Так как при фиксированном возбуждении паром имеет две степени свободы. Паром будет иметь два передаточных уравнения, в которых одно уравнение по регулирующему воздействию, а второе по возмущающему.
Введя оператор дифференцирования и решая уравнения совместно получим:
- передаточная функция парома по управляющему сигналу.
- передаточная функция парома по возмущающему воздействию.
7.5 Гироскоп
Гироскоп - это малогабаритный генератор постоянного тока с независимым возбуждением, ЭДС которого линейно зависит от угла отклонения. В электромеханических системах гироскоп, обычно, является электрическим датчиком, входным сигналом которого служит угол, а выходным сигналом является напряжение. Если предположить, что гироскоп работает в режиме близком к режиму холостого ход., т. е. RГ > ?, то можно считать, что UГ = ЕГ ? ? 0.
Основное требование, которое предъявляется к гироскопу, требование линейности выходной характеристики по отношению к частоте вращения. Также учитывается крутизна характеристики и диапазон изменения угла парома г (до гmax - допустимого угла наклона парома).
С учетом выполнения описанных условий, тахогенератор можно рассматривать как безынерционное звено с передаточной функцией:
WTг(p)=KГ
7.6 Задатчик угла и транзисторный мостовой усилитель
Задатчик угла, и транзисторный мостовой усилитель (далее ТМУ) имеют следующие интегрирующие передаточные функции:
WЗК(p) = KЗУ - передаточная функция задатчика угла.
WТМУ(p) = KТМУ - передаточная функция ТМУ.
Рисунок 7.1 - Структурная схема системы автоматической стабилизации килевой качкиПередаточные функции системы автоматического управления
Для определения передаточных функций систему в разомкнутом состоянии размыкаем систему (см. рисунок 7.1). Передаточная функция разомкнутой системы.
При подстановке числовых значений:
Передаточная функция разомкнутой системы по возмущению:
При подстановке числовых значений:
Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию:
При подстановке числовых значений:
Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию:
=
При подстановке числовых значений:
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия:
При подстановке числовых значений:
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия:
При подстановке числовых значений:
8. Уравнения динамики замкнутой системы
Уравнение динамики замкнутой системы, разрешенное относительно регулируемой величины, в общем случае имеет вид:
где L(p) - характеристический полином замкнутой системы, описывающий её свободное движение;
R(p) - операторный полином, характеризующий влияние задающего воздействия на выходную координату;
S(p) - операторный полином, характеризующий влияние возмущающего воздействия на выходную координату.
В рассматриваемом случае оно примет вид:
Или, если заменить оператор p на :
Уравнение динамики замкнутой системы, разрешенное относительно сигнала ошибки, в общем случае имеет вид
где Q(p) - операторный полином, характеризующий влияние задающего воздействия на сигнал ошибки;
S(p) - операторный полином, характеризующий влияние возмущающего воздействия на сигнал ошибки.
В рассматриваемом случае
Или, если заменить оператор p на :
9. Анализ структурной устойчивости системы автоматического регулирования
Передаточная функция рассматриваемой системы в разомкнутом состоянии имеет вид:
Поскольку числитель передаточной функции не содержит форсирующих звеньев, то для структурной устойчивости САР необходимо и достаточно выполнение неравенств:
q + t < 2
n > 4•r,
где
q - число сомножителей, характеризующих интегрирующие звенья;
t - число сомножителей, характеризующих неустойчивые апериодические звенья первого порядка;
r - число сомножителей, характеризующих консервативные звенья; n - порядок полинома Q(p).
При q = l, t = 0, r = 0 и n = 7 получаются верные неравенства:
1 + 0 < 2;
7>4•0.
Поскольку неравенства справедливы, можно сделать вывод о том, что система является структурно устойчивой.
10. Анализ динамической устойчивоси системы автоматического регулирования
Оценка динамической устойчивости с помощью критерия Рауса
Характеристический полином замкнутой системы имеет вид:
Таким образом, коэффициенты характеристического уравнения:
а0= 5,904•10-15
a1 = 15,783•10-13
а2 = 5,904•10-7
а3 = 8,403•10-5
а4 = 4,82•10-3
а5 = 0,124
а6 = 1
а7 = 32,2
Поскольку все коэффициенты характеристического полинома больше нуля, необходимое условие устойчивости системы выполняется. Однако выполнение этого условия не является достаточным для устойчивости системы. А потому анализ системы на устойчивость проводится с помощью критериев.
