Р. М. Трохимчук М. С. Нікітченко
ДИСКРЕТНА МАТЕМАТИКА У ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ
1
ПЕРЕДМОВА
Одним із найвидатніших винаходів ХХ ст. є створення універсального автоматичного перетворювача інформації, названого електронною обчислювальною машиною, або комп'ютером. Появу комп'ютера без перебільшення можна назвати Великою інтелектуальною революцією. Значення обчислювальних машин у сучасному житті важко переоцінити.
Важливо наголосити, що визначальну роль у створенні комп'ю- тера відіграли вчені-математики. Саме вони формулювали й досліджували абстрактні моделі, а згодом брали активну участь у практичній реалізації перших (і наступних) обчислювальних машин. Фундаментальні та прикладні математичні дослідження
вусіх напрямах комп'ютерної галузі успішно тривають.
Усвою чергу, комп'ютер не міг не вплинути на саму математику. З його появою відбулося певне збагачення класичної математики, стався перерозподіл уваги й зацікавленості математиків предметом досліджень. Комп'ютерна практика є потужним джерелом новітніх ідей і задач, вона сприяє появі нових дисциплін і напрямів математичних досліджень. Зокрема, з'явився окремий розділ сучасної математики – дискретна математика.
Дискретна математика (інші назви: дискретний аналіз, скінченна математика) – це розділ сучасної математики, в якому вивчають властивості математичних об'єктів дискретного характеру.
Головним критерієм, за яким різноманітні розділи математики (як ті, що виникли в давні часи, так і ті, що з'явились у ХХ ст.) об'єднують під назвою "дискретна математика", є те, яке відношення вони мають до теорії та практики проектування, використання електронних обчислювальних машин і програмування. Тому дискретну математику останнім часом справедливо називають комп'ютерною математикою.
Нині дискретна математика входить до навчальних програм багатьох факультетів університетів та інших вищих навчальних закладів. Однак темпи розвитку комп'ютерних систем, як їх матеріальної, "залізної" частини (hardware), так і особливо програмного забезпечення (software) такі, що знання про конкретні системи, отримані під час навчання, часто застарівають уже на момент його завершення. Не девальвуються лише фундаментальні базові знання. Тому фахівець, який бажає завжди бути обізнаним щодо ідей, новацій і прогресу, має подбати про фундаментальну теоретичну підготовку.
Формування інтелектуальних навичок і вмінь немислиме без активних індивідуальних дій, без набуття самостійного досвіду
йпрактики у процесі розв'язування задач, що, безумовно, є найкращим способом засвоєння будь-яких теоретичних математичних понять, методів, концепцій і результатів, перевірки правильності та повноти розуміння матеріалу. Тому для глибокого
йусебічного засвоєння будь-якої математичної дисципліни надзвичайно важливо використовувати достатньо широкий і різноманітний набір задач.
Навчальний посібник містить задачі та вправи з класичних розділів дискретної математики. Кожний розділ включає теоретичні відомості, де подано основні означення, позначення й терміни, приклади розв'язання типових задач, а також завдання для самостійної роботи.
За необхідності початок розв'язання прикладів можна позначати знаком ►, закінчення – знаком ◄. Якщо приклад простий, то ці знаки не ставлять або ставлять лише знак завершення роз- в'язання.
4
Розділ 1 ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ
Термін логіка походить від грецького λογοζ, що означає
слово, яке виражає думку; поняття; вчення; міркування. Саме аналізуючи зв'язок слова й думки, мови та міркувань, стародавні (переважно давньогрецькі) мислителі створили логіку – науку про способи мислення, що ведуть до істини, про закони й форми правильного мислення.
Логічні закони й правила побудови коректних міркувань почали формуватись у сиву давнину, коли в людини з'явилась потреба обмінюватись досвідом і знаннями, обґрунтовувати свої думки, робити правильні висновки з певних посилань або гіпотез. Важливо підкреслити, що правила й процедури для коректних міркувань не залежать від конкретного змісту посилань і висновків, а також від жодних суб'єктивних (настрій, емоції, рівень інтелекту або освіти, ставлення до підсумку умовиводів тощо) чи зовнішніх (погода, пора року, місце, умови перебування особи тощо) чинників, а залежать лише від форми вираження цих міркувань і є загальними для всіх міркувань тієї самої форми, безвідносно до того, про що в них ідеться.
Так з'явилась формальна логіка. Вважають, що формальна логіка як учення про умовивід і доведення виникла більше двох з половиною тисяч років тому в Давній Греції. Найповніше її принципи та положення було викладено в працях видатного давньогрецького вченого й філософа Арістотеля (384–322 рр. до н. е.) та його учнів і послідовників.
Досягнувши відносно високого ступеня досконалості, арістотелева логіка, на відміну від математики, протягом багатьох століть практично не розвивалась. Вона була обов'язковою складовою хорошої освіти та служила переважно інструментом для обґрунтування різного роду тверджень (часто, як у випадку середньовічної схоластики, досить сумнівних).
Новий етап в історії формальної логіки датують серединою ХІХ ст., коли було опубліковано головні праці визначного англійського математика Джорджа Буля (1815–1864), у яких він
5
наблизив логіку до математики й заклав основи математичної логіки.
Характерною особливістю математичної логіки є використання математичної мови символів, операцій, формул, обчислень, числень, рівносильних перетворень тощо.
Розуміння формальних методів і моделей, уміння ними користуватися, знання й володіння законами математичної логіки є необхідним етапом у процесі вивчення та засвоєння інформатики, мов і методів програмування для ЕОМ. В епоху комп'ютеризації всіх сфер людського буття – виробництва, економіки, наукових досліджень, освіти, побуту – знання основ математичної логіки необхідне для формування фахівця у будь-якій галузі діяльності, розвинення в нього аналітичного і творчого мислення, ефективного використання обчислювальної техніки.
Вивчення й засвоєння мови та методів сучасної формальної логіки сприяє набуттю навичок правильних міркувань і переконливої аргументації, чіткого формулювання думок і висновків, формування загальної культури мислення. Ці навички необхідні й корисні в усіх сферах людської діяльності, оскільки логіка є окремою науковою дисципліною та водночас – інструментом будь-якої науки.
Сьогодні математична, або формальна, логіка входить до навчальних програм багатьох факультетів (як природничих, так і гуманітарних) усіх університетів та інших вищих навчальних закладів.
1.1. Поняття висловлення. Логічні операції (зв'язки). Складені висловлення
Просте (елементарне) висловлення – це просте твердження,
тобто розповідне речення, щодо змісту якого доречно ставити запитання про його правильність або неправильність. Прості висловлення, у яких виражено правильну думку, називають іс тинними, а ті, що виражають неправильну, – хибними.
6