергий.

В основе зонной теории лежат следующие главные приближения:

1. Твёрдое тело представляет собой идеально периодический кристалл.

2. Равновесные положения узлов кристаллической решётки фиксированы, то есть ядра атомов считаются неподвижными (адиабатическое приближение). Малые колебания атомов вокруг равновесных положений, которые могут быть описаны как фононы, вводятся впоследствии как возмущение электронного энергетического спектра.

3. Многоэлектронная задача сводится к одноэлектронной: воздействие на данный электрон всех остальных описывается некоторым усредненным периодическим полем.

В различных веществах, а также в различных формах одного и того же вещества, энергетические зоны располагаются по-разному. По взаимному расположению этих зон вещества делят на три большие группы (см. рис. 1):

• проводники — зона проводимости и валентная зона перекрываются, образуя одну зону, называемую зоной проводимости, таким образом, электрон может свободно перемещаться между ними, получив любую допустимо малую энергию. Таким образом, при приложении к телу разности потенциалов, электроны свободно движутся из точки с меньшим потенциалом в точку с большим, образуя электрический ток. К проводникам относят все металлы;

• полупроводники — зоны не перекрываются, и расстояние между ними (ширина запрещённой зоны) составляет менее 3,5 эВ. При абсолютном нуле температуры в зоне проводимости нет электронов, а валентная зона полностью заполнена электронами, которые не могут изменить свое квантомеханическое состояние, то есть не могут упорядоченно двигаться при приложении электрического поля. Поэтому при нулевой температуре собственные полупроводники не проводят электрический ток. При повышении температуры за счет теплового движения часть электронов, нарастающая при повышении температуры, «забрасывается» из валентной зоны в зону проводимости и собственный полупроводник становится электропроводным.

• диэлектрики — зоны как и у полупроводников не перекрываются, и расстояние между ними составляет, условно, более 3,5 эВ. Таким образом, для того, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости требуется значительная энергия (температура), поэтому диэлектрики ток при невысоких температурах практически не проводят.

Собственный полупроводник — полупроводник, не содер­жащий примесей или с концентрацией примеси настолько малой, что она не оказывает существенного влияния на удельную проводимость полупроводника

Примесными полупроводниками принято называть полупроводники, электропроводность которых обусловлена носителями заряда, образующимися при ионизации атомов.