Материал: discrete_mathematics
{a, b}D, {{a, b}, {b, c}} D, a{a, b}, {c} {a, c}, {a} {a, b}.
Приклад 2.5.
1. Які з наведених співвідношень є правильними?
(а) 1 {1, 2, 3}; |
(б) 1 {{1, 2, 3}}; |
(в) {1} {1, 2, 3}; |
(г) {a} {a, b}; |
(д) {1, 2, 3}; |
(е) {1, 2, 3} {1, 2, 3}; |
(є){1} {{1}, {2, 3}}; |
(ж) {1, 2} {{1},1, 2, 3}; |
з){1, 2} {{1}, {2}, {3}}. |
|
(в), (г), (е), (ж), (з) – правильні.
2. Нехай A = {1, 2, {1}}. Які з наведених співвідношень є пра-
вильними? |
|
|
(а) 1 A; |
(б) {1} A; |
(в) {{1}} A; |
(г) {1} A; |
(д) {{1}} A; |
(е) {2} A; |
(є) {2} A; |
(ж) {{2}} A; |
(з) {1, 2} A; |
(и) {1, 2} A; |
(і) A; |
(ї) A; |
(й) { } A; |
(к) { } A; |
(л) { , 1} A. |
(а), (б), (г), (д), (є), (и), (ї) – правильні.
3.Нехай A = { , 1, {1}, {2}}. Які зі співвідношень попередньої задачі є правильними?
(а), (б), (г), (д), (е), (ж), (і), (ї), (к), (л) – правильні.
4.Які з наведених співвідношень є правильними:
(а) ; |
(б) { }; |
(в) { } ; |
(г) { } {{ }}; |
(д) {1}; |
(е) { } { }; |
(є) {{ }} { , { }}; |
(ж) {{ }} { } |
|
(а), (б), (д), (е), (є) – правильні.
5. Які з наведених тверджень правильні: (а) якщо A B і B C, то A C;
(б) якщо A B і B C, то A C;
(в) якщо A B і B C, то A C;
(г) якщо A B і B C, то A C?
У тих випадках, коли твердження неправильне, разом із контрприкладами побудуйте окремі приклади, для яких воно виконується.
Тільки б, в – правильні. (а) Контрприклад:
для A = {1}, B = {{1}, 2}, C = {{{1}, 2}, 3}
твердження хибне.
91
Приклад, коли твердження виконується:
A = {1}, B = {{1}, 2}, C = {{{1}, 2}, {1}}. (г) Контрприклад: для
A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1, 2}, 3}
твердження хибне.
Приклад, коли твердження виконується:
A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1, 2}, 1}.
6. Чи є наведене твердження правильним: якщо A B і B C, то A C?
Ні. Контрприклад: для A = {1}, B = {2}, C = {{1}, 3} це твердження хибне. ◄
Множину всіх підмножин множини A (скінченної чи нескінченної) називають булеаном множини A та позначають β(A).
Для булеана множини A використовують також інші позна-
чення: 2A, P(A), B(A) або Μ(A).
Наприклад, для множини A = {a, b} маємо
β(A) = { , {a}, {b}, {a, b}}.
Приклад 2.6.
1. Для заданої множини A побудувати множину всіх підмножин множини A, тобто її булеан β(A).
(а) A = {1, 2, 3}; |
(б) A = { }; (в) A = { , { }}. |
||
► (а) { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}; |
|||
(б) { , { }}; |
(в) { , { }, {{ }}, { , { }}}. ◄ |
||
2. Визначити множину β(β({1, 2})). |
|||
► β(β({1, 2})) = { , |
{ }, {{1}}, |
{{2}}, {{1, 2}}, { , {1}}, |
|
{ , {2}}, { , {1, 2}}, |
{{1}, {2}}, |
{{1}, {1, 2}}, {{2}, {1, 2}}, |
|
{ , {1}, {2}}, { , {1}, {1, 2}}, { , {2}, {1, 2}}, {{1}, {2}, {1, 2}}, { , {1}, {2}, {1, 2}}}. ◄
Завдання для самостійної роботи
1 |
Які з наведених співвідношень правильні? |
|
(a). {2, 1, 3} = {1, 1, 2, 2, 3}; |
(б) {1, 2, {3}} = {1, {2}, {3}}; |
|
(в) {1, 2, 3} = {2, 3, 1, 2}; |
(г) {1, 2, 3} = {{1, 2}, {1, 3}}. |
|
2 |
яких елементів складається множина B, якщоA = {1, 2, 3}? |
|
(а. |
)ІзB = { y | y = x + z, x, z A}; (б) B = { y | x = y + z, x, z A}; |
|
(в) B = { y | y = x z, x, z A}.
92
3 |
Які з наведених співвідношень правильні? |
|||
(а) . |
= {0}; |
(б) = { }; |
(в) {2, } = {2}; |
|
(г) | | = 0; |
(д) |{ }| = 0; |
(е) |{ }| = 1; |
||
(є) |{{ , }}| = 2; |
(ж) |{ , { }}| = 2. |
|
||
4 |
Які з наведених співвідношень правильні? |
|||
(а) 2 {1,. |
2, 3}; |
(б) 2 {{1}, {2}, {3}}; |
||
(в) {2} {1, 2, 3}; |
(г) {2} {{1}, {2}, {3}}; |
|||
(д) {1, 3} {1, 2, 3}; |
(е){1, 3} {{1}, {2}, {3}}; |
|||
(є) a{a}; |
(ж) {2, 3} {2, 3}; |
|||
(з) {1, 3} {{1, 3}}.