Таблица Рауса, рассчитанная для данных коэффициентов, имеет вид:
Рисунок 11.1 -Таблица Рауса
Необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов 1-го столбца таблицы. А, так как, в рассматриваемом случае в 1-м столбце таблицы имеется один отрицательный коэффициент (с71 = - 0,409), то можно сделать вывод о том, что система неустойчива в замкнутом состоянии.
Оценка динамической устойчивости с помощью критерия Гурвица.
Применение критерия устойчивости Гурвица требует составления матрицы следующего вида:
Рисунок 11.2 - Матрица Гурвица для данной системы
где ai - коэффициент характеристического полинома замкнутой системы.
Для данной системы матрица Гурвица будет иметь вид:
Рисунок 11.3 - Матрица Гурвица
Рассматриваемая система будет устойчивой, если при выполнении условия а0>0, являются положительными все диагональные определители, получаемые из матрицы Гурвица,
Д1 = a1 = 15,783•10-13
Рисунок 11.4 - Определители матриц Гурвица
Поскольку диагональные определители Д6 = - 6.35•10-27 и Д7 = - 2.044•10-25 имеют отрицательные значения, можно сделать вывод о том, что согласно критерию Гурвица, рассматриваемая система является неустойчивой.
Оценка динамической устойчивости с помощью критерия Михайлова.
Критерий предполагает построение годографа Михайлова - кривой, которую описывает конец вектора L(jщ) на комплексной плоскости при изменении щ от 0 до ?.
Характеристический комплекс L(jщ) образуется из характеристического полинома L(p) при подстановке p = jщ:
L(щ) = 5,904•10-15•(j?)7 + 15,783•10-13•(j?)6 + 5,904•10-7•(j?)5 +
+ 8,403•10-5•(j?)4 + 4,82•10-3•(j?)3+0,124•(j?)2+1•(j?) + 32,2=
= (-15,783•10-13• щ 6+8,403•10-5• щ 4-0,124• щ 2+32,2) + j(-5,904•10-15• щ 7+
+5,904•10-7• щ 5-4,82•10-3• щ 3+ щ)
Вещественная часть характеристического комплекса:
UL(щ) = -15,783•10-13• щ 6+8,403•10-5• щ 4-0,124• щ 2+32,2.
Мнимая часть характеристического комплекса:
VL(щ) = - 5,904•10-15• щ 7+5,904•10-7• щ 5-4,82•10-3• щ 3+ щ
Значения UL(щ) и VL(щ) для различных частот щ приведены в таблице1.
Таблица 1 - Значение вещественной и мнимой части характеристического полинома
|
щ |
0 |
2 |
3 |
5 |
7 |
10 |
12 |
15 |
|
|
UL(щ) |
32,2 |
799,28 |
798,38 |
795,52 |
791,26 |
782,32 |
774,73 |
761,09 |
|
|
VL(щ) |
0 |
1,96 |
2,87 |
4,41 |
5,38 |
5,29 |
3,86 |
-0,90 |
|
|
щ |
20 |
25 |
30 |
40 |
50 |
60 |
+ ? |
||
|
UL(щ) |
733,04 |
699,80 |
663,52 |
592,64 |
546,88 |
560,24 |
- ? |
||
|
VL(щ) |
-17,68 |
-48,59 |
-97,17 |
-261,44 |
-538,75 |
-957,36 |
- ? |
По рассчитанным значениям Ul(щ) Vl(щ) производится построение годографа Михайлова (рисунки 11.5 - 11.7).
Рисунок 11.5 - Годограф Михайлова при щ[0;15]
Рисунок 11.6 - Годограф Михайлова при щ[5;100]
Рисунок 11.7 - Годограф Михайлова при щ[100;10000]
Для того чтобы система была устойчивой, необходимо выполнение следующих условий:
Годограф начинается (при щ = 0) на положительной полуоси вещественных.
При изменении щ от 0 до +? годограф поочередно проходит n квадрантов комплексной плоскости (в данном случае n = 7), не нарушая очередности прохождения из квадранта в квадрант и не пересекая начала координат.
