Научная работа: Эволюция орбиты Марса на интервале времени в сто миллионов лет

_L = _MraD_Mrd+_MrdB = +_MrdB = +_pL -D_Mrd, (31)

где ц_pL = DB - долгота перигелия от «опорного» земного экватора А₀А?₀, поэтому долгота перигелия от неподвижного земного экватора запишется в виде [4]:

ц_pL = _L + D_Mrd - + 2, (32)

где величина 2 добавлена для преобразования отрицательного угла долготы перигелия в начальную эпоху (так как _L(0) = 1.24, D_Mrd(0) = 1.42) в положительный угол.

Дуга D_Mrd изменяется за счет прецессии марсианского экватора, принятой в статье [4] равной p_Mr = 7.597?/год. Прецессия происходит «за стрелкой часов», т.е. точка _Mrd приближается к точке D со скоростью p_Mr. Если обозначить положение нисходящего узла в начальную эпоху через _0Mrd, тогда смещение _Mrd по орбите Марса в радианах запишется в следующем виде:

_0MrdMrd = -100·2··p_Mr·T_j/(3600·360), (33)

где T_j - время в юлианских столетиях от начальной эпохи. Тогда дуга D_Mrd в любой момент времени выражается в виде суммы двух дуг:

D_Mrd = D_0Mrd + _0MrdMrd, (34)

где D_0Mrd - величина этой дуги в начальную эпоху.

Для определения дуги D_0Mrd воспользуемся средними экваториальными (земными) координатами северного полюса N_Mr Марса, взятыми из Справочника [8], стр. 65]:

б_NMr = 317°.32 - 0°.1011T_t; ?_NMr = 52°.68 - 0°.0570T_t (35)

и угол наклона экватора Марса к плоскости его орбиты

I_Mr^a = 25°.19969 + 0°.01219T_j + 0°.00006T_j², (36)

где T_t и T_j время в тропических и юлианских столетиях от начальной эпохи 1950.0

В треугольнике DK_Mrd с помощью параметров (35) - (36) мы определяем два угла K = д_NMr + /2 и _Mrd =I_Mr^a, а также величину

DK = б_NMr + /2 - ц_?^а, (37)

где величина ц_?^а определяется из выражения (25).

Используя основные теоремы сферической астрономии (например, соотношение sinD_Mrd^a / sinK = sinDK /sin_Mrd), находим величину дуги

D_Mrd ^a = arcsin[sin(/2 + д_NMr)·sin(б_NMr-ц_Щ^a + /2) / sin(I_Mr)]. (38)

Индекс «а» означает, что дуга определена по данным наблюдений. После подстановки (34) в (32) угловое расстояние перигелия Марса от неподвижного земного экватора в работе [4] запишется в виде:

_рL = _L + D_0Mrd + _{0Mrd Mrd} + , (39)

где дуга D_0Mrd определяется из выражения (38) в начальную эпоху, т.е. при T_t = T_j = 0.

С помощью угла I_Mr = D_MrdK из работы [4], определим величину угла i_L = _MrdDK (угол между орбитой Марса и неподвижной плоскостью земного экватора А₀А?₀ (см. рис. 2б)). В треугольнике DK_Mrd известны два угла: угол I_Mr и из наблюдений угол K = -/2+д_NMr. Из наблюдений известны также две стороны: D_Mrd и DK, соответственно (см. соотношения (34) и (37)). Неизвестный угол i_L находится против неизвестной стороны K_Mrd. Применяя «теорему косинусов» [8] к величине угла i_L и стороны K_Mrd, после «исключения стороны» из двух равенств получаем формулу:

i_L = arcos{[sinI_Mr·cos(дN_Mr)·cos(DK)·cos(D_Mrd^a)+cosI_Mr·sin(дN_Mr)]/[1-sinI_Mr·cos(дN_Mr)·sin(DK)·sin(D_Mrd^a)]}. (40)

Входящие в выражение (40) приближенные представления для наблюдений (соотношения (13), (14), (24), (25), (35) и др.) справедливы на интервале времени порядка 1000 лет, поэтому формула (40) пригодна тоже на таком интервале.

Результаты, полученные нами и относящиеся к эволюции орбиты Марса на промежутке времени в 3 млн. лет, мы сравнили (см. рис. 7) с результатами, приведенными в работе [4]. Величины эксцентриситетов е совпадают с высокой точностью практически на всем этом интервале времени, поэтому можно, с большой вероятностью, допустить, что в вычислениях, приведенных в работе [22] и касающихся определения эксцентриситета, по-видимому, имеются погрешности.

