Научная работа: Эволюция орбиты Марса на интервале времени в сто миллионов лет

Приложение 3. Исследование достоверности результатов интегрирования уравнений (3).

В процессе решения, сравнения с наблюдениями и анализа структуры погрешностей мы использовали различные методы контроля точности решений. Приведем некоторые из них.

1. Контроль сохранения общего момента количества движения M Солнечной Системы. В силу существования десяти первых интегралов системы дифференциальных уравнений (3) [ 8 ], например, проекция момента М_z на ось z имеет вид

, (41)

где n - количество тел( в нашей модели n= 11).

Если наблюдается изменение М, это свидетельствует о погрешности вычислений. При шаге интегрирования t=1·10^-4 года, относительное изменение проекции момента на ось z после 10 тыс. лет составляет дM_z = 1.4·10^-14, а после 100.08 млн. лет - дM_z = 7.9·10^-11. Мы установили, какими могут быть погрешности в движении тел при вышеупомянутом изменении момента. Например, при шаге счета t = 1·10^-4 года и дM = -4.5·10^-14 смещение тела по орбите за 10 тыс. лет изменяется в радианах (см. табл. 3) от значения -4.94·10^-10 для Плутона до значения 3.44·10^-4 для Луны. Если изменение параметров орбиты за этот период значительно превышают эти погрешности, то такие результаты нельзя считать достоверными.

2. Контроль количества движения Солнечной Системы Р. Аналогично его проекция , например, на ось х имеет вид:

. (42)

Отличие величины Р от нуля также свидетельствует о накоплении погрешностей вычислений. В начальный момент, из-за округления при переходе к двоичным кодам, величина Р отличается от нуля и равна 5·10^-18. После реализации счета на 10 тыс. лет Р= 2.4·10^-15, а после 100.08 млн. лет - Р= 3.6·10^-13. Здесь и в дальнейшем приведены безразмерные величины.

3. Учет влияния разных точностей счета. Если при повышении точности счета результаты повторяются, то их можно считать достоверными.

4. Вычисление параметров движения тел в « прошлое» и в « будущее». Сравнивая два решения (в «прошлое» и в «будущее») при «безошибочных» вычислениях не должны появиться какие-либо скачки в изменениях параметров в начальный момент времени.

5. Расчеты в отдаленную по времени эпоху и возвращение в исходную. Это позволяет выявить все погрешности вычислений, их величину и структуру. Было установлено, что основная погрешность заключается в смещении тела на орбите (например, от 1.5° для Меркурия до 4.5°·10^-9 для Плутона при счете на 10 тыс. лет с шагом t=2·10^-4 года) без существенного изменения орбиты. Наибольшее смещение в этом случае наблюдается у Луны, и оно достигает 180° относительно Земли. При шаге счета t = 2·10^-5 года смещение Луны по ее орбите равняется 2'. Следует отметить, что этот тест дает завышенные погрешности из-за разрыва начальных производных при обратном счете.

6. Использование тестовых задач, имеющих точное аналитическое решение. Такой задачей является, например, осесимметричное взаимодействие n-тел, находящихся в одной плоскости [15]. Этот метод позволяет выявить вычислительные погрешности, прежде всего, в самой тестовой задаче и было установлено, что погрешность увеличивается с увеличением эксцентриситета орбиты. При эксцентриситете, равном эксцентриситету Меркурия, в задаче 12-ти тел смещение их по орбите за 10 тыс. лет равняется 0.16" при шаге t=2·10^-4 года.

7. Сравнение с данными наблюдений.

7.1. Сравнение координат и скоростей тел на интервале в несколько десятков лет. Например, мы вычислили положение тел на дату 30.12.1999,0 г по начальным данным, известным на 30.12.1949,0 г. и получили, что средняя «по всем телам» относительная погрешность в положениях небесных тел за 50 лет составила ?r_?? = 1.14·10^-5.

Такое сопоставление позволяет выявить погрешность в начальных условиях, в исходных данных (например, в массах тел), а при высокой точности счета и погрешность в наблюдениях. 7.2. Сравнение расчетной траектории Солнца с траекторией, определенной по эфемеридам планет за 60 лет. Мы получили практически совпадение расчетов [6] с данными эфемерид.

