Материал: Электромагнитные волны в проводящей среде и диэлектрики: теория и практика

Формулы (1.37) и (1.38) показывают, что в слабопроводящем веществе имеют место затухающие плоские волны со сдвигом фаз между колебаниями векторов ,  и с измененным по сравнению с вакуумом соотношением между их модулями. Но по-прежнему волны поперечны, векторы , , , составляют правую тройку [5, 8].

2. Плоские волны на поверхностях раздела двух сред

.1 Отражение и преломление плоской однородной волны на плоской поверхности раздела двух сред

При падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух сред возникает отраженная, а во второй - преломленная волна [1, 6].

Плоскостью падения называют плоскость, проходящую через нормаль к границе раздела сред и направления падения волны. Вектор напряженности электрического поля плоской волны  перпендикулярен направлению распространению волны, а по отношению к плоскости падения может быть ориентирован произвольно. Однако можно ограничиться рассмотрением двух ориентаций вектора .

1. Вектор  перпендикулярен плоскости падения волны. Такая волна называется параллельно поляризованная.

2. Вектор  параллелен плоскости падения волны. Такая волна называется параллельно поляризованная.

Такое рассмотрение электромагнитной волны очевидно, т.к. волну с любой ориентацией вектора  всегда можно представить в виде суперпозиции двух волн, одна из которых является нормально поляризованной, а вторая - параллельно поляризованной.

Пусть на границе двух сред с различными параметрами падает плоская однородная волна с произвольной поляризацией. Для выполнения граничных условий на поверхности раздела необходимо предположить существование отражённой и преломленной волн, распространяющихся в направлениях, параллельных плоскости падения (ZoY). Поля отраженной и преломленной волн описываются в общем случае уравнением плоской волны [6]:

, 

где  - комплексные величины;

В случаях действительных значений величин , они определяются выражениями:

где  - углы между направлением распространения волны и координатными осями.

Соответствующий выбор коэффициентов  отраженной и преломленной волны, а также их амплитуда обеспечивают выполнение граничных условий на поверхности раздела сред. В результате этого поля в обеих средах удовлетворяют уравнениям Максвелла и граничным условиям. Согласно теореме единственности полученное решение является единственно возможным в данных условиях.

Найдем связь между коэффициентами  падающей, отраженной и Если падающая волна является плоской однородной волной, то отраженная волна всегда является так же плоской однородной волной. Преломленная же волна может быть плоской и однородной только в единственном случае, когда потери в первой и второй среде отсутствуют и выполняют условие

Во всех остальных случаях преломленная волна является плоской неоднородной волной.

2.2 Формулы Френеля

Определим связь между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн. Рассмотрим вначале падающую волну с нормальной поляризацией. Если падающая волна имеет нормальную поляризацию, то и отраженная и преломленная волны будут иметь такую же поляризацию. В справедливости этого можно убедиться, анализируя граничные условия на поверхности раздела сред [1, 4].

Если иметь составляющую с параллельной поляризацией, то граничные условия не будут выполняться ни в одной точке граничной поверхности.

Плоскость падения волны параллельна плоскости (ZoY). Направления распространения отраженной и преломленной волн также будут параллельны плоскости (ZoY) и у всех волн угол между осью X и направлением распространения волны будет равен:

а коэффициент

В соответствии со сказанным выше вектор  всех волн параллелен оси X, а векторы  параллельны плоскости падения волны (ZoY), поэтому у всех трёх волн проекция вектора  на ось X равна нулю:

Вектор  падающей волны определяется выражением:

Вектор  падающей волны имеет две составляющие:

,

где,

Уравнения для векторов отраженной волны имеют вид [4]:

,

где,

Уравнения для векторов поля преломленной волны имеют вид:

где

Для нахождения связи между комплексными амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн воспользуемся граничными условиями для касательных составляющих векторов электромагнитного поля на границе раздела сред:

Поле в первой среде на границе раздела сред (2.9) будет иметь вид:

Поле во второй среде определяется полем преломленной волны:

Так как вектор  всех трёх волн параллелен границе раздела сред, а касательная составляющая вектора  есть составляющая , то граничные условия (1.27) можно представить в виде:

Падающая и отраженная волны являются однородными, поэтому для них справедливы равенства:

,

где  - волновое сопротивление первой среды [4, 7].

