Указані композиції задамо так (p, q – предикати, d – довільне значення з А):
( p q)(d) |
= 1, |
якщо p(d) =1 або q(d) =1, |
|
|
0, |
якщо p(d) = 0 та |
q(d) = 0. |
|
|
|
|
( p & q)(d) |
= 1, |
якщо p(d) =1 та |
q(d) =1, |
|
0, |
якщо p(d) = 0 або q(d) = 0. |
|
( p → q)(d) = 1, |
якщо p(d) = 0 або q(d) =1, |
||
|
0, |
якщо p(d) =1 та |
q(d) = 0. |
(¬ p)(d) |
= 1, |
якщо p(d) = 0, |
|
|
0, |
якщо p(d) =1. |
|
|
|
|
|
( p q)(d) |
= 1, |
якщо p(d) = q(d), |
|
|
0, |
якщо p(d) ≠ q(d). |
|
|
|
|
|
Укажемо основні властивості пропозиційних композицій.
1) |
Комутативність , & та ~: |
р q = q p; p & q = q & p; p ~ q = q ~ p. |
|
2) |
Асоціативність , & та ~: |
(p q) r = p (q r); (p & q) & r = p & (q & R); (p ~ q) ~ r = p ~ (q ~ r).
3) Дистрибутивність відносно & та & відносно :
(p q) & r = (p & r) (q & r); (p & q) r = (p r) & (q r).
4) |
Зняття подвійного заперечення: ¬ ¬ p = p. |
5) |
Ідемпотентність та &: р = p p; p = p & p. |
6) |
Закони де Моргана: |
¬ (p q) = (¬ p) & (¬ q); ¬(p & q) = (¬ p) (¬ q). 7) Зведення → та ~ до ¬, та &:
р → q = (¬ p) q; p ~ q = (p → q) & (q → p). 8) Закони поглинання: Р Ö p q; р & q Ö p.
9)Закон (правило) modus ponens: р & (p → q) Ö q.
10)Основоположні закони логіки виражають такі істинні предикати:
−закон тотожності: p ~ p;
−закон виключеного третього: (¬ p) p;
−закон суперечливості: ¬ (p &(¬ p)).
227
Завдання для самостійної роботи
1.Виразити композиції & та ~ через композиції ← та .
2.Довести наведені вище основні властивості пропозиційних композицій.
6.3.Композиції квантифікації
У класичній логіці квантори зазвичай вводять на синтаксичному рівні при означенні формул, їхня семантична роль як логічних операцій розкривається при інтерпретації формул.
Тут означимо композиції квантифікації x та x для квазіарних предикатів. Для цього замість абстрактної множини значень А, що розглядалась для пропозиційного випадку, візьмемо множину квазіарних даних VM.
Для квазіарного даного d запис d x a означає нове квазіа-
рне дане, у якому предметне ім'я (змінна) x отримує значення а; для інших змінних залишається те значення, яке вони мали в d.
Предикати x(p) та x(p) позначатимемо xp та xp. Задамо
їх так (p: VM → Bool, d VM): |
|
|
||
( xp) (d) = 1, |
якщо існує b M : p(d x |
b) = 1, |
||
|
0, |
якщо P(d x |
a) = 0 длявсіх a M. |
|
( xp) (d) = 1, |
якщо p(d x |
a) = 1 длявсіх a M , |
||
|
0, якщо існує |
b M : p(d x |
b) = 0. |
|
Основні властивості композицій x та x: |
|
|||
1) |
Комутативність однотипних кванторів: |
|
||
|
x уp = у хp; |
x уp = у хp. |
||
2) |
Закони де Моргана для кванторів: |
|
||
|
← хp = х ← p; ←хp= х ← p. |
|
||
3) |
Неістотність квантифікованих імен: |
|
||
x хp = хp; x хp = хp; x хp = хp; x хp = хp.
4)Закони p Ö хp та хp Ö p.
5)Закон y хp Ö x yp.
6)Закони дистрибутивності кванторів щодо та &:
хp хq = х(p q); хp& xq = х(p & q);
228
х(p&q) Ö хp& xq; хp xq Ö х(p q).
Зауважимо, що назва логікапершогопорядку пов'язана із тим, що квантори застосовують лише до імен компонентів у квазіарних даних (до предметних iмен). Якщо квантори застосовують до предикатів (функцій), то отримуємо логіки другого порядку.
6.4. Алгебричні системи та алгебри предикатів
Семантика логіки предикатів першого порядку задається двома типами алгебр: алгеброю предметних значень (у нашому випадку – алгебричною системою) та алгеброю предикатів.
Алгебричною системою (АС) назвемо об'єкт вигляду
Α= (M , FnM , PrM ),
де M − непорожня множина предметних значень, яку називають носiєм, або основою АС, FnM та PrM − множини n-арних
функцiй і предикатiв, заданих на M.
Нехай Fs та Ps − довільні множини, які відповідно називають множинами функціональних (ФС) і предикатних символів (ПС). Нехай
I Fs : Fs → FnM та IPs : Ps → PrM
– відображення інтерпретації функціональних і предикатних символів. Кожен функціональний і предикатний символ має свою арність. Уведені поняття дозволяють узагальнити поняття алгебричної системи, яку тепер розглядатимемо як кортеж
A = (M, IFs, IPs).
Для кожного F Fs функцію f FnM таку, що I Fs (F)= f, назвемо значенням ФС F за інтерпретації I Fs на АС
A = (M, I Fs, IPs)
і позначатимемо цю функцію FA. Предикат p PrM такий, що IPs(P) = p, назвемо значенням ПС P при інтерпретації IPs на АС A та позначимо цей предикат PA. Функцію FA називають базовою, а предикат PA – базовим предикатом. Якщо функція FA є функцієюконстантою на A, то ФС F називають константнимсимволом.
Зауважимо, що за інтерпретації функціонального чи предикатного символу арність отриманої функції чи предиката доpівнює арності відповідного символу.
229
Алгебричні системи задають властивості предметних значень за допомогою n-арних функцiй і предикатiв, заданих на M. Однак основними класами предикатів і функцій є класи квазіарних ординарних предикатів та функцій, які позначимо відповідно
FnQM = VM → M та PrQM = VM → Bool.
Їхні властивості задаються за допомогою композицій квазіарних предикатів і функцій. Для мов першого порядку достатньо поняття алгебри квазіарних предикатів, а саме: кортеж
A1 = (PrQ M, ¬, , &, →, ~, x , x)
називають алгеброю квазіарних предикатів першого порядку.
Яким чином пов'язані алгебрична система та алгебра предикатів? Фактично – через третю алгебру, основними операціями якої є суперпозиції в n-арні функції і предикати. Ця алгебра відіграє допоміжну роль, тому тут не розглядатимемо її детально.
Для логіки першого порядку алгебра предикатів є фіксованою, різні інтерпретації формул задаються за допомогою алгебричних систем.
Завдання для самостійної роботи
1.Виразити композицію x через композиції ¬ та х.
2.Довести наведені вище основні властивості композицій x та x.
6.5.Мови першого порядку та їх інтерпретації
Уведені раніше алгебри (алгебрична система предметних значень та алгебра квазіарних предикатів) фактично визначають мову логіки предикатів першого порядку, або просто мову пер
шого порядку.
Сигнатура мови (множини символів) складається з таких типів символiв:
−предметнi імена (змiннi) x, y, z,... з деякої множини V;
−функцiональнi символи f0, f1, f2,... заданої арностi з деякої
множини Fs;
− предикатнi символи p0, p1, p2,... заданої арностi з деякої множини Ps;
230
− символи логiчних операцiй (композицій) ¬, та ;
– символ рівності = предметних значень.
У множиніFs може виділятися підмножина константних символів Сп Fs. Символ рівності = завжди інтерпретуємо як предикат рівності, причому таку рівність трактуємо як тотожність.
Символи ¬, , , = і предметнi імена назвемо базовими логiчними символами. Функцiональнi та предикатнi символи, окрім =, назвемо нелогiчними символами. Множини Fs та Ps утворюють сигнатуру мови першого порядку.
Основними конструкціями мови першого порядку є терми та формули. Терми використовують для позначення, назви об'- єктів предметної області, формули − для запису тверджень про такі об'єкти.
Індуктивне означення терму таке:
1)кожне предметне ім'я та кожна константа є термом; такі терми назвемо атомарними;
2)якщо t1,..., tn − терми, F − n-арний функцiональний сим-
вол, то F(t1...tn) − терм.
Атомарною формулою називають вираз вигляду P(t1...tn), де P − n-арний предикатний символ, t1,..., tn − терми.
Індуктивне визначення формули таке:
1)кожна атомарна формула є формулою;
2)якщо Φ та Ψ − формули, то (¬ Φ) та (Φ Ψ) − формули;
3)якщо Φ − формула, x − предметне iм'я, то ( xΦ) − формула. Дужки можна опускати, ураховуючи пріоритет операцій та їх
асоціативність. Пріоритет символів логічних зв'язок вважаємо нижчим за пріоритет предикатних символів, а пріоритет предикатних символів – нижчим за пріоритет функціональних символів. Квантори мають вищий пріоритет ніж бінарні логічні зв'язки. Для бінарних функціональних і предикатних символів зазвичай застосовуємо інфіксну форму запису. Те саме – для атомарних формул. Для формул вигляду ¬ (t1= t2) уживатимемо скоро-
чення t1 ≠ t2.
Вирази Φ&Ψ, Φ → Ψ та Φ ~ Ψ вважаємо вiдповiдно скороченнями формул
¬ (¬ Φ ¬ Ψ), ¬ Φ Ψ та ¬ (¬ (¬ Φ Ψ) ¬ (¬ Ψ Φ)).
231