Для оценки амплитудно-фазовых характеристик рассчитанных колебаний проводился Фурье анализ модельных рядов уровня моря в каждой точке поля:
(1)
где f(t) - исходный временной ряд уровня моря,
N - длина ряда,
Т - период,
t - момент времени,
ak, bk - коэффициенты разложения, соответствующие своей частоте rn,
Zo - среднее значение ряда, k - номер коэффициента.
Амплитуда (Ak) и фаза (Fk) колебаний рассчитывалась следующим образом:
(2)
По результатам фурье-анализа строились амплитудные спектры рассчитанных колебаний уровня, и оценивалось пространственное распределение их амплитуд и фаз.
По разности фаз между соседними узлами сеточной области оценивались фазовые скорости поступательной компоненты волнового движения (С):
(3)
где, Cx, Cy - составляющие вектора фазовой скорости на параллель и меридиан,
Дх, Ду - расстояние между соседними узлами сеточной области вдоль параллели и меридиана, P - период колебаний,
AFx, AFy - разность фаз между узлами сеточной области вдоль параллели и меридиана. Оценка модуля фазовой скорости определялась по формуле:
(4)
Фазовые скорости рассчитывались только для тех районов, где Ak> 0,67а
(5)
где А - средняя по полю амплитуда колебаний уровня на каждой частоте т.
Для интерпретации результатов моделирования индуцированных колебаний в диапазоне мезомасштабной изменчивости уровня моря проводился вейвлет-анализ рядов ежечасных значений уровня в январе 2007 г. и сентябре 2018 г. в пункте Скаген, расположенном на границе пролива Скагеррак (Северное море) и пролива Каттегат (Балтийское море) (см. рис. 1). Предварительно, с помощью фильтра Баттерворта из рядов были исключены полусуточные приливы. Вейвлет-коэффициенты рассчитывались путем непрерывного вейвлет-преобразования по методике, изложенной в работе (Смоленцев, 2008):
(6)
где s(t) - сигнал;
a - масштабный коэффициент; параметр b определяет сдвиг по оси Ox;
t - время,
W - вейвлет Морле
(7)
Для исследования причин усиления полугодовых «внутренних» колебаний, по сравнению с годовыми колебаниями, которое было отмечено по результатам численного эксперимента, был проведён второй численный эксперимент, в котором на жидкой границе задавалось только одно гармоническое колебание с периодом 1 год.
Результаты и интерпретация численных экспериментов
На рис. 2а представлен спектр, задаваемых на жидкой границе колебаний уровня моря, и спектры индуцированных ими колебаний уровня в 2-х точках юго-западной части Балтийского моря. Хорошо видно, что после прохождения Датских проливов, амплитуда «внутренних» колебаний уровня моря практически на всех частотах уменьшается. Однако это уменьшение происходит не одинаково в разных частотных диапазонах. Менее всего гидравлическое сопротивление Датских проливов влияет на диссипацию энергии «внутренних» колебаний в диапазоне сезонной изменчивости (периоды от 1 года до 3-х месяцев). Их амплитуды на выходе из Датских проливов уменьшаются на 6-22%, причем, самое минимальное понижение амплитуды в этом диапазоне наблюдается у полугодовых вариаций уровня моря. В синоптическом диапазоне частот (периоды от месяцев до нескольких суток (Каменкович et al., 1987) с увеличением частоты происходит резкое уменьшение амплитуд «внутренних» колебаний на 30-99%. При переходе в мезомасштабный диапазон (периоды от нескольких суток до часов) отмечается увеличение амплитуд «внутренних» колебаний до 2-4 см по сравнению с соседним, более низкочастотным диапазоном. Эта особенность отмечается на периодах от 45 до 15 часов. Далее, при уменьшении периодов, амплитуды «внутренних» колебаний уровня резко уменьшаются почти до нулевых значений. Обращает на себя внимание, что в диапазоне периодов менее 300 часов амплитуды «внутренних» колебаний у северного побережья Арконского бассейна значительно меньше по сравнению с южным побережьем (рис. 2).
На рис. 3 представлены результаты гармонического анализа, демонстрирующие пространственные изменения амплитуд «внутренних» колебаний уровня в прибрежной зоне Балтийского моря в диапазоне периодов от 1 года до 3 часов.
В мезомасштабном диапазоне периодов наблюдается выраженная неоднородность в пространственных распределениях амплитуд «внутренних» колебаний, когда в одних районах выделяются обширные прибрежные акватории Балтики, где наблюдается практически полное затухание колебаний, в то время как в других регионах их амплитуды достигают 3-7.5 см (рис. 3). Например, в диапазоне периодов от 3 до 14 часов везде, кроме юго-западной Балтики и самой восточной части Финского залива амплитуды «внутренних» колебаний близки к нулю (рис. 3). В Ботническом заливе, у западного побережья открытой Балтики и у южного побережья Швеции почти полное затухание «внутренних» колебаний наблюдается в диапазоне периодов более 41 часа, но менее 4 суток. На западе Ботнического моря и на северо-западном побережье открытой Балтики эта особенность распространяется также на диапазон периодов от 20 до 35 часов.
