Материал: discrete_mathematics

Приклад 1.1. Чи є наведений вираз простим висловленням? Якщо вираз є висловленням, то вказати, яким саме – істинним чи хибним.

(а) Число 357 кратне 7.

(б) Це речення складається із шести слів. (в) Хай живе кібернетика!

(г) Женева – столиця Швейцарії.

(д) Не існує найбільшого простого числа. (е) Чи існує найменше просте число? (є) Будьте уважні та взаємно ввічливі. (ж) Сонце зійшло.

(з) Виходячи з кімнати, вимикайте світло. (и) Нерівність 3 < 2 хибна.

(і) Нерівність 2 < 3 хибна. (ї) Це висловлення – хибне.

► Вирази (а), (б), (г), (д), (и) та (і) є висловленнями, (а), (б), (д), та (и) – істинними, а (г) та (і) – хибними. Вираз (ї) не є висловленням, оскільки, послідовно припускаючи, що в ньому виражено правильну або неправильну думку, отримуємо логічну суперечність. Цей вираз є одним із варіантів логічного парадок су брехуна. ◄

Зазвичай конкретні елементарні висловлення позначають малими латинськими літерами: a, b, c, … (інколи з індексами), а значення висловлень істинно та хибно – відповідно символами 1 та 0 (або І та Х, а в англомовній літературі – відповідно T і F).

Крім того, розглядатимемо змінні висловлення, які позначатимемо латинськими літерами x, y, z, … (інколи з індексами) і називатимемо також пропозиційними змінними. Після підстановки замість пропозиційної змінної певного елементарного висловлення ця змінна набуде відповідного значення (1 або 0).

Окремі елементарні висловлення можна з'єднувати між собою за допомогою певних зв'язок (сполучників), утворюючи

складені висловлення.

Наприклад, вирази Число 5 – просте та число 23 – просте; Київ – столиця України, а Берн – столиця Швейцарії; Якщо число 27 кратне 3, то число 27 кратне 6; Неправильно, що 2 < 3,

або неправильно, що 4 < 3 є складеними висловленнями, що ут-

7

ворені з простіших (елементарних) висловлень шляхом викори-

стання зв'язок і; а; якщо …, то; неправильно, що та або.

Уматематичній логіці використання мовних зв'язок трактується як виконання над висловленнями певних логічних опера-

цій, що мають такі назви: кон'юнкція, диз'юнкція, заперечен ня, імплікація та еквівалентність.

Утабл. 1.1 наведено різні назви та позначення, що використовують для цих операцій.

Зазвичай використовуватимемо перші із наведених назв і позначень. Табл. 1.2 містить означення цих операцій.

Отже, з елементарних висловлень і пропозиційних змінних за допомогою означених операцій і дужок утворюються складені висловлення, яким відповідають формули або вирази.

Зауважимо, що символам логічних операцій відповідають у звичайній мові такі мовні зв'язки, або сполучники:

– і; та; а; але; хоч; разом із; незважаючи на; …– або; чи; хоч (принаймні) одне з; … ¬ – не; неправильно, що; …

→ – якщо (коли) … , то (тоді)…; … імплікує …; із … випливає …; у разі … має місце …; …

~ – … тоді й тільки тоді, коли …; … якщо й тільки якщо …;

…еквівалентне …; … рівносильне … тощо.

8

Застосовуючи пропозиційні змінні та символи логічних операцій, будь-яке складене висловлення можна формалізувати, тобто перетворити на формулу, яка виражатиме (задаватиме)

його логічну структуру.

Приклад 1.2.

1.Висловлення Якщо число 24 кратне 2 і 3, то число 24 крат-

не 6 має таку логічну структуру: (a b) → c. Тут пропозиційній змінній a відповідає елементарне висловлення Число 24 кратне 2, змінній b – висловлення Число 24 кратне 3, а змінній c – вислов-

лення Число24 кратне6.

2.Нехай задано елементарні висловлення:

Сформулювати словами складене висловлення, визначити

► Першій із цих формул відповідає складене висловлення 7 – ціле число і 7 – від'ємне число (звичайно таке висловлення формулюється у вигляді 7 – ціле і від'ємне число). Отримане висловлення є хибним, оскільки перша його елементарна складова a є істинним висловленням, а друга b – хибним. За означенням операції кон'юнкції значенням цього складеного висловлення є

хибно, або 0.

Формулі (б) відповідатиме складене висловлення 7 – ціле число або 7 – від'ємне число, що є істинним, адже одна з його складових (а саме перша) є істинним висловленням.

Формула (в) задає складене висловлення якщо 7 – ціле число,

то неправильно, що 7 – від'ємне число, що є істинним, оскільки йому відповідає вираз 1 → 1, який має значення 1.

Формула (г) задає складене висловлення якщо 7 – від'ємне чис-

ло, то неправильно, що 7 – ціле число або 7 – просте число, яке є істинним, оскільки остання його елементарна складова c є істинним висловленням. Якщо принаймні одне з елементарних висловлень, з'єднаних мовною зв'язкою або (логічною операцією диз'юнкції ), є істинним, то йусескладене висловленняє істинним.