Б. Смещение по орбите. Существует достаточно богатое разнообразие способов проверки результатов интегрирования уравнений. Наши исследования и исследования других авторов, показали, что наибольшая погрешность в решениях проявляется в смещении тела по его орбите. В табл. 3 представлены результаты наших исследований о зависимости смещений тел по орбите Дц_i (точнее, проекция смещения на плоскость экватора) от относительной погрешности в моменте количества движения Солнечной Системы дM. Величины ?_i определяются по формуле

Дц_i = arctg(y_i/x_i) - arctg(y_0i/x_0i), (43)

где y_0i, x_0i, y_i, x_i - координаты тел в барицентрической экваториальной системе координат;

y_0i, x_0i - координаты тел в решении с наименьшим значением дM = 1.46?10^-14 при Дt = 1?10^-4 года и с удвоенной точностью;

Дц_i - проекция смещения i-того тела по орбите на плоскость экватора.

В последней строке таблицы 3 дано смещение Луны относительно Земли (MoE), которое определяется по формуле:

Дц_MoE = arctg[(y₁₀- y₃)/(x₁₀- x₃)] - arctg[(y₀₁₀- y₀₃)/(x₀₁₀- x₀₃)], (44)

где индекс 10 относится к Луне, а индекс 3 - к Земле.

В расчетах, представленных в столбцах 1 - 5, последовательно увеличивался шаг dt, вследствие чего погрешность момента ?M увеличивалась. При увеличении шага на порядок погрешность момента возросла на 5 порядков. Погрешность положения ??_i, как видно из таблицы 4, для разных тел изменяется по-разному. Для внешних планет она практически не изменяется, а для внутренних планет и, особенно для Луны, погрешность положения растет с увеличением относительной погрешности момента дM. Например, для Меркурия ??_i возрастает на 8 порядков, поэтому величину дM можно считать интегральной характеристикой точности вычислений. На этом основании мы составили таблицу смещений по орбитам в зависимости от величины изменения момента для одиннадцати тел плюс смещение Луны относительно Земли.

Табл. 4. Смещение тел по их орбитам Dj_i за -10 тыс. лет в решениях с разным изменением момента ?M по отношению к решению с расширенной длиной числа (34 десятичных знака) при dt =1?10^-4 года и ?M= 1.46?10^-14: расчет в прошлое от эпохи 1949, дек. 30.0 ET, JD₀ = 2433280.5;--Dj_I - в радианах; планеты от Меркурия (Me) до Плутона (Pl), Mo - Луна, Su - Солнце; MoE - смещение Луны относительно Земли.

В. Сравнение результатов интегрирования уравнений (3) с эфемеридами. Уравнения (3) были проинтегрированы с шагом с dt = 1·10^-4 года со вторым вариантом начальных условий по DE406/LE406 (см. табл. 2) в эпоху JD₀ = 2433280.5 за 50 лет до 00 h ET 30.12.1999 г. с JD_f = 2451542.5 и сопоставлены с данными DE406/LE406 на ту же дату. В табл. 4 приведены результаты сравнения декартовых координат и скоростей тел, а также угловых смещений ц_i, рассчитанных нами положений тел относительно положений тел, данных в «эфемериде» DE406/LE406. Величина ц_i была вычислена по формуле (43) при y_{0i =} y_ji и x_0i = x_ji - координаты тел- по данным из « DE406/LE406» в барицентрической экваториальной системе координат. Для Земли это смещение ц₃ = -0.93ґґ. Среднее относительное отклонение положений тел ?r_?? = 1.14·10^-5 (по 11 небесным телам), где

dr_??=

- барицентрический радиус-вектор рассчитанного положения i-того тела;

- такой же вектор i-того тела, полученный из эфемерид DE406/LE406.

Время счета в юлианских столетиях определялось по формуле

T =(JD_f - JD₀)/(k_T ·36525),

где k_T = 1.000017537231278 - коэффициент приведения расчетного времени к эфемеридному времени. Отличие k_T от 1 объясняется различиями принятых при интегрировании исходных данных от действительных.