На выходе из Датских проливов (Арконский бассейн) амплитуды «внутренних» мезомасштабных колебаний достигают 7-8 см. За пределами юго-западной части открытой Балтики самые большие амплитуды «внутренних» колебаний в мезомасштабном диапазоне наблюдаются для колебаний с периодами от 17 до 35 часов в Рижском и, особенно, в Финском заливе, где они достигают значений 4.5-5.4 см (рис. 3). Это известный диапазон собственных баротропных колебаний Балтийского моря, описанных в работах (Jonsson et al., 2008; Wubber & Krauss, 1979; Zakharchuk et al., 2021). Так, Вабер и Краус по результатам численных экспериментов с моделью мелкой воды выделили собственные баротропные колебания с периодами 31, 26, 22, 20, 17 и 13 часов (Wubber & Krauss, 1979). Моделирование собственных колебаний с помощью трёхмерной баротропной модели позволило выделить дополнительно, кроме перечисленных выше, колебания с периодами 41, 37, 29, 21, 16 и 15 часов (Zakharchuk et al., 2021).
В синоптическом диапазоне масштабов неоднородность в пространственном изменении амплитуд «внутренних» колебаний заметно уменьшается (рис. 3). Здесь, в диапазоне периодов от 2 до 15 суток, за исключением Арконского бассейна, вдоль всех побережий Балтики амплитуды «внутренних» колебаний имеют очень низкие значения, не превышающие 0.5-1.5 см (рис. 3). При понижении частоты оценки амплитуд увеличиваются до 6.5-7.5 см и становятся более однородными на всём протяжении побережий Балтийского моря.
В диапазоне сезонной изменчивости (периоды от 1 года до 3 месяцев) гидравлическое сопротивление Датских проливов оказывает незначительное влияние на распространение заданных на жидкой границе колебаний уровня внутрь Балтийского моря. Амплитуда полугодовой гармоники уменьшается на 6% до 9.4 см и остаётся неизменной во всех прибрежных зонах Балтики. У годовой гармоники амплитуда меняется от 8.2-8.4 см на выходе из Датских проливов до минимального значения 7.8 см в Невской губе Финского залива. Значения амплитуд третьгодовой гармоники везде составляют 8.2 см, а у четвертьгодовой - они немного меньше - 7.7-7.8 см.
Для того, чтобы ответить на вопрос, почему амплитуды «внутренних» годовых колебаний в Балтийском море меньше, чем у полугодовых, был проведён ещё один численный эксперимент. На жидкой границе задавалась только одна годовая гармоника с амплитудой 10 см. На рис. 4 приведены амплитудные спектры Фурье, полученные в рамках этого численного эксперимента. Хорошо видно, что на выходе из Датских проливов амплитуда годовой гармоники уменьшается, и в более высокочастотной области формируются обертоны годового хода уровня (рис. 4 б, в, г.). Этот результат может свидетельствовать, что выявленные особенности пространственной изменчивости амплитуд «внутренних» колебаний уровня в диапазоне сезонной изменчивости в первом численном эксперименте связаны с тем, что из-за нелинейных взаимодействий, которые могут быть вызваны работой адвективных ускорений и придонным трением, происходит передача энергии от годовых колебаний в более высокочастотную область спектра, где генерируются обертоны годового хода уровня моря, из которых наибольшую амплитуду имеет полугодовой обертон, величина которого максимальна на востоке Финского залива. В результате, амплитуда годовой гармоники уменьшается, а амплитуда «внутреннего» полугодового колебания увеличивается за счет влияния обертона.
Согласно теоретическим представлениям, в морских бассейнах релаксация водных масс к условиям равновесия после прекращения действия возмущающих сил происходит в виде длинных волн 2-х классов: гравитационных и градиентно-вихревых (LeBlond & Mysal, 1978; Педлоски, 1984; Тареев, 1971). В ограниченных морских бассейнах большое влияние на динамику длинных волн оказывают эффекты отражения, проявляющиеся в формировании стоячих мод гравитационных волн и мод градиентно-вихревых волн, свойственных замкнутым бассейнам (LeBlond & Mysal, 1978; Некрасов, 1975; Педлоски, 1984).
