Доклад: Дифференциальные уравнения в частных производных

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА

Институт радиоэлектроники и информационных технологий

Кафедра ВСТ

ДОКЛАД

Дифференциальные уравнения в частных производных

Решение дифференциальных уравнений с помощью разностных схем. Уравнение теплопроводности

по дисциплине

Вычислительная математика

РУКОВОДИТЕЛЬ:

Панкратова А.З.

СТУДЕНТ:

Носов А.В.

гр. 14-ИВТ-3

Нижний Новгород 2016

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1 Классификация дифференциальных уравнений в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных имеют широкие приложения в математической физике, гидродинамике, акустике и других областях знаний. В большинстве своем такие уравнения в явном виде не решаются. Поэтому широкое распространение получили методы приближенного их решения, в частности, метод сеток.

В данной работе рассматриваются вопросы решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Построение различных схем метода сеток в случае уравнений в частных производных зависит от типа уравнений и вида граничных условий. Сделаем несколько замечаний о классификации линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Волновое уравнение

(1.1)

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

2. Уравнение теплопроводности (диффузии)

(1.2)

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов распространения тепла, диффузии жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей и т. д. Это уравнение параболического типа.

3.Уравнение Лапласа

(1.3)

К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики, диффузии и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа.

Приступим теперь к изучению конечно-разностных методов решения уравнений в частных производных.

Как правило, аналитические методы решения уравнений в частных производных связаны с разделением переменных (метод Фурье). Использование этого метода встречает большие трудности, если область независимых переменных, где находится решение, отличается от простейших (прямоугольник, круг). Вторым препятствием для применения метода Фурье является зависимость коэффициентов линейного уравнения от времени и пространственных переменных. Например, зависимость коэффициента а = a(t, x) в волновом уравнении с функцией a(t, x) достаточно общего вида уже не позволит разделить переменные.

Отмеченные ограничения применения аналитических методов привели, особенно с развитием вычислительной техники, к широкому распространению численных методов решения уравнений с частными производными. Опыт решения многих сложных задач науки и техники численными методами подтверждает их эффективность.

Уравнения (1.1), (1.2), у которых одна из независимых переменных t является временем, называются нестационарными. Уравнение (1.3) для функции и(х,у), зависящей только от пространственных координат х и у, является стационарным.

1.2 Аппроксимация частных производных

дифференциальное уравнение частная производная

Первым этапом в численном решении дифференциальных ypaвнений с частными производными является переход от непрерывной задачи к дискретной. Дискретизация задачи - это основа численного метода.

Рассмотрим некоторые конечно-разностные аналоги частных производных от функции и по переменным х, у, t, подобно случаю обыкновенных дифференциальных уравнений, с учетом той особенности, что теперь имеются две независимые переменные. Начнем с того, что рассмотрим разности только в направлении х. Вспомним, что разложение Тейлора функции и(х + h, у) в окрестности точки (х, у) можно записать в виде

(1.4)

где о лежит между х и х + h.

Из последнего равенства получаем

(1.5)

Таким образом, если представить и_x с помощью равенства

(1.6)

то погрешность аппроксимации (дискретизации) или погрешность ограничения будет равна

(1.7)

где x<о<x+h.

В формуле (1.5) частная производная и_x выражена через правую конечную разность [u(x+h, у) - и(х, y)]. Выразим и_x через левую разность [u(x, y) - u(x-h, y)]. Для этого в разложение Тейлора вместо (х + h) подставим (х - h)

(1.8)

где (x - h)<о<x.

При этом получаем приближенное равенство

(1.9)

которое выполняется с погрешностью, равной:

где (х - Н)<о<х.

В последствии нам потребуются и правая (1.5) и левая (1.8) разности.

Теперь получим разностное приближение для u_xx=д²u/дx². Если и(х, у) имеет частные производные до четвертого порядка включительно, тогда разложение Тейлора функций и(х + h, y), u(х - h, y) в окрестности точки (х, y) можно записать в виде

где х < о < (х + h),

где (х - h) < о < х.

Сложив два последних равенства, получим

(1.10)

которое выполняется с точностью

где (х - h)<о<(х + h).

Здесь рассмотрены производные в направлении х. Совершенно аналогичный анализ можно провести для производных в направлении у и получить формулы, аналогичные формулам (1.4) - (1.11). Используя эти выражения, можно представить дифференциальные уравнения в частных производных (1.1) - (1.3) через конечно-разностное приближение (конечно-разностные схемы).

1.3 Метод сеток

Метод сеток или метод конечных разностей является наиболее распространенным и эффективным методом численного решения для уравнений математической физики. Сущность eгo состоит в следующем. Область D непрерывного изменения аргументов в исходной задаче заменяется конечным дискретным множеством точек D_n, называемых сеткой. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальное уравнение в частных производных заменяется конечно-разностным уравнением. При этом производные искомой функции в выбранных узлах сетки заменяются разделенными разностями в соответствии с формулами (1.5), (1.8) и (1.10). Начальные и граничные условия заменяются разностными начальными и граничными условиями. Полученную таким образом систему конечно-разностных (алгебраических) уравнений решаем каким-либо методом и определяем значения искомой функции в узлах сетки, т. е. численное решение исходной задачи.

