Материал: discrete_mathematics

Приклад, коли твердження виконується:

A = {1}, B = {{1}, 2}, C = {{{1}, 2}, {1}}. (г) Контрприклад: для

A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1, 2}, 3}

твердження хибне.

Приклад, коли твердження виконується:

A = {1}, B = {1, 2}, C = {{1, 2}, 1}.

6. Чи є наведене твердження правильним: якщо A B і B C, то A C?

Ні. Контрприклад: для A = {1}, B = {2}, C = {{1}, 3} це твердження хибне. ◄

Множину всіх підмножин множини A (скінченної чи нескінченної) називають булеаном множини A та позначають β(A).

Для булеана множини A використовують також інші позна-

чення: 2A, P(A), B(A) або Μ(A).

Наприклад, для множини A = {a, b} маємо

β(A) = { , {a}, {b}, {a, b}}.

Приклад 2.6.

1. Для заданої множини A побудувати множину всіх підмножин множини A, тобто її булеан β(A).

{ , {1}, {2}}, { , {1}, {1, 2}}, { , {2}, {1, 2}}, {{1}, {2}, {1, 2}}, { , {1}, {2}, {1, 2}}}. ◄

Завдання для самостійної роботи

(в) B = { y | y = x z, x, z A}.

92

(з) {1, 3} {{1, 3}}.

7. Нехай A = {1, 2, {2}}. Які з наведених співвідношень пра-

93

2.3.Операції над множинами та їхні властивості

Для множин можна ввести низку операцій (теоретикомножинних), результатом виконання яких також є множини. За допомогою цих операцій можна конструювати нові множини із заданих.

Нехай A та B – якісь множини.

Об'єднанням множин A та B (позначають A B) називають множину тих елементів, які належать принаймні одній із множин A чи B. Символічно операцію об'єднання множин записують так:

A B = {x | x A або x B}, чи x A B (x A) (x B).

Приклад 2.7. {a, b} {c, d,} = {a, b, c, d,}, {a, c} = {a, c}, {a, b, c} {a, c, d, e} = {a, b, c, d, e}. ◄

Перетином множин A та B (позначють A∩B) називають множину, що складається із тих і тільки тих елементів, які належать множинам A та B одночасно, тобто

A ∩ B = {x | x A та x B}, або x A ∩ B (x A) (x B). Приклад 2.8. {a, b, c} ∩ {a, c, d, e} = {a, c}, {a, b} ∩ {c, d} = . ◄

Кажуть, що множини A та B не перетинаються, якщо

A ∩ B = .

Різницею множин A та B (позначають A \ B) називають множину тих елементів, які належать множині A та не належать множині B. Отже,

A \ B = {x | x A та x B}, або x A \ B (x A) ← (x B).

Приклад 2.9. {b, c} \ {a, d, c} = {b}, {a, c, d, e} \ {a, b, c} = {d, e}, {a, b} \ = {a, b}, {a, b} \ {a, b, c, d} = . ◄

Симетричною різницею множин A та B (позначають A B,

A B або A B) називають множину, що складається зі всіх елементів множини A, які не містяться у B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A, тобто

A B = {x | (x A та x B ), або ( x B та x A)}, або x A B ((x A) ← (x B))(← (x A) (x B)).

94

Приклад 2.10.

1. {a, b, c} {a, c, d, e} = {b, d, e}, {a, b} {a, b} = , {a, b} = {a, b}.

2. Нехай A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 5, 7} і C = {2, 4, 7}.

Обчислити:

Уведені теоретико-множинні операції можна проілюструвати

діаграмою Венна (або діаграмою Ейлера) (рис. 2.1).

У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною, або уні версумом, і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі – множину комплексних чисел C, в арифметиці – множину цілих чисел Z, у традиційній планіметрії – множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об'єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

Якщо зафіксовано універсальну множину E, то доповненням множини A (воно є підмножиною універсальної множини E й

позначається A ) називають множину всіх елементів універсальної множини, що не належать множині A, тобто

A = {x | x E та x A}, або x A ← (x A).

Зауважимо, що A = E \ A.

95

Приклад 2.11.

1. Якщо за універсальну множину взяти множину N усіх нату-

ральних чисел, то доповненням Р множини P усіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних натуральних чисел.

2. Нехай E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 3, 6}, B = {1, 4, 6, 7} і C = {1, 2, 3, 6}. Обчислити:

Зазначимо у вигляді тотожностей основні властивості вве-

дених вище теоретико множинних операцій:

1. Асоціативність:

(A B) C = A (B C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

2.Комутативність: A B = B A; A ∩ B = B ∩ A.

3.Дистрибутивність:

A B = A ∩ B ; A ∩ B = A B .

Наведемотакожіншікориснітеоретико множиннітотожності:

A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) – дистрибутивність перетину),

A A , A E = А, A = A.

Приклад 2.12. Покажемо істинність однієї із наведених тотожностей – правила де Моргана A B = A ∩ B .

96