Теоретические исследования длинных гравитационных волн в полуограниченных и замкнутых бассейнах свидетельствуют, что на частотах w, где вращение Земли не ощущается, т.е. w > f (f - параметр Кориоллиса), формируются сейши - свободные затухающие стоячие гравитационные волны, генерирующиеся на частотах собственных колебаний бассейна (Грузинов, 1973; Лабзовский, 1971). Самый простой вид сейш - когда уровень воды поднимается у одного края бассейна, в то же время, опускаясь у другого его края, а посередине бассейна наблюдается узловая линия, вдоль которой колебания уровня отсутствуют, и частицы воды движутся только горизонтально. Этот вид сейш называют одноузловыми. Двухузловой называют сейшу, имеющую две узловые линии. Сейши бывают и многоузловые - три, четыре и более узлов. Специфической особенностью сейш является одновременность фазы колебания во всех точках бассейна с резким ее изменением на 180° в узловой зоне. Результаты численного моделирования показывают, что в Балтийском море при отсутствии вращения Земли для сейши с периодами 40,6 часов единственная узловая линия располагается на самом севере открытой Балтики (Wubber & Krauss, 1979). изменчивость уровень балтийский баротропный северный море
На частотах близких к инерционной частоте, или существенно ниже её, где велико влияние вращения Земли, в стоячей гравитационной волне происходит ослабление развития фиксированных узловых линий и стягивание их в узловые точки (амфидромические центры), вокруг которых возмущения уровня моря начинают вращаться против часовой стрелки в виде волны Кельвина в северном полушарии и по часовой стрелке - в южном (Wilson, 1972). Такие колебательные движения имеют признаки как стоячих, так и прогрессивных волн. Признак стоячих волн - наличие выраженной узловой области в виде амфидромии, в центре которой колебания уровня отсутствуют, и пучностей, где колебания уровня максимальны. Признак прогрессивных волн - квазимонотонное изменение фазы волны в пространстве, вокруг амфидромического центра. В некоторых работах такие волны называют смешанными или прогрессивно-стоячими (Zakharchuk et al., 2021; Крылов, 1946; Некрасов, 1975; Тимонов, 1959).
В реальных природных условиях ограниченных морских бассейнов, из-за сложности очертаний берегов и рельефа дна под влиянием вращения Земли стоячие гравитационные волны модифицируются в многоузловые прогрессивно-стоячие волны Кельвина (Pugh, 1987; Taylor, 1922; Zakharchuk et al., 2021; Некрасов, 1975).
Именно такие особенности колебательных движений мы наблюдаем на рис. 5а, б, в, где показаны амплитудно-фазовые характеристики «внутренних» баротропных колебаний в мезомасштабном диапазоне частот. Отклик уровенной поверхности Балтийского моря на воздействие «внешних» колебаний с периодами 12, 24 и 26 часов проявляется в виде генерации прогрессивно-стоячих волн (Zakharchuk et al., 2021; Крылов, 1946; Некрасов, 1975; Тимонов, 1959) с выраженными амфидромическими системами и пучностями, вращающимися против часовой стрелки вокруг амфидромических центров в виде волн Кельвина (рис. 5а, б, в). Для колебаний с периодом 12 часов отмечается 8 амфидромий, и практически на всей акватории Балтики их амплитуды не превышают 0.4 см и только на самом востоке Финского залива, а также на юго-западе открытой Балтики отмечаются пучности, в которых амплитуда повышается до 0.8 см на востоке Финского залива и до 3.5 см на юго-западе моря (рис. 5а).
Для колебаний с периодом 24 часа наблюдаются 2 амфидромические системы: одна- на севере Ботнического залива, вторая - на самом севере открытой Балтики, а также пучности в Финском и Рижском заливах и на юго-западе моря (рис. 5б). Период 26 часов соответствует периоду доминирующих по амплитуде собственных баротропных колебаний Балтийского моря (JOnsson et al., 2008; Wubber & Krauss, 1979; Zakharchuk et al., 2021). По этой причине происходит резонанс между «внешними» колебаниями с периодом 26 часов и собственными колебаниями Балтики, в результате которого внутри моря генерируется двухузловая прогрессивно-стоячая волна Кельвина (рис. 5в), имеющая наибольшую амплитуду (5-6 см) по сравнению с «внутренними» колебаниями других частот мезомасштабного диапазона (см. рис. 3). Одна из амфидромий у этих колебаний располагается на севере Ботнического залива, другая - на северо-западе открытой Балтики (рис. 5в). Основные пучности отмечаются в Финском заливе и на юго- западе моря, а менее выраженные - в Рижском заливе и на севере Ботнического залива (рис. 5в). Эти результаты свидетельствуют, что «внешние» колебания с периодами собственных колебаний Балтийского моря могут вносить определённый вклад в формирование опасных подъёмов уровня в Балтике. Например, хорошо известно, что длинные волны, которые генерируются во время штормовых нагонов и вызывают наводнения на востоке Финского залива, имеют периоды, близкие к периодам собственных колебаний Балтики (Захарчук et al., 2020; Куликов & Медведев, 2013), и в ряде работ показано, что одним из механизмов опасных подъёмов уровня в Невской губе может быть резонанс между анемобарическими силами в движущемся над морем глубоком циклоне и собственными колебаниями Балтики (Захарчук et al., 2017; Захарчук & Тихонова, 2011; Куликов & Медведев, 2013). Мареографные измерения уровня на границе Северного и Балтийского морей в пункте Скаген (см. рис. 1) свидетельствуют, что в осеннее-зимний период здесь отмечаются довольно интенсивные неприливные мезомасштабные колебания, которые приводят к подъёмам уровня в данном районе около 1 метра (рис. 6). Вейвлет-анализ этих колебаний показывает (рис. 6 б, г), что их периоды близки к периоду 26-27 часов, который имеют доминирующие по амплитуде в Балтийском море собственные баротропные колебания (Jonsson et al., 2008; Wubber & Krauss, 1979; Zakharchuk et al., 2021). Этот результат свидетельствует о возможности резонанса между «внешними» и собственными колебаниями Балтийского моря. Возможен, по-видимому, и двойной резонанс генерации волн невских наводнений, когда периоды изменчивости анемобарических сил в проходящем над Балтикой глубоком циклоне и «внешних» колебаний совпадают с собственными баротропными колебаниями Балтийского моря.