Сетка может быть Построена по-разному с учетом конкретных условий решаемой задачи. На плоскости наиболее часто применяют прямоугольные сетки. Прямоугольная сетка образуется системой прямых:

x_i=x₀+ih, y_k=y₀+kl (i, k = 0, l, 2, …).

Постоянные положительные числа h и l называются шагом сетки по оси Ох и Оу соответственно. Точки (х_i, у_k) пересечения прямых называются узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Узел сетки называется внутренним, если все его четыре соседних узла принадлежат области D.

Погрешность, получаемая в методе сеток, состоит из погрешности замены дифференциального уравнения разностным уравнением, погрешности приближенного решения системы разностных уравнений. Разностная задача должна обладать свойствами устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малым изменениям начальных условий соответствуют малые изменения решения разностной задачи. Сходимость схемы означает, что если неограниченно измельчать сетку, то последовательность решений, полученных методом сеток, будет сходиться равномерно к точному решению краевой задачи.

Понятия устойчивости и сходимости метода сеток в случае линейных дифференциальных уравнений второго порядка даны в гл. … . В случае дифференциальных уравнений в частных производных действительна теорема:

Если разностная схема аппроксимирует задачу с порядком р>0 относительно h и l и устойчива, тогда эта схема будет сходящейся и порядок ее сходимости будет совпадать с порядком аппроксимации.

2. РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ СЕТОК

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения теплопроводности. Задача состоит в отыскании функции и(х, t), удовлетворяющей в области D = {(х, t)| 0 ? х ? L, 0 ? t ? Т)} уравнению

(1.12)

начальному условию

(1.13)

и граничным условиям

(1.14)

Краевые условия (1.13), (1.14) относятся к типу краевых условий первого рода.

Задача (1.12) - (1.14) называется смешанной, поскольку она содержит как начальное, так и граничные условия.

Будем считать, что задача (1.12) - (1.14) имеет единственное решение и(х, t), непрерывное вместе со своими производными

Построим в области D={(x, t)| 0?x?L, 0?t?T} прямоугольную равномерную сетку с шагом h в направлении х и шагом ф - в направлении t.

Обозначим узлы сетки через (x_i, t_k), i = 0, n, k = 0, m, a приближенные значения функции и(x_i, t_k) в этих узлах - через u_ik. Тогда x_i =ih, h=L/n, t_k = kф, ф =t/m.

2.2 Явная разностная схема. Проблема устойчивости

В основе конечно-разностного метода (метода сеток) лежит замена производных соответствующими конечно-разностными отношениями. Подставив вместо дu/дt и д²u/дt² их разностные аналоги (1.5) и (1.10), получим следующую конечно-разностную схему:

(1.15)

которую можно привести к виду:

(1.16)

i = 1, 2, … , (n-1), k = 0, 1 ,2 , … , где

(1.17)

Граничные условия (1.14) определяют значения

(1.18)

Из начального условия (1.13) имеем

(1.19)

Уравнения (1.16) называют явной разностной схемой. Совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи (1.12) - (1.14), называют шаблоном. Разностной схеме (1.16) соответствует шаблон, который представлен на рис. 1.1.

Рис. 1.1

По формуле (1.16) можно вычислить значение искомой функции в узлах (k+1)-го временного слоя, если известны ее значения в узлах k-го слоя.

При k = 0, т. е. при t_k = 0, значения функции получаем из начальных условий (1.19):

По известным значениям решения на нулевом временном слое, т. е. по значениям u_i,0, формула (1.16) позволяет вычислить все значения и_i,1 (i = 1, 2 , … , n-1) на первом временном слое, затем (при k = 1) все значения и_i,2 (i = 1, 2 , … , n-1) на втором временном слое и т. д. при k = 3, 4, … , m.

В крайнем левом и правом узлах каждого слоя (i = 0, i = n) значения функции определяются из граничных условий (1.18):

Формула (1.16) позволяет в явном виде получать решение u_i,k,(i = l, n - 1, k = 1,m - 1), поэтому разностная схема (1.15) называется явной.

Какова же точность вычисленного приближенного решения? Строгий анализ этого вопроса представляет сложную проблему. Попытаемся получить некоторое представление о точности, рассмотрев два аспекта анализа погрешностей. Пусть u(x,t) - точное решение уравнения (1.12) с начальным (1.13) и граничными (1.14) условиями. Если подставить это точное решение в разностное уравнение (1.15), то оно удовлетворяется не полностью, а с некоторой погрешностью, называемой локальной погрешностью аппроксимации (дискретизации). Обозначая через r_ik (h) погрешность аппроксимации задачи (1.12) - (1.14) разностной схемой (1.15), с учетом погрешностей аппроксимации частных производных (1.6) и (1.11), имеем:

Обозначив

получим для оценки локальной погрешности аппроксимации следующее неравенство

(1.20)

Тот факт, что в выражение для локальной погрешности аппроксимации величина ф входит в первой степени, а h - во второй, обычно формулируют в виде утверждения, что конечно-разностный метод (1.16) имеет первый порядок точности по вpeмени и второй порядок точности по пространственной переменной, и записывается в виде