Доклад: Дифференциальные уравнения в частных производных

Запись О(h²) означает, что эта величина стремится к нулю при h>0, как h².

Однако было бы неправильно заключить из (1.21), что погрешность аппроксимации приближенного решения u_i,k полученная по формуле (1.16), стремится к нулю при стремлении к нулю ф и h. Такой вывод был бы необоснован, поскольку (1.20) дает оценку погрешности приближенного решения только для одного шага по времени. Доказательство того, что погрешность аппроксимации стремится к нулю на всем отрезке [0, Т], требует дополнительных данных о характере стремления к нулю ф и h. Соотношение (1.21), или в более общем случае утверждение о том, что при ф>0 и h>0 локальная погрешность аппроксимации стремится к нулю, является по существу необходимым условием стремления к нулю глобальной погрешности аппроксимации (погрешности приближенного решения и_ik и называется условием согласованности разностной схемы. То, что из согласованности разностного метода не обязательно следует сходимость приближенного решения к точному, связано с проблемой устойчивости разностных схем. Это следует из общего принципа, известного как теорема эквивалентности Лакса, который для весьма широкого класса дифференциальных уравнений и согласованных разностных схем утверждает, что глобальная погрешность аппроксимации (погрешность приближенного решения u_ik) будет стремиться к нулю в том и только в том случае, если используемый разностный метод устойчив.

Доказано, что явная разностная схема (1.15) устойчива при условии

(1.22)

поэтому она называется условно устойчивой.

Неравенство (1.22) называют условием устойчивости явной разностной схемы (1.15). Но это условие относится также и к вопросу о стремлении к нулю глобальной погрешности аппроксимации (погрешности аппроксимации приближенного решения) при стремлении к нулю h и ф.

При выполнении условий устойчивости разностные уравнения (1.16) при h>0 сходятся к точному решению краевой задачи со скоростью, определяемой порядком аппроксимации уравнения и краевых условий. Имеет место оценка:

где и(х_i, t_k) - точное решение краевой задачи.

Наименьшая погрешность замены дифференциального уравнения конечно-разностной схемой имеет место при л = 1/6. В этом случае (1.16) примет вид

2.3 Вычислительная схема (алгоритм) решения явной разностной схемы

1. В системе координат xOt строим прямоугольную сетку с шагом h по оси Ох и с шагом ф по оси Ot:

a) x_i=ih, i= l, n, n=L/h;

б) t_k=kф, k= l, m, m=T/ф;

в) и_i,k= u(x_i, t_k) = u(ih, kф).

2. Вычисляем значения функции u(x_i, t_k) в узлах, лежащих на прямых х=0 и x=L:

3. Вычисляем u_i,0=f(ih), i= 1, n.

4. Используя (1.16) или (1.23), найдем решение для всех внутренних узлов: u_i,k+n, i= l, n-l, k= 0, m-l.