Средняя глубина Балтийского моря равна 54 м, средние глубины его основных заливов меняются от 15 до 77 м, а максимальная глубина достигает 458 м (Lepparanta & Myrberg, 2009). Теоретические фазовые скорости гравитационных волн, соответствующие таким глубинам, и оцененные по известной формуле Cg =( gH)in (где g - ускорение свободного падения, H - средняя глубина Балтийского моря) равны 12-67 м/с. Оценки фазовой скорости поступательной компоненты волнового движения у «внутренних» колебаний с периодом 12.4 часа, рассчитанные на основе результатов численного моделирования по формулам (3)-(4), варьируют от 12 до 42 м/с (см. рис. 7а), т.е. входят в диапазон теоретических фазовых скоростей гравитационных волн. Фазовые скорости колебаний с периодами 24 часа меняются от 6.0 до 22 м/с (рис. 7б), а у 26часовых колебаний они равны 6-19 м/с (рис. 7в). Такие оценки также, частично, пересекают диапазон теоретических фазовых скоростей гравитационных волн.
В синоптическом диапазоне частот амплитудно-фазовая картина «внутренних» колебаний значительно меняется. Результаты, представленные на рис. 5 г, д, е, демонстрируют, что у колебаний с периодами 4, 7 и 25 суток отсутствуют амфидромические системы, но сохраняется неоднородность пространственного распределения оценок фаз: в южной части моря отмечается сгущение изофаз, а севернее - их разрежение (рис. 5 г, д, е). Эта особенность также является признаком прогрессивно-стоячих волн (Некрасов, 1975). Гидравлическое сопротивление Датских проливов оказывает значительное влияние на распространение заданных на границе колебаний с периодами 4 и 7 суток: их амплитуды за проливной зоной уменьшаются приблизительно на порядок до значений 0.3-1.4 см (рис. 5г, д). Оценки амплитуд у колебаний с периодом 25 суток остаются однородными на всей акваторией Балтики за проливной зоной и имеют значения около 3 - 3.5 см.
В ограниченных бассейнах на частотах w < f, кроме низкочастотных волн Кельвина могут генерироваться захваченные градиентно-вихревые волны, подобные топографическим волнам Россби (Ефимов et al., 1985). Это преимущественно горизонтально-поперечные волновые движения, которые генерируются только на частотах, лежащих всегда ниже инерционной частоты. В ряде работ возмущения синоптического масштаба в полях течений и уровня Балтийского моря идентифицировались, как топографические волны (Каиб8ерр et al., 2003; Айтсам & Талпсепп, 1982; Захарчук, 2007; Захарчук et al., 2004, 2006; Талпсепп, 1983). Топографические волны всегда распространяются вдоль изобат, оставляя зону подъёма дна справа в северном полушарии, и слева - в южном (Ефимов et al., 1985). Результаты на рис. 7 г, д, е свидетельствуют, что в синоптическом диапазоне «внутренние» колебания уровня моря с периодами 4 суток распространяются с фазовыми скоростями 1.6-5.5 м/с, 7 суток - 0.9-3.0 м/с, 25 суток - 0.2-0.8 м/с. Эти значения значительно меньше теоретических оценок фазовых скоростей баротропных гравитационных волн для условий Балтийского моря, которые мы получили выше. Можно предположить, что в синоптическом диапазоне частот «внутренние» баротропные волновые движения в поле уровня Балтийского моря могут быть связаны с топографическими волнами.