Рис. 7. Сравнение численных решений (1) эволюции орбиты Марса на интервале времени (-3 млн. лет - 0) с расчетами (2) из работы [4] для эксцентриситета (e), угла наклона плоскости орбиты (i) к плоскости экватора (эпоха 1950 г.) и углового расстояния перигелия от неподвижного экватора (ц_р); I_Mr и _L - наклон орбиты и долгота перигелия в подвижных марсианских координатах ; I_Mr^a вычислялась по данным наблюдений с помощью (36); величина i_L - по данным Ж.Ляскара [4], вычисленным по формуле (40).

На рис. 7 мы сравнили значения угла наклона в двух интервалах времени: от 0 до - 100 тыс. лет и от 0 до -3 млн. лет. Из верхнего графика на рис. 7 видно, что на протяжении трех тысяч лет углы наклона орбиты Марса к подвижному экватору Марса совпадают с «наблюдаемыми» углами I_Mr^а. Это подтверждает справедливость выбора авторами статьи [4] начальных условий и корректность первых шагов интегрирования. Преобразованный угол i_L к плоскости неподвижного земного экватора также на протяжении 3-х тысяч лет совпадает с вычисленным нами углом i. Так как наши результаты совпадают с «наблюдениями» (см. рис. 3), это подтверждает правильность преобразования (40). Выражение (40) вне интервала аппроксимации не может быть использовано, поэтому на втором интервале времени мы сравнивали углы наклона i и I_Mr.

Вычисленные нами углы наклона плоскости орбиты i к неподвижной плоскости экватора качественно совпадают с углами, приведенными в статье [4] в «начальном» интервале времени (от 0 до 60 тыс. лет). Затем амплитуды углов I_Mr,, приведенные в [4], после 400 тыс. лет резко возрастают. Так как амплитуды колебаний наших углов наклона к плоскости орбиты i_e согласуются с амплитудами углов из работы К. Остервинтера и др. [22], (см. рис. 6), отсюда следует, что увеличение углов I_Mr, приведенное в работе [4], обусловлено изменением угла наклона плоскости экватора Марса. Мы отмечали, что вычисленный нами период колебаний Т_? = 1.15 млн. лет угла нутации ? плоскости орбиты Марса близок к периодам, приведенным в статье [4] и, можно сказать, что фактически совпадает (см. рис. 8) с периодами модуляции амплитуд углов I_Mr из работы [4]. Из этого можно заключить, что периоды изменения наклона орбиты Марса, приведенные в работе [4], вычислены корректно.

На рис. 7 сопоставлена динамика вычисленных нами угла перигелия ц_p и углов ц_pL из работы [4] по формуле (32). Так как у названных авторов, независимо от количества оборотов перигелия углы р_L изменяются от 0 до 2р, мы их привели к некоторому непрерывному углу. Видно, что эти углы практически совпадают на рассматриваемом интервале времени в 3 млн. лет. Совпадают также «возвратные» движения перигелия, которые имеют место при T = -1.35 млн. лет. На графиках также приведены значения долготы перигелия р_L относительно подвижного марсианского экватора.

Сравнение полученных нами результатов с результатами из работы [4], относящиеся к эволюции орбиты Марса за 21 млн. лет, приведено на рис. 8. Значения эксцентриситетов е качественно совпадают на всем этом интервале, т.е. совпадают периоды и амплитуды как короткопериодических, так и долгопериодических колебаний (см. рис. 7). Из этого вытекает, что теория, изложенная в статьях [1, 2, 4], позволяет с хорошей точностью вычислить эксцентриситет орбиты Марса. Амплитуда угла наклона I_Mr плоскости орбиты Марса к плоскости подвижного экватора Марса, начиная с -5 млн. лет, значительно возросла, т.е. произошло качественно новое изменение положения орбиты Марса относительно его подвижного экватора. Из графиков эволюции перигелиев Марса за период в 21 млн. лет (см. рис. 8, где представлены угловые положения перигелия ц_р и ц_pL) можно заключить, что наши численные исследования практически совпадают с результатами Ж.Ляскара и его соавторов [1,2,4 ].

Рис. 8. Сравнение численных решений (1) с вычислениями (2) из работы [4], показывающими эволюцию орбиты Марса за 21 млн. лет (-21 ч 0 млн. лет). Обозначения приведены на рис. 3.