Остання формула задає складене висловлення якщо непра-

вильно, що 7 – ціле число та неправильно, що 7 – просте число,

9

то число 7 кратне 3, що є істинним, адже йому відповідає логіч-

ний вираз 0 → 1, який має значення 1. ◄

Приклад 1.3.

1. Визначити істинність чи хибність складеного висловлення, використавши його логічну структуру й виходячи з відомих значень істинності простих висловлень, ізяких воно складається.

(а) Число 777 кратне 7, але не кратне 11.

(б) Число 36 кратне 6 або 7. (в) Якщо 4 < 3, то 42 < 32.

(г) –2 > –3 та (–1/2) > (–1/3).

(д) –2 > –3, але (–2)2 < (–3)2. (е) Якщо 2 < 3, то 22 < 32.

(є) Принаймні одне із чисел 21, 24 чи 27 парне. (ж) Якщо число 24 кратне 6, то число 24 кратне 3. (з) Якщо число 27 кратне 6, то число 27 кратне 3. (и) Якщо число 27 кратне 3, то число 27 кратне 6. (і) Якщо 2 < 3 та 3 < 1, то 2 < 1.

(ї) Неправильно, що принаймні одне з чисел 35, 57, 77 просте.

► Вираз (а) має логічну структуру a b, де пропозиційній змінній a відповідає елементарне висловлення Число 777 кратне 7, а змінній b – висловлення Число 777 не кратне 11. Обидва висловлення істинні, тому й задане складене висловлення істинне.

Вираз (б) має логічну структуру a b, де a – Число 36 кратне 6 і b – Число 36 кратне 7. Отже, значенням усього висловлення буде 1.

Вирази (в), (е), (ж), (з), (и) та (і) мають логічну структуру a → b. Висловлення (и) – хибне, решта – істинні.

Вирази (г) і (д) мають однакову логічну структуру a b. Перший із них є хибним, а другий – істинним.

Логічна структура виразу (є) має вигляд a b c, де a – 21 –

парне число, b – 24 – парне число та c – 27 – парне число. Отже,

значенням складеного висловлення буде 1.

Логічна структура виразу (ї) має вигляд ← (a b c), де a –

35 – просте число, b – 57 – просте число і c – 77 – просте число.

Значенням складеного висловлення буде 1, оскільки a, b і c – хибні висловлення. ◄

2. Визначити значення істинності висловлень a, b, c, d, які фігурують у складених висловленнях, якщо складені висловлення 1) та 2) – істинні, а 3) та 4) – хибні.

10

1)Якщо 7 – просте число, то a.

2)Якщо b, то 7 – складене число.

3)Якщо 7 – просте число, то c.

4)Якщо d, то 7 – складене число.

► Оскільки перше висловлення істинне та його елементарна складова 7 – просте число є також істинним висловленням, то із правила виконання операції імплікації випливає, що його друга елементарна складова a має бути істинним висловленням. Аналогічно аналізуємо решту висловлень. У результаті отримаємо, що висловлення a та d – істинні, b та c – хибні. ◄

3. Із хибної рівності 2 × 2 = 5, застосовуючи відомі рівносильні перетворення математичних виразів, вивести:

(а) хибну рівність 3 × 3 = 8; (б) правильну рівність 2 × 3 = 6.

► (а) Це можна зробити, наприклад, так: спочатку віднімемо почленно від даної рівності 2 × 2 = 5 правильну рівність 2 × 2 = 4, отримаємо, що 0 = 1. Потім віднімемо почленно отриману рівність від правильної рівності 3 × 3 = 9, дістанемо рівність 3 × 3 = 8.

(б) 2 × 3 = 2 × (2 + 1) = 2 × 2 + 2 × 1 = 5 + 2 = 7. Від останньої рівності 2 × 3 = 7 віднімемо почленно отриману у попередньому пункті рівність 0 = 1, дістанемо, що 2 × 3 = 6. ◄

У математичній мові імплікацію p → q трактують так: твердження p є достатньою умовою для q, а твердження q – необхідною умовою для твердження p. Вираз p → q інтерпретують ще як q тоді, коли p або p тільки тоді, коли q. В імплікації p → q

операнд p називають антецедентом, або засновком, а q – кон секвентом, або висновком.

Приклад 1.4. Записати словами у вигляді твердження задане висловлення різними способами, використовуючи вирази: необ-

хідна умова; достатня умова; тоді, коли; тільки тоді, коли. (а) (24 кратне 6) → (24 кратне 3).

(б) Число 45 кратне 15 тільки тоді, коли 45 кратне 3 і кратне 5.

► Для пункту (а) такими твердженнями будуть:

– висловлення 24 кратне 3 є необхідною умовою для вислов-

лення 24 кратне 6;

11