Материал: Арбитражные ситуации в букмекерских конторах

Дата

Событие

П1

Х

П2

Ф

К

1

26.11 18:00

Германия - Франция

1.28

12.00

3.90

-3.5 +3.5

1.85 1.85

2

26.11 20:00

Норвегия - Россия

2.40

10.00

1.65

+ 1.5 -1.5

1.75 1.95

В букмекерской конторе Бетсити сделаем ставку на победу России (исход - П2) с коэффициентом 2,20. Это означает, что если мы поставим на Россию, и она выиграет, то на каждые 100 рублей, которые мы поставили, мы получим от букмекерской конторы 220 рублей. Из них 100 рублей - это наша первоначальная ставка, а 120 рублей это наша чистая прибыль.

Таблица 2.2. Линия конторы "Бетсити"

В букмекерской конторе Фаворит нас интересует коэффициент на ничью (исход -X), который равен 11,5. Это означает, что если мы поставим на ничью, и никакая команда не выиграет, то на каждые 100 рублей, которые мы поставили, мы получим от букмекерской конторы 1150 рублей. Из них 100 рублей - это наша первоначальная ставка, а 1050 рублей это наша чистая прибыль.

Таблица 2.3. Линия конторы "Фаворит"

Если сделать ставку только в одной из этих контор и на одно событие, то всегда может случиться так, что результат игры мы не угадали и соответственно проиграли.

Однако, что будет, если поставить на все три исхода одновременно? Если поставить на все три исхода одновременно в одной и той же конторе, то, несмотря на то, что одна из наших ставок обязательно выиграет, в качестве выплаты мы получим сумму, которая не покрывает сумму сделанных ставок - то есть, в итоге мы проиграем. Это связано с тем, что в коэффициенты выплат на три возможных исхода заранее заложена маржа букмекерской конторы, которая дает ей возможность получать прибыль. Однако коэффициенты различных букмекерских контор в силу разных причин могут быть не так "согласованы", как в одной и той же конторе. И тогда мы можем получить ту ситуацию, которую называют арбитражной ситуацией или вилкой.

Покажем, что три выбранных выше исхода в трех разных, выбранных нами, букмекерских конторах, дают нам пример арбитражной ситуации. То есть, поставив определенные суммы на все три возможных исхода, мы получим прибыль при любом реальном исходе игры. Допустим, что мы имеем 1000 рублей и хотим сделать ставки на эту сумму. Разобьем эту сумму на ставки следующим специальным образом:

-       поставим на Норвегию 434,86 рубля,

-       поставим на Россию 474,39 рублей,

-       и поставим на ничью 90.75 рублей.

Посмотрим, что будет при реализации каждого из трех возможных исходов.

Если победила Норвегия, то поскольку мы ставили на нее по коэффициенту 2,4, мы получим на руки 434,86*2,4 ~ 1043,66 рубля.

Если победила Россия, то поскольку мы ставили на нее по коэффициенту 2,2, мы получим на руки 474,39*2,2 ~ 1043,66 рубля.

Если победила дружба (ничья), то поскольку мы ставили на нее по коэффициенту 11,5, мы получим на руки 90,75*11,5 ~ 1043,63 рубля.

Отсюда видно, что чтобы ни произошло, мы получим на руки, приблизительно, на 43,63 рубля больше чем поставили на все три исхода вместе взятые. То есть мы получили прибыль 4.36% с оборота без риска проиграть, с одной операции.

.2 Математическое обоснование арбитражной ситуации

Сначала приведу список обозначений, который будет использоваться в дальнейшем.- коэффициент выплаты на исход победа команды 1- коэффициент выплаты на исход победа команды 2- коэффициент выплаты на исход ничья.

Коэффициенты на другие исходы обозначаются аналогичным образом.- вероятность победы первой команды- вероятность победы второй команды- вероятность ничьей.

Вероятности других исходов обозначаются аналогичным образом.- сумма, поставленная на победу первой команды- сумма, поставленная на победу второй команды- сумма, поставленная на ничью

Суммы, поставленные на другие исходы, обозначаются аналогичным образом.