При щ>+? годограф располагается в квадранте, соответствующем порядку исследуемой системы (в рассматриваемом случае должен быть третий квадрант).
Анализируя расположение на комплексной плоскости полученного годографа, можно сделать вывод, что условие 2 не выполняется - годограф переходит из I-го квадранта в IV-й, минуя II-й и III-й, и в результате нарушается последовательность прохода квадрантов и число пройденных квадрантов при изменении щ от 0 до +? меньше порядка системы (2 < 7). Таким образом, согласно критерию Михайлова, система неустойчива.
Оценка динамической устойчивости с помощью критерия Найквиста.
Для анализа системы в замкнутом состоянии на устойчивость по критерию Найквиста предварительно должно быть определено число положительных корней характеристического полинома разомкнутой системы.
Характеристический полином разомкнутой системы имеет вид:
Его корни:
|
p1 = 0 |
p2 = -48,311 |
pЗ = - 14,026 |
|
|
p4 = -62,488-10j•103 |
p2 = -62,488+10j•103 |
pЗ = -40,008+29,995j |
|
|
p1 = -40,008 - 29,995j |
Так как имеется один нулевой корень, то система обладает астатизмом первого порядка. Остальные корни являются отрицательными либо комплексными сопряженными, а это значит, что для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы при изменении щ от 0 до +? не охватывал точку с координатами (-1; j0) или чтобы сумма условных переходов равнялась нулю.
Для построения АФХ разомкнутой системы необходимо в передаточной функции разомкнутой системы W(p) заменить р на jщ:
Таким образом, по полученным выражениям для вещественной и мнимой частей АФХ разомкнутой системы осуществлен расчёт их значений для различных щ:
Таблица 2 - Частотные характеристики передаточной функции разомкнутой системы
|
щ |
0 |
1 |
5 |
7 |
10 |
|
|
UL(щ) |
9,563•10-3 |
2,703•10-3 |
0,036 |
0.022 |
5,549•10-3 |
|
|
VL(щ) |
- 32,2 |
- 31,181 |
- 4,687 |
-1,888 |
- 0,461 |
А по рассчитанным значениям щ осуществлено построение АФХ разомкнутой системы.
При щ(0;10] АФХ разомкнутой системы (годограф Найквиста) имеет вид:
Рисунок 11.8 - Годограф Найквиста при щ(0;10] построенный в MathCad
На диапазоне частот щ[5;100) годограф Найквиста будет иметь вид:
Рисунок 11.9 - Годограф Найквиста при щ[5;100) построенный в MathCad
Из второго графика АФХ (рисунок 11.9) видно, что не существует условных переходов через ось вещественных чисел. Из этого же графика видно, что при изменении щ от 0 до +? годограф Найквиста не охватывает точку с координатами (-1; j0). Отсюда следует вывод, что рассматриваемая система в замкнутом состоянии будет устойчива.
Таким образом, из сравнения результатов анализа динамической устойчивости САР по четырем различным критериям, можно сделать вывод, что проектируемая система неустойчива в замкнутом состоянии.
11.
12. D-разбиение в плоскости одного варьируемого параметра
Поскольку, согласно исходным данным, неопределённым параметром САУ является коэффициент усиления электронного усилителя, который входит в коэффициент добротности системы по скорости, то варьируемым параметром следует считать именно коэффициент добротности системы по скорости k. При выполнении D-разбиения в плоскости варьируемого параметра k производится поиск того диапазона значений k, внутри которого будет наблюдаться устойчивая работа системы.
Характеристический полином замкнутой системы имеет вид:
L(p) = 5,904•10-15•(p)7 + 15,783•10-13•(p)6 + 5,904•10-7•(p)5 +
+ 8,403•10-5•(p)4 + 4,82•10-3•(p)3+0,124•(p)2+1•(p) + 4,6•k
При замене оператора р на оператор мнимой частоты jщ он приобретёт вид:
L(j щ) = (-15,783•10-13•щ6 + 8,403•10-5• щ4 -0,124• щ2 + 4,6•k) +
+ j•(- 5,904•10-15•щ3 + 5,904•10-7• щ 5 -4,82•10-3• щ 3+ щ)
В соответствии с критерием устойчивости Михайлова границе колебательной устойчивости САУ соответствует выражение:
L(j щ) = 0.