ЗМІСТ ..................................................................................................................... |
3 |
ПЕРЕДМОВА |
|
Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ....................................................... |
5 |
1.1. Поняття висловлення.Логічні операції (зв'язки). |
|
Складені висловлення........................................................................................ |
6 |
1.2. Формулиалгебривисловлень.Таблицяістинності.Тавтології.. |
14 |
1.3. Рівносильні формули алгебри висловлень......................................... |
30 |
1.4.Нормальні форми логічних функцій.
Досконала диз'юнктивна нормальна форма (ДДНФ).
Досконала кон'юнктивна нормальна форма (ДКНФ)................... |
33 |
1.5. Логічний висновок набазі алгебри висловлень. |
36 |
Несуперечність множини висловлень.................................................... |
|
1.6. Секвенції і секвенційні форми для логіки висловлень................ |
44 |
1.7. Логіка предикатів. Квантори....................................................................... |
58 |
1.8. Формули логіки предикатів. Рівносильність формул. |
66 |
Пренексні формули. Тотожно істинні формули............................... |
|
1.9. Секвенції і секвенційні форми для логіки предикатів............... |
75 |
Розділ 2. МНОЖИНИТАВІДНОШЕННЯ...................................................... |
86 |
2.1. Поняття множини. Способи задання множин................................... |
86 |
2.2. Підмножини........................................................................................................... |
90 |
2.3. Операції над множинами та їхні властивості..................................... |
94 |
2.4. Декартів (прямий) добуток множин.................................................... |
104 |
2.5. Відповідності..................................................................................................... |
107 |
2.6. Відношення. Властивості відношень................................................... |
114 |
2.7. Відношення еквівалентності.................................................................... |
124 |
2.8. Відношення порядку |
30 |
135 |
|
2.9. Парадокси теорії множин........................................................................... |
1 |
Розділ 3. КОМБІНАТОРИКА............................................................................. |
139 |
3.1. Комбінаторні обчислення дляосновних |
|
теоретико-множиннихоперацій. |
140 |
Формула включення-виключення......................................................... |
|
3.2. Сполуки, перестановки та розміщення.............................................. |
147 |
3.3. Біном Ньютона та поліномна формула............................................... |
152 |
3.4. Урнова модель. Сполуки із повтореннями....................................... |
156 |
247 |
|
Розділ 4. ТЕОРІЯ ГРАФІВ................................................................................... |
161 |
4.1. Поняття графа. Способи задання графів............................................ |
161 |
4.2. Підграфи. Ізоморфізм графів. Операції для графів...................... |
164 |
4.3. Графи та бінарні відношення................................................................... |
169 |
4.4. Степені вершин графа................................................................................... |
169 |
4.5. Шлях у графі. Зв'язність графів............................................................... |
171 |
4.6. Перевірка зв'язності графів....................................................................... |
176 |
4.7. Деякі важливі класи графів. Дерева та двочасткові графи..... |
178 |
4.8. Плоскі та планарні графи............................................................................ |
181 |
4.9. Розфарбування графів.................................................................................. |
186 |
4.10. Обходи графів................................................................................................. |
190 |
4.11. Орієнтовані графи........................................................................................ |
192 |
4.12. Граф як модель. Застосування теорії графів................................. |
198 |
Розділ 5. ТЕОРІЯ АВТОМАТІВ........................................................................ |
200 |
5.1. Поняття скінченного автомата. Методи задання автоматів.201 |
|
5.2. Автоматне відображення............................................................................ |
207 |
5.3. Ізоморфізм і невідрізнюваність автоматів....................................... |
209 |
5.4. Основні проблеми теорії автоматів...................................................... |
211 |
5.5. Зображення подій уавтоматах................................................................ |
213 |
5.6. Алгебра регулярних подій.......................................................................... |
215 |
Розділ 6. СЕМАНТИЧНІ ЗАСАДИ ЛОГІКИ ПРЕДИКАТІВ................ |
222 |
6.1.Класи n-арних і квазіарних функцій..................................................... |
222 |
6.2. Пропозиційні композиції............................................................................ |
226 |
6.3. Композиції квантифікації........................................................................... |
228 |
6.4. Алгебричні системи та алгебри предикатів.................................... |
229 |
6.5. Мови першого порядку та їх інтерпретації...................................... |
230 |
6.6. Виразність в алгебричних системах |
|
Арифметичні предикати, множини,функції................................... |
237 |
6.7. Аксіоматичні системи логік першого порядку............................... |
239 |
Список літератури................................................................................................ |
246 |
248
ПЕРЕДМОВА
Одним із найвидатніших винаходів ХХ ст. є створення універсального автоматичного перетворювача інформації, названого електронною обчислювальною машиною, або комп'ютером. Появу комп'ютера без перебільшення можна назвати Великою інтелектуальною революцією. Значення обчислювальних машин у сучасному житті важко переоцінити.