.3 Расчет вероятностей исходов и коэффициентов выплат

Здесь приводятся формулы, связывающие между собой коэффициенты на основные исходы спортивных событий. Они будут полезны для ‘отсева’ новых типов вилок при их перечислении путем некоторых формальных процедур.

Сначала выведем формулы, которые не требуют сложной математики. Допустим, нам известны вероятности победы первой команды, ничьей и победы второй команды.

Какие коэффициенты можно вычислить в данных условиях? При данных условиях можно вычислить теоретические коэффициенты выплат следующих линий:

-X-2

X-12-2X (зеркальное отображение линии 1-Х-2)

-2

Вычислим коэффициенты для линии 1-X-2. Если мы будем ставить на 1-е событие, то в среднем получим доход P1*K1*V, который должен быть равен сумме ставки V, при условии, что маржа букмекерской конторы равна нулю. То есть

*K1*V = V,

и значит что

= 1/P1.

Таким же образом мы получаем значения других коэффициентов:

= 1/PX= 1/P2

Поскольку

+PX+P2 = 1,

то получаем условие на коэффициенты при нулевой марже букмекерской конторы:

/K1+1/KX+1/K2 = 1

Аналогичным способом вычисляются коэффициенты K1X, K12 и K2X. Вероятность события 1X = P1 + PX. Соответственно теоретический коэффициент равен

K1X = 1/(P1 + PX) = 1/(1/K1 + 1/KX) = (K1*KX)/( K1+KX)

Аналогично:

K2X = 1/(P2 + PX) = 1/(1/K2 + 1/KX) = (K2*KX)/( K2+KX)

12= 1/(P1 + P2) = 1/(1/K1 + 1/K2) = (K1*K2)/( K1+K2)

Как на основе этих же вероятностей вычислить теоретические коэффициенты 1-2 или money lines. В ставках на ‘денежную линию’ при ничьей происходит возврат суммы ставки. Поэтому если мы будем ставить на исход 1, то получим в среднем

*KП1*V + PX*V,

что должно быть равно V.

Аналогичные рассуждения справедливы для ставок на исход 2. Поэтому:

*KП1 + PX = 1*KП2 + PX = 1

Отсюда

KП1 = (1-PX)/P1 = (KX-1)*K1/KX.

Но KX = 1/(1-1/K1-1/K2) = (K1*K2)/(K1*K2-K1-K2)= (K1+K2)/(K1*K2-K1-K2)П1 = (K1+K2)/K2П2 = (K1+K2)/K1

Нам будут также необходимы формулы, дающие выражения для коэффициентов для фор -0,25 и +0,25 - они также легко выводятся из коэффициентов K1, KX.

Обозначим KF1 коэффициент на фору -0.25. Тогда формула баланса выигрыша-проигрыша будет:

*KF1 + PX/2 = 1

так как в случае ничьей мы получаем возврат половины ставки.

Отсюда

KF1 = (1-PX/2)/P1 = (2*KX-1)*K1/(2*KX )= K1*(1-1/(2*KX))

Аналогично

KF2 = (1-PX/2)/P2 = (2*KX-1)*K2/(2*KX = K2*(1-1/(2* KX))

Теперь обозначим KF1 коэффициент на фору +0.25. Тогда формула баланса выигрыша-проигрыша будет:

*KF1 + PX*KF1/2 + PX/2 = 1

Отсюда

KF1 = (1-PX/2)/P1 = (2*KX-1)*K1/(2*KX )= K1*(1-1/(2*KX))

Аналогично

KF2 = (1-PX/2)/P2 = (2*KX-1)*K2/(2*KX = K2*(1-1/(2* KX))

Теперь обозначим KF1 коэффициент на фору +0.25. Тогда формула баланса выигрыша-проигрыша будет:

*KF1 + PX*KF1/2 + PX/2 = 1

.4 Условие арбитражной ситуации

Когда делается ставка на событие, она может проиграть, выиграть, а также возможен вариант, когда мы ничего не проигрываем и не выигрываем - то есть, имеем возврат (денег). Каждое событие имеет свой коэффициент выигрыша: Ki >= 1, i =1,N. Если коэффициент Ki > 1, то при реализации этого исхода у нас будет чистая прибыль Vi*(Ki-1), где Vi сумма нашей ставки. Если Ki = 1, то это случай возврата денег, такие коэффициенты не присутствуют в линиях букмекерских контор (но подразумеваются для исходов не входящих в условие ставки). Допустим, мы ставим на каждый исход игры сумму Vi, i=1,N. Как будет ясно из дальнейшего хода анализа, при наличии вилки мы будем вынуждены делать ставки на все события (исходы игры) входящие в наш список (который зависит от типа вилки). Поскольку, делая ставки, игрок хочет выигрывать деньги, то есть, получать больше чем поставил, и хочет, чтобы это было при любом возможном исходе игры (в этом состоит суть "вилки"), то мы получаем систему неравенств "прибыльности":

*Vi > V1+V2+…VN = V, i=1,N (1)

Она означает, что каждый (любой) возможный выигрыш по каждому исходу игры (Ki*Vi) должен покрывать все наши расходы на все исходы ставки, включая те, которые не сыграли, то есть общие расходы, равные V. Естественно, что коэффициенты, удовлетворяющие данным условиям нельзя найти в одной букмекерской конторе, таких контор должно быть минимум две. Перепишем эти неравенства как

*Di > 1,

где Di = Vi/V, часть полной суммы проставленная на данный исход. Возникает вопрос как из этой системы неравенств определить, дает ли данный набор коэффициентов возможность получить нам прибыль хотя бы при одном варианте распределения общей суммы ставки по возможным исходам.

Так как все Ki>1>0, то систему неравенств можно (разделив на Ki) переписать как

> 1/Ki, i=1,N

Складывая правые и левые части всех этих неравенств, получаем

+D2+…+DN >1/K1 + 1/K2 + … + 1/KN

Но D1+D2+…+DN = V1/V+V2/V +… VN/V = (V1+V2+…VN)/V = V/V = 1,

поэтому мы получаем условие, которому должны удовлетворять коэффициенты событий (исходов игры):

Условие получено без каких-либо предположений о способе разбиения общей суммы по исходам, а значит справедливо для всех без исключения вариантов. Это условие является необходимым для существования "вилки". Так как если вилка существует (удовлетворяются все исходные "прибыльные" неравенства), то в силу вывода коэффициенты Ki, i=1,N будут удовлетворять последнему соотношению.

Нужно проверить является ли это условие достаточным для существования вилки. Для этого нужно показать, что при выполнении данного соотношения (2) всегда найдутся такие Vi (распределение общей суммы ставки по исходам), что при них будут удовлетворены все "прибыльные" соотношения (1). То есть возможно получить прибыль независимо от исхода события. Для этого обозначим L = 1/K1 + 1/K2 +… + 1/KN и разобьем все сумму ставки по исходам пропорционально 1/Ki, i=1,N.

Для этого положим Vi = (1/Ki * V)/L. Действительно, складывая все Vi, мы получаем V, и, кроме того, Vi разбиты пропорционально 1/Ki. Проверим, что при таком распределении общей суммы ставок по исходам выполняются наши прибыльные (вилочные) соотношения (2). Подставляя Vi в каждое из соотношений (1),получаем:

*Vi = (Ki * 1/Ki * V)/L = V/L > V

(так как L<1 по условие, которому, как предполагается, удовлетворяю наши коэффициенты исходов).

То есть мы получили, что при данном условии на Ki (L<1) и предложенном распределении общей суммы ставки по исходам, мы при любом исходе игры получим прибыль, что и требовалось доказать. То есть условие 1/K1 + 1/K2 + … + 1/KN < 1 является необходимым и достаточным для получения прибыли независимо от исхода игры.

Если мы знаем, что наши коэффициенты удовлетворяют условию (2), то есть являются вилочными, то мы без труда сможем рассчитать суммы, которые необходимо поставить на каждый исход, чтобы быть в одинаковом плюсе независимо от того как завершится событие:

Для двух исходного события:

V1=V*K2/(K1+K2)=V*K1/(K1+K2)

Для трех исходного события:

V1= V*K2*KX/(K1*K2+K1*KX+K2*KX)

V2=V*K1*KX/(K1*K2+K1*KX+K2*KX)=V*K1*K2/( K1*K2+K1*KX+K2*KX).