Так как поля  любой из рассматриваемых волн связаны между собой линейной зависимостью, то для преломления волн можно записать:

,

где  - коэффициент пропорциональности.

Из выражений (1.29) получим проекции векторов :

Подставив равенства (1.31) в уравнения (1.28) и учтя равенство (1.30), получим новую систему уравнений:

.3 Отражение и преломление на границе двух идеальных диэлектриков

У идеальных диэлектриков потери отсутствуют и . Тогда диэлектрические проницаемости сред - действительные величины и коэффициенты Френеля тоже будут действительными величинами. Определим, при каких условиях падающая волна без отражения переходит во вторую среду. Это происходит при полном прохождении волны через границу раздела сред и коэффициент отражения в этом случае должен быть равен нулю:

Рассмотрим падающую волну с нормальной поляризацией.

Коэффициент отражения будет равен нулю:  в случае, если равен нулю числитель в формуле (2.17) [8]:

Однако, , следовательно, для волны с нормальной поляризацией  при любых углах падения волны на границу раздела. Это значит, что волна с нормальной поляризацией всегда отражается от границы раздела сред.

Волны с круговой и эллиптической поляризацией, которые можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных волн с нормальной и параллельной поляризацией, будут отражаться при любых углах падения на границу раздела сред. Однако соотношение между амплитудами нормально и параллельно поляризованных составляющих в отраженной и преломленной волнах будут иным, чем в падающей волне. Отражённая волна будет линейно поляризованной, а преломленная - эллиптически поляризованной. Рассмотрим падающую волну с параллельной поляризацией.

Коэффициент отражения будет равен нулю:  в случае, если равен нулю числитель в формуле (2.17) [4, 9]:

Решив уравнение (2.19), получим:

Таким образом, падающая волна с параллельной поляризацией без отражения проходит через границу раздела, если угол падения волны определяется выражением (1.38). Этот угол  - угол Брюстера [9].

Определим, при каких условиях будет происходит полное отражение падающей волны от границы раздела двух идеальных диэлектриков. Рассмотрим случай, когда падающая волна распространяется в более плотной среде, т.е.  .

Известно, что угол преломления определяется из закона Снеллиуса:

Так как: , то из выражения (2.21) следует, что: .

При некотором значении угла падения волны на границу раздела сред получаем:

Из равенства (2.20) видно, что:

и преломленная волна скользит вдоль границы раздела сред. Угол падения волны на границу раздела сред, определяемый уравнением (2.22), называется критическим углом:

Если угол падения волны на границу раздела сред больше критического: , то . Амплитуда отражённой волны, независимо от вида поляризации, равна по амплитуде падающей волне, т.е. происходит полное отражение падающей волны.

Анализ уравнения преломленной волны показывает, что преломленная волна представляет собой плоскую неоднородную волну, распространяющуюся во второй среде вдоль границе раздела. Чем больше различие проницаемости сред, тем быстрее уменьшается поле во второй среде при удалении от границы раздела. Поле практически существует в достаточно тонком слое у границы раздела сред. Подобная волна называется поверхностной [1, 3].

.4 Отражение и преломление на границе раздела с проводником

Пусть вторая среда имеет значительную оптическую плотность по сравнению с первой средой:

Так как:

,

то условие (1.23) имеет место в том случае, если:

 и .

Так как:

,

то условие (1.42) выполняется, как в случае: , так и в случае: .

Условие выполняется тогда, когда граничная поверхность разделяет реальный диэлектрик и реальный проводник.

Тангенс угла преломления определяется выражением [3, 5]:

.

В соответствии с условием (2.25) вторым слагаемым в знаменателе под корнем можно пренебречь ввиду его малости по сравнению с единицей. В результате получаем:

Из неравенства (1.27) следует, что угол преломления при любом значении угла падения φ мал и преломленная волна распространяется в направлении, близком к направлению нормали к граничной поверхности.

Особый интерес представляет случай, когда первая среда идеальный диэлектрик, а вторая - реальный проводник.

Волновое число в реальном проводнике определяется выражением:

где  

тангенс угла диэлектрических потерь.

Тогда тангенс угла преломления будет определяться следующим выражением:

Так как удельная проводимость реальных проводников имеет порядок: См/м, то , во всём диапазоне радиотехнических частотах.

Коэффициент отражения на границе раздела идеального диэлектрика и реального проводника определяется выражением: