Материал: Египетский счет

26

весила уже 131.072 кг. В таком случае полководец вынес

всего 131.071 кг золота.

Тайна жрецов

25 28 1) Систему точек и линий (ребер), соединяющих

некоторые пары точек, в математике называют «графом», а сами точки – «вершинами графа». Если существует путь, соединяющий любые две вершины графа, граф называют связным. Простым циклом называют путь (маршрут), начальная и конечная точки которого совпадают, а ребра, по которым проходит путь, ни разу не повторяются. Связный граф без простых циклов называют «деревом» (рис. 1а).

Рис. 1. Лабиринт

2)Маршруты движения между «кирпичиками» (рис. 1б) принадлежат некоторому графу с циклами.

3)Если в наборе «∙ ∙∙» белые бусины обозначить нулем,

алевые – единицей, маршрут можно записать в виде 01011 (см. рис. 1а). Тогда для записи обратного пути надо сначала записать двоичный код в обратном порядке: 11010,

азатем инвертировать его: 00101. Тогда 0 по-прежнему

будет означать поворот «налево», а 1 – «направо».

4)Всегда ли можно обойти все вершины «дерева» за конечное время? Разумеется, мы говорим о конечном графе. Всегда. Для этого можно применить, например, следующую простую стратегию: при обходе все время держаться рукой за левую стенку тоннеля.

5)Пусть в каждой точке разветвления тоннель делится

на тоннелей. Тогда маршрут можно представить цепочкой 1 2 3 . . . , где – количество ребер графа, которые предстоит пройти, {0, 1, . . . , − 1}, каждая цифра указывает номер тоннеля при отсчете слева, на который надо свернуть, = 1, 2, . . . , . Как найти последовательность цифр, определяющую обратный путь? Записав последовательность { } в обратном порядке и заменив все цифры их дополнениями до −1, мы получим последовательность 1 2 3 . . . , в которой = − − . Например, если = 6, исходную цепочку 20511245 мы для описания маршрута обратного пути заменим на цепочку 01344053.

6) Последовательность нулей и единичек иногда называют «битовой цепочкой». Можно ли посредством битовой

28

цепочки однозначно задать маршрут в произвольном графе, т. е. графе, из любой вершины которого может выходить произвольное, в общем случае разное число ребер? Если можно, то как на основании этой цепочки описать обратный путь?

Мартингейл

26 30 1) Стратегию, основанную на последователь-

ном удвоении ставки, с середины XVIII в. стали называть «мартингейлом». Легенда об изобретателе шахмат иллюстрирует тот факт, что мартингейл «по карману» только состоятельному игроку. Однако на свете встречаются обладатели огромных состояний. Такой клиент может разорить заведение. Именно поэтому в 20-х годах прошлого столетия игорный дом Монте-Карло запретил удвоение ставки более 12 раз подряд. Альберту Эйнштейну приписывают утверждение: «Рулетку может одолеть игрок с несметным капиталом в игре, длящейся вечность». Таким образом, успех юнги Элвина неочевиден.

2) Знакомому с теорией вероятностей читателю предлагаем следующую задачу. Некто испытывает удачу в многократно повторяющейся игре, в которой вероятность выигрыша равна 0.1. То есть при одном испытании игрок

располагает всего одним из десяти шансов на выигрыш. Какова вероятность того, что выигрыш наступит не далее чем на 13-й попытке? Если вероятность выигрыша при одном испытании = 0.1, вероятность проигрыша равна

= 1 − = 0.9. Вероятность проиграть 13 раз подряд

13 ≈ 0.254. Тогда вероятность выигрыша хотя бы в одном из 13 испытаний 1 − 13 ≈ 0.746. Значит, игру, в которой

вероятность не на нашей стороне, иногда можно заменить более сложной игрой, в которой вероятность уже на нашей стороне. Однако человек с небольшим состоянием может разориться и там, где вероятность на его стороне.

3) Обозначим проигрыш цифрой 0, а выигрыш 1, тогда

любая реализация игры из предыдущего пункта описывается одной из цепочек бит:

раз

1, 01, 001, . . . , 0 . . . 0 1, . . .

Найти математическое ожидание выигрыша в этой игре, если после каждого проигрыша игрок удваивает ставку, а выигрыш равен двум ставкам.

Вместо эпилога

28 34 «Почему снова пираты?! Неужели нет настоящих ге-

роев?!» – воскликнет придирчивый читатель. Но кто в детстве не играл в пиратов? И уже потому хочется заступиться за морских разбойников. В XVII в. понятия «пират» и «мореплаватель» были почти тождественны . Купцы при случае непрочь были поживиться грабежом, а пираты нередко поступали на службу в королевский флот. Губернаторы английских и французских островов Вест-Индии выдавали за вознаграждение грамоту, в которой указывалось, на какие корабли и колонии имеет право нападать ее обладатель и в каком порту должен сбывать краденое. На островах Тортуга и Гаити пираты

отдавали 10 % добычи французскому губернатору, а с Ямайки

101 доля добычи поступала верховному лорд-адмиралу Англии и 151 – королю. Здесь прославился Порт-Ройал, располагавший-

ся на западном конце длинной и узкой косы Палисадос, южной границы гавани Кингстон. Основанное испанцами в 1518 г. как Кагуэй, при англичанах это поселение стало столицей Ямайки и одновременно столицей пиратов Карибского моря, а также крупным центром работорговли. Благодаря изобилию питейных заведений и всевозможных притонов, Порт-Ройал заслужил титул «пиратского Вавилона». Но 7 июня 1692 года после сильнейшего землетрясения, сопровождавшегося цунами,