5 Які з наведених співвідношень правильні: |
||
(а.) 0 ; |
(б) ; |
(в) { , 1}; (г) { }; |
(д) { , { }}; |
(е) { } {{{ }}}? |
|
6. Які з наведених співвідношень правильні? |
||
(а) 2 {1, 2, 3}; |
|
(б) {2} {1, 2, 3}; |
(в) {1, 1, 2, 3} {1, 2, 3}; |
(г) {1} {{1}, {1, 2, 3}}; |
|
(д) {1, 2, 3} {{1}, {1, 2}, {3}}; |
(е) {1, 2, 3}. |
|
7. Нехай A = {1, 2, {2}}. Які з наведених співвідношень пра-
вильні? |
|
|
|
(а) 2A; |
(б) {2}A; |
(в) {{1}}A; |
(г) {1} A; |
(д) {{1}} A; |
(е) {1}A; |
(є) {2} A; |
(ж) {{1}} A; |
(з) {1, 2}A; |
(и) {1, 2} A; |
(й) { }A; |
(і) A; |
(ї) A; |
(к) { } A; |
(л) { , 2} A; |
(м) { , {2}} A |
8 Які з наведених співвідношень правильні? |
||||
(а) . |
; |
(б) { }; |
(в) { } ; |
|
(г) { } {{ }}; |
(д) {1}; |
(е) { } { }; |
||
(є) {{ }} { , { }}; |
(ж) {{ }} { }; |
(з) {{ }} {{{ }}}. |
||
9. Чи існує така одноелементна множина B, що для деякої мно- |
||||
жини A одночасно виконуються співвідношення A B іA B? |
||||
10 |
Для множини A побудувати множину всіх її підмножин, |
|||
тобто. |
булеан β(A): |
|
(б) A = { , 1}; |
|
(а) A = {2, 3, 4}; |
|
|||
(в) A = {1, {1}, {1, 2}}; |
(г) A = { , {2, 3}}. |
|||
11. Визначити множину: |
(а) β(β({2, 3})); (б) β(β(β( ))). |
|||
93
2.3.Операції над множинами та їхні властивості
Для множин можна ввести низку операцій (теоретикомножинних), результатом виконання яких також є множини. За допомогою цих операцій можна конструювати нові множини із заданих.
Нехай A та B – якісь множини.
Об'єднанням множин A та B (позначають A B) називають множину тих елементів, які належать принаймні одній із множин A чи B. Символічно операцію об'єднання множин записують так:
A B = {x | x A або x B}, чи x A B (x A) (x B).
Приклад 2.7. {a, b} {c, d,} = {a, b, c, d,}, {a, c} = {a, c}, {a, b, c} {a, c, d, e} = {a, b, c, d, e}. ◄
Перетином множин A та B (позначють A∩B) називають множину, що складається із тих і тільки тих елементів, які належать множинам A та B одночасно, тобто
A ∩ B = {x | x A та x B}, або x A ∩ B (x A) (x B). Приклад 2.8. {a, b, c} ∩ {a, c, d, e} = {a, c}, {a, b} ∩ {c, d} = . ◄
Кажуть, що множини A та B не перетинаються, якщо
A ∩ B = .
Різницею множин A та B (позначають A \ B) називають множину тих елементів, які належать множині A та не належать множині B. Отже,
A \ B = {x | x A та x B}, або x A \ B (x A) ← (x B).
Приклад 2.9. {b, c} \ {a, d, c} = {b}, {a, c, d, e} \ {a, b, c} = {d, e}, {a, b} \ = {a, b}, {a, b} \ {a, b, c, d} = . ◄
Симетричною різницею множин A та B (позначають A B,
A B або A B) називають множину, що складається зі всіх елементів множини A, які не містяться у B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A, тобто
A B = {x | (x A та x B ), або ( x B та x A)}, або x A B ((x A) ← (x B))(← (x A) (x B)).
94
Приклад 2.10.
1. {a, b, c} {a, c, d, e} = {b, d, e}, {a, b} {a, b} = , {a, b} = {a, b}.
2. Нехай A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 5, 7} і C = {2, 4, 7}.
Обчислити:
(а) A B; |
(б) (A C) \ B; |
(в) A ∩ B ∩ C; |
|
(г) (A \C) (B \ A); |
(д) A B; |
(е) (B \ C) ∩ (A \ B). |
|
► (а) {1, 2, 3, 5, 6, 7}; |
(б) {4, 6}; (в) ; |
|
|
(г) {1, 2, 3, 5, 6, 7}; |
(д) {2, 6, 7}; (е) . ◄ |
||
Уведені теоретико-множинні операції можна проілюструвати
діаграмою Венна (або діаграмою Ейлера) (рис. 2.1).
Тут A та B – множини то- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
чок двох кругів. Тоді множи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на A B складається із точок |
|
|
|
|
|
|
|
областей І, ІІ, ІІІ, A ∩ B – |
|
|
|
|
|
|
|
область ІІ, A \ B – область І, |
|
|
|
|
|
|
|
B \ A – область ІІІ, A B |
|
|
|
|
|
|
|
складається із точок областей |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
||||
І та ІІІ. |
|
|
Рис. 2.1 |
|
|||
У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною, або уні версумом, і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі – множину комплексних чисел C, в арифметиці – множину цілих чисел Z, у традиційній планіметрії – множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об'єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.
Якщо зафіксовано універсальну множину E, то доповненням множини A (воно є підмножиною універсальної множини E й
позначається A ) називають множину всіх елементів універсальної множини, що не належать множині A, тобто
A = {x | x E та x A}, або x A ← (x A).
Зауважимо, що A = E \ A.
95