Важливо наголосити, що визначальну роль у створенні комп'ю- тера відіграли вчені-математики. Саме вони формулювали й досліджували абстрактні моделі, а згодом брали активну участь у практичній реалізації перших (і наступних) обчислювальних машин. Фундаментальні та прикладні математичні дослідження
вусіх напрямах комп'ютерної галузі успішно тривають.
Усвою чергу, комп'ютер не міг не вплинути на саму математику. З його появою відбулося певне збагачення класичної математики, стався перерозподіл уваги й зацікавленості математиків предметом досліджень. Комп'ютерна практика є потужним джерелом новітніх ідей і задач, вона сприяє появі нових дисциплін і напрямів математичних досліджень. Зокрема, з'явився окремий розділ сучасної математики – дискретна математика.
Дискретна математика (інші назви: дискретний аналіз, скінченна математика) – це розділ сучасної математики, в якому вивчають властивості математичних об'єктів дискретного характеру.
Головним критерієм, за яким різноманітні розділи математики (як ті, що виникли в давні часи, так і ті, що з'явились у ХХ ст.) об'єднують під назвою "дискретна математика", є те, яке відношення вони мають до теорії та практики проектування, використання електронних обчислювальних машин і програмування. Тому дискретну математику останнім часом справедливо називають комп'ютерною математикою.
Нині дискретна математика входить до навчальних програм багатьох факультетів університетів та інших вищих навчальних закладів. Однак темпи розвитку комп'ютерних систем, як їх матеріальної, "залізної" частини (hardware), так і особливо програмного забезпечення (software) такі, що знання про конкретні системи, отримані під час навчання, часто застарівають уже на момент його завершення. Не девальвуються лише фундаментальні базові знання. Тому фахівець, який бажає завжди бути обізнаним щодо ідей, новацій і прогресу, має подбати про фундаментальну теоретичну підготовку.
Формування інтелектуальних навичок і вмінь немислиме без активних індивідуальних дій, без набуття самостійного досвіду
йпрактики у процесі розв'язування задач, що, безумовно, є найкращим способом засвоєння будь-яких теоретичних математичних понять, методів, концепцій і результатів, перевірки правильності та повноти розуміння матеріалу. Тому для глибокого
йусебічного засвоєння будь-якої математичної дисципліни надзвичайно важливо використовувати достатньо широкий і різноманітний набір задач.
Навчальний посібник містить задачі та вправи з класичних розділів дискретної математики. Кожний розділ включає теоретичні відомості, де подано основні означення, позначення й терміни, приклади розв'язання типових задач, а також завдання для самостійної роботи.
За необхідності початок розв'язання прикладів можна позначати знаком ►, закінчення – знаком ◄. Якщо приклад простий, то ці знаки не ставлять або ставлять лише знак завершення роз- в'язання.
4
Розділ 1 ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ ЛОГІКИ
Термін логіка походить від грецького λογοζ, що означає
слово, яке виражає думку; поняття; вчення; міркування. Саме аналізуючи зв'язок слова й думки, мови та міркувань, стародавні (переважно давньогрецькі) мислителі створили логіку – науку про способи мислення, що ведуть до істини, про закони й форми правильного мислення.
Логічні закони й правила побудови коректних міркувань почали формуватись у сиву давнину, коли в людини з'явилась потреба обмінюватись досвідом і знаннями, обґрунтовувати свої думки, робити правильні висновки з певних посилань або гіпотез. Важливо підкреслити, що правила й процедури для коректних міркувань не залежать від конкретного змісту посилань і висновків, а також від жодних суб'єктивних (настрій, емоції, рівень інтелекту або освіти, ставлення до підсумку умовиводів тощо) чи зовнішніх (погода, пора року, місце, умови перебування особи тощо) чинників, а залежать лише від форми вираження цих міркувань і є загальними для всіх міркувань тієї самої форми, безвідносно до того, про що в них ідеться.
Так з'явилась формальна логіка. Вважають, що формальна логіка як учення про умовивід і доведення виникла більше двох з половиною тисяч років тому в Давній Греції. Найповніше її принципи та положення було викладено в працях видатного давньогрецького вченого й філософа Арістотеля (384–322 рр. до н. е.) та його учнів і послідовників.
Досягнувши відносно високого ступеня досконалості, арістотелева логіка, на відміну від математики, протягом багатьох століть практично не розвивалась. Вона була обов'язковою складовою хорошої освіти та служила переважно інструментом для обґрунтування різного роду тверджень (часто, як у випадку середньовічної схоластики, досить сумнівних).
Новий етап в історії формальної логіки датують серединою ХІХ ст., коли було опубліковано головні праці визначного англійського математика Джорджа Буля (1815–1864), у яких він
5