Аналогично мы проинтегрировали уравнения на промежутке времени в 50 лет со вторым вариантом начальных условий, с шагом интегрирования dt = 1·10^-5 года и с расширенной длиной числа. Погрешность момента в этом случае получилась равной ?M_z = 7.39·10^-22 и по сравнению с погрешностью в предыдущем решении, ?M_z = 1.23·10^-14. Таким образом, точность улучшилась на восемь порядков, и при этом результаты отклонений не изменились.

Отметим также, что сравнение результатов интегрирования уравнений (3), выполненное с первым вариантом данных по каталогу DE19, с данными на дату 8.01.1994 г. по Астрономическому ежегоднику, дало среднее отклонение положения ?r_? = 1.62·10^-3 и k_T = 1.0001337. Таким образом, второй вариант исходных данных и начальных условий привел к уменьшению отклонения положения на два порядка и уменьшению отличия коэффициента k_T от 1 на порядок. Отсюда можно заключить, что второй вариант начальных условий и данные, взятые из эфемерид DE406/LE406, являются более точными.

Как было отмечено ранее, отличие между массами планет значительно больше достигнутой величины среднего значения (по всем телам) относительного отклонения положений тел ?r_?? = 1.14·10^-5. Например, неопределенность гравитационной постоянной G согласно Конвенции IERS2003 (см. сайт IERS Conventions Center. IERS Conventions (2003) - http://tai.bipm.org/iers/conv2003/conv2003.html) составляет ?G = 1.5·10^-4. Поэтому можно считать, что в пределах точности задания масс результаты расчетов совпадают с эфемеридами DE406/LE406.

Несмотря на то, что расчеты, основанные на втором варианте начальных условий являются более точными, сравнение вековых возмущений показывает, что они практически не отличаются от расчетов, основанных на первом варианте начальных условий (см. рис. 3). Поэтому представленные в статье результаты интегрирования в промежутке времени, равном 100 млн. лет и основанные на первом варианте начальных условий, существенно не изменятся при переходе к более точным начальным условиям.

Литература

1. Laskar J. Large-scale chaos in the solar system // Astron. Astrophys. - 1994. - Vol. 287, L9 - L12.

2. Laskar J. Marginal stability and chaos in the Solar system / Ferraz Mello S. et al. (eds.), Dynamics, ephemerides and astrometry of the Solar System. - IAU: Netherlands. - 1996. - P. 75 - 88.

3. Quinn T. R., Tremaine S., Duncan M. A three million year integration of the earth's orbit // Astronomical Journal. - 1991. - V. 101. - P. 2287-2305.

4. Laskar J., Correia A. C. M., Gastineau M., Joutel F., Levrard B. and Robutel P. Long term evolution and chaotic diffusion of the insolation quantities of Mars // Icarus.- 2004.- Vol. 170, Iss. 2.- P. 343-364.

5. Смульский И.И. Теория взаимодействия. - Новосибирск: Из-во Новосиб. ун-та, НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1999. - 294 с.

6. Мельников В.П., Смульский И.И., Кротов О.И., Смульский Л.И. Орбиты Земли и Солнца и возможные воздействия на криосферу Земли (постановка проблемы и первые результаты// Криосфера Земли. - 2000 - Т. IV, №3, с. 3-13.

7. Мельников В. П., Смульский И.И. Астрономические факторы воздействия на криосферу Земли и проблемы их исследования// Криосфера Земли. - 2004. - Т. VIII, № 1, с. 3-14.

8. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред. Г. Н. Дубошина. Изд. 2-е, доп. и перераб. М., Наука, 1976, 862 с.

9. Стэндиш Е.М. (Standish E.M.) JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405.// Interoffice memorandum: JPL IOM 312. F - 98-048. August 26. 1998. (ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph/export/DE405/).

10. Труды ИПА РАН. Вып. 10. Эфемеридная астрономия. - Санкт-Петербург: ИПА РАН, 2004 - 488 с.

11. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах небесной механики. М.: Наука, 1984, 136 с.

12. Стеффенсон К.Ф. (Steffensen K.F.) On the problem of Three Bodies in the Plane. - Kong. Danske Videnskab. Seskab., Mat. Fys. Medd. 1957, v. 13, N 3, 18 p.

13. Яров-Яровой М.С. О применении уточненных методов численного интегрирования в небесной механике. Труды ГАИШ. - М., 1974, т. 45, с. 179-200.