Материал: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Задерновский

66

(х = 0), и за счет приобретенной кинетической энергии продолжит свое движение, сжимая пружину. В положении, показанном на рис. 7.2с, скорость груза равна нулю, и начинается движение в обратную сторону.

Если силы сопротивления пренебрежимо малы, маятник будет совершать свободные незатухающие гармонические колебания. Дифференциальное уравнение этих колебаний выводится из второго закона Ньютона, согласно которому F = -kx = ma. Поскольку a x , получим

Решение этого уравнения показывает, что координата центра масс груза меняется со временем по гармоническому закону x = x0cos(ω0t + φ). Поскольку, в нашем примере в момент времени t = 0, х = х0, то начальная фаза колебаний φ = 0, поэтому

Скорость груза v и его ускорение также будут меняться по гармоническому закону. Скорость получим, продифференцировав выражение (7.10)

v = х = -x0 ω0 sin(ω0 t) = - v0sin (ω0 t),

где v0 = x0ω0 – максимальная скорость груза. Для ускорения имеем, соответственно

a = х = -x0 02 cos(ω0 t) = - a0cos(ω0 t),

где a0 = x0 02 - максимальное ускорение груза.

В отсутствие сил сопротивления движению, полная энергия системы W, включающая в себя кинетическую энергию груза и энергию деформации пружины, остается постоянной

Ее можно выразить как максимальную кинетическую энергию груза (когда х = 0 и пружина не деформирована); либо как максимальную энергию пружины (когда v = 0)

7.4. Свободные затухающие колебания

Любой реальный колебательный контур характеризуется наличием активного сопротивления (это, как минимум, сопротивление проводов). Поэтому, часть запасенной в контуре энергии расходуется на их нагревание. В результате амплитуда колебаний, т.е. максимальные значения заряда и напряжения на конденсаторе, так же, как и максимальная сила тока в катушке, постепенно умень-

шаются. Колебания такого вида называются q затухающими.

Примерная зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени для затухающих колебаний показана на рис. 7.3. При описании процессов, происходящих в этом случае в контуре необходимо учесть падение напряжения на сопротивлении R. Для этого добавим в выражение (7.2) слагаемое, равное

больше сопротивление R, а, значит и величина коэффициента β, тем сильнее частота затухающих колебаний ω отличается от частоты собственных колебаний

69

Таким образом, зависимость координаты х от времени будет выглядеть точно так же, как график на рисунке 7.3. Частота затухающих колебаний будет соответственно равна

02 2 ,

ипри 0, получим 0 . Дифференцируя (7.18) по времени, можно по-

лучить зависимость от времени скорости и ускорения груза. Это, очевидно, тоже будут затухающие колебания той же частоты, но с определенным сдвигом по фазе.

7.5. Вынужденные колебания. Резонанс

Для реализации незатухающих колебаний в реальных системах, необходимо каким-то образом компенсировать потери энергии. Это можно сделать с помощью внешнего периодического воздействия. Для поддержания механических колебаний следует приложить некую силу, меняющуюся по гармоническому закону. В случае электромагнитных колебаний в контуре, нужна, соответственно, внешняя переменная ЭДС.

Колебания, происходящие в системе в результате таких внешних воздей-

70

Решение такого неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения (формула 7.14) содержит экспоненту, стремящуюся со временем к нулю. Поэтому, нас интересует только частное решение. Оно имеет вид

q = qmcos(ωt – φ). (7.20)

Это означает, что колебания в контуре имеют частоту равную частоте генератора, и отстают по фазе на φ. Максимальное значение заряда на конденсаторе qm находим подстановкой этого выражения в (7.19). В результате получим, что

Видно, что амплитуды колебаний (qm и UСm) зависят не только от напряжения генератора Um и параметров контура, но и от частоты ω. Опыты показывают, что при определенной частоте, близкой к собственной частоте ω0, эти амплитуды достигают максимальных значений. Рез-

висимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты переменного напряжения для различных значений β.