Глава III. Метод "критерий Келли"

.1 Суть метода "критерий Келли"

Фундаментальной проблемой в играх является поиск возможностей ставок с положительным ожиданием. Аналогичная проблема в инвестировании - поиск возможностей инвестирования с "избыточной", с учетом поправок на риск, доходностью. Как только такие благоприятные возможности идентифицированы, игрок или инвестор должен решить, какую часть своего капитала поставить на кон. Один из подходов состоит в том, чтобы оценить деньги, используя функцию полезности. Она определена для всех неотрицательных вещественных чисел, имеет вещественные значения и является не убывающей.

Некоторые примеры:

U(x) = xα, 0 ≤ α < ∞ и U(x) = log x,

где log означает loge, а log 0 = -∞. Как только функция полезности определена, цель состоит в том, чтобы максимизировать ожидаемую величину полезности капитала. Суть метода "критерий Келли" заключается в нахождении величины ставки для каждой попытки, такой что она максимизировала E [log X], ожидаемую величину логарифма капитала X . Функция полезности log x была вновь использована Джоном Келли в 1956 году, показавшим, что она имеет некоторые замечательные свойства. Если все ставки имеют положительное ожидание и независимы, ставки Келли, при игре на одну ставку будут чрезвычайно просты: ставьте долю вашего текущего капитала, равную вашему ожиданию. На практике эта оценка несколько меняется (как правило, снижается) для того, чтобы допустить возможность "ждущих ставок", имеющих некоторое отрицательное ожидание, при более высоких колебаниях, возникающих из-за выплат, больших, чем один к одному, и когда играются больше одной ставки одновременно. Критерий Келли известен так же экономистам и теоретикам-финансистам под такими именами как "стратегия максимизации геометрического среднего портфеля", максимизация логарифмической полезности, стратегия оптимального роста, критерий роста капитала.

.2 Описание метода "критерий Келли" и его свойства

В этой главе рассматриваются свойства критерия Келли. Для простоты, проиллюстрируем его на примере самого простейшего случая - подбрасывания монеты, но концепция и выводы легко обобщаются.

Допустим, мы играем с бесконечно богатым противником, который будет делать повторяющиеся ставки на независимые события - броски монеты. Далее, предположим, что при каждом броске наша вероятность победы p> 1/2, а вероятность потери q = 1 - p. Наш начальный капитал - XO. Предположим, что наша цель - максимизация ожидаемой величины E (Xn) через n попыток. Сколько мы поставим, Bk, на k-ой попытке? Пусть Tk = 1, если k-я попытка - выигрышная и Tk = -1, если она проиграна, тогда Xk =Xk-1 + Tk Bk для k = 1,2,3.., и Xn = XO + Σnk=1TkBk. Тогда

Так как игра имеет положительное ожидание, то есть p-q> 0, в этой ситуации равных выплат, для того, чтобы максимизировать Е(Хn), мы должны были бы максимизировать E(Bk) для каждой попытки. Таким образом, чтобы максимизировать ожидаемый рост мы должны ставить все наши ресурсы в каждой попытке. Таким образом, B1 = X0 , и, если мы выигрываем первую ставку, B2 = 2X0, и т.д. Однако, вероятность краха при этом будет 1 - pN и при p < 1, lim n→∞ [1 -рn] = 1 , так что крах почти неизбежен. Таким образом, "смелый" критерий ставок для максимизации ожидаемого роста обычно нежелателен.

Аналогично, если наша стратегия состоит в том, чтобы минимизировать вероятность возможного краха (а "крах" происходит, если XK = 0 на k-ой попытке), мы должны делать минимальную ставку на каждой попытке, но это, к сожалению, также минимизирует и ожидаемый рост. Таким образом, "робкая" система ставок также непривлекательна.

Это предполагает существование промежуточной стратегия, которая лежит где-то между максимизацией E (Xn) (и верным крахом) и уменьшением вероятности краха (и уменьшением E (Хn)). Асимптотически оптимальная стратегия была впервые предложена Джном Келли в 1956 году.