Выполненная численная проверка показывает, что из четырех возможных корней уравнения (89) только один соответствует частоте (87). Таким образом, условие (87) дополняет основной критерий (89) тем, что позволяет определить, какой именно из четырех корней уравнения (89) действительно соответствует переходу от убывания амплитуды к ее нарастанию. Из рис. 4в видно, что этот корень соответствует убыванию функции в области . То есть для выбора корня можно использовать условие отрицательности производной функции по частоте:
, (91)
или в развернутом виде:
. (92)
Для частоты можно записать:
, (93)
причем это соотношение должно быть дополнено условием:
, (94)
которое накладывает ограничение на величины параметров связи через производные.
Замечание. Приведенные условия (91)-(94) получены на основе анализа численного примера с конкретными заданными значениями параметров, то есть не исключена возможность необходимости коррекции этих условий при других таких значениях. Однако полное исследование подобной задачи, требующее вариации восьми параметров, является крайне громоздким, поэтому в рамки настоящей работы не входит и должно быть проделано отдельно. На практике в простейшем случае можно рекомендовать прямую проверку дополняющих друг друга соотношений (89) и (87), позволяющих выбрать корень уравнения (89) непосредственно.
12. Критерии для магнитоупругих колебаний
Запишем полученное значение частоты и критерия перехода для магнитоупругой колебательной системы, приведенной на рис.1.
Так из (87) и (88) получаем:
; (95)
, (96)
а условие (89) принимает вид:
, (97)
где величины определяются формулами (27)-(42) или (43)-(59).
Получение явного вида выражений (95)-(97) тривиально, однако довольно громоздко, поэтому здесь не приводится.
13. Критерии трех режимов на примере реальных материалов
Рассмотрим предсказанную линеаризованной системой (19)-(24) возможность существования трех режимов - стационарной амплитуды, ее роста и убывания на примере реальных материалов типа ЖИГ и ТбФГ. Параметры этих материалов можно найти, например, в [2,11], эти же параметры использованы в работах [20,27].
На рис.5 представлены зависимости функции от частоты для ферритов двух различных составов: ЖИГ (а) и ТбФГ (б).
Рис. 5. Зависимости функции от частоты для ферритов двух различных составов: ЖИГ (а) и ТбФГ (б)
Параметры общие: ; ;; ; .
Параметры специфические:
ЖИГ(а): ; ;;
ТбФГ(б): ; ; .
Из рис. 5 видно, что в обоих случаях функция представляет собой параболу, симметричную относительно оси ординат, с единственным нулем при . Ветви параболы для ТбФГ поднимаются вверх значительно круче (на два порядка), чем ветви параболы для ЖИГ, что, по-видимому, связано с большим значением константы для этого материала. Однако критические частоты, определяемые формулой (95) с учетом (27)-(42), для обоих ферритов близки друг к другу и составляют: , . Видно, что в обоих случаях эти частоты весьма далеки от нуля функции , то есть критерий постоянства амплитуды не выполняется. Контрольная проверка развития колебаний во времени показывает, что в обоих случаях свободные колебаний затухают со временем релаксации порядка , а амплитуда вынужденных колебаний принимает постоянное значение со временем установления той же длительности.
Рис. 6. Зависимость функции от частоты при различных значениях , близких к критическому
Параметры: ; ; ; ; ; ; ;
1 - ; 2 - ;
3 - ; 4 - .
Представляет интерес найти условия, максимально близкие к реальности, при которых оба критерия (97) и (95) выполняются. Реальные материалы предоставляют в этом плане широкий выбор величины константы магнитоупругого взаимодействия . Проверка зависимости вида функции от величины этой константы при всех остальных параметрах, соответствующих ЖИГ, показала, что резкое изменение происходит при переходе значения через критическую величину , превышающую для ЖИГ в 46,86532 раза, то есть, если считать значение точным, то при . При этом ветви параболы переходят от стремления вверх к стремлению вниз, причем переворот происходит при весьма критичном значении такой константы.
Соответствующее изменение вида функции при переходе величины константы через критическое значение иллюстрируется рис.6. Из рисунка видно, что по мере роста значения в седьмой значащей цифре на единицу, ветви параболу первоначально стремящиеся вверх, резко перескакивают вниз. При этом частота, определяемая критерием (95), равна . Ввиду крайней резкости перескока ветвей параболы сверху вниз, определить