6. Проблема устойчивости Солнечной Системы

На протяжении последних трех столетий различными аспектами проблемы устойчивости Солнечной Системы занимались выдающиеся ученые (И.Ньютон, Л.Эйлер, Ж.Лагранж, П.Лаплас, К.Гаусс, А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов, О.Ю.Шмидт, А.Н.Колмогоров, Н.Д.Моисеев, Г.Н.Дубошин и другие), но, несмотря на их огромные достижения, эта фундаментальная проблема естествознания до конца до сих пор не решена.

Ж. Ляскар, на основе уточненной им теории вековых возмущений планетных движений, выполнил ряд исследований по устойчивости Солнечной Системы на большие периоды времени, сопоставимые со временем ее существования - 5 млрд. лет. Сравнивая наши численные результаты с его результатами, можно заключить, что на интервалах времени в десятки миллионов лет имеется достаточно хорошая согласованность, однако при переходе на интервалы времени в миллиарды лет появляются, прежде всего, большие технические трудности, поэтому Ж. Ляскару пришлось упростить свою теорию вековых возмущений, и перейти на статистические методы. Последние в принципе дают возможную, но естественно, не действительную картину этого существенно нелинейного явления.

Например, для интервала времени в 250 млн. лет Ж.Ляскар и его коллеги показали [4], что угол наклона орбиты к подвижной плоскости экватора I_Mr может изменяться по разному, в зависимости от принятой начальной скорости прецессии p_Mr и может достичь при этом больших величин. Значительное изменение угла наклона I_Mr плоскости орбиты Марса к плоскости подвижного экватора Марса (см. рис. 8) авторы интерпретируют как отсутствие устойчивости его орбиты и на этой основе делается вывод о неустойчивости Солнечной Системы и о хаотичности движений в ней.

Однако исследования для меньших периодов времени не подтверждают этот вывод. Например, эволюция наклона i_еL орбиты Марса к эклиптике 2000.0 г. (см. верхние четыре графика на рис. 9), в интервале времени в 40 миллионов лет, указывают на «устойчивость» его орбиты. На этих графиках результаты численного интегрирования (сплошная линия) были сравнены с их решением по вековым уравнениям (штриховая линия). Они отмечают, что заметное расхождение двух решений наблюдается после интервала времени в 32 млн. лет. Ниже, в таком же масштабе, выполнено сравнение угла наклона орбиты i_е0 к неподвижной эклиптике 1950г., вычисленного нами по формуле (30) по нашим решениям уравнений (3), с эволюцией угла i_еL, описанной в работе [4]. Их поведение весьма похоже. При наложении графиков i_е0 и i_еL, один на другой, они полностью совпадают на интервале времени в 4 миллиона лет, а существенные расхождения начинаются «после» -32 млн. лет. Это дает нам право сделать, по меньшей мере, два вывода:

Во-первых, совпадение углов i_е0 и i_еL подтверждает наши соображения в отношении решений К. Остервинтера с соавторами [22], представленных на рис. 6. Во-вторых, подтверждается наш вывод о том, что значительные изменения угла наклона I_Mr плоскости орбиты Марса к подвижной плоскости его экватора (см. работу [4]), вызваны движениями плоскости экватора.

Рис. 9. Сравнение эволюции угла наклона (i_eL) плоскости орбиты Марса к плоскости эклиптики 2000.0 г. по расчетам Ж. Ляскара. и др. [4], (четыре верхних графика), с эволюцией угла наклона (i_e0) плоскости орбиты Марса к плоскости эклиптики 1950.0 г. по нашим расчетам (четыре нижних графика) на интервале времени в 40 млн. лет.

Мы исследовали орбиты планет в неподвижных координатах. Из рис.8 видно, что эволюция вычисленного нами угла наклона i плоскости орбиты Марса неизменна в течение 21 млн. лет. Неизменна эволюция наклона i и других параметров орбиты на протяжении 50 млн. лет ( рис. 5 а), а также в течение просчитанного нами периода в 100 млн. лет ( рис. 5б). Подобная эволюция параметров орбиты Марса в неподвижных координатах описана и в работе К. Остервинтера и др. [22] (см. рис. 6), а также в работе [4] (см. рис. 9).

Из этого можно заключить, что большие изменения угла наклона I_Mr плоскости орбиты, приведенные в работе [4], вызваны, прежде всего, движением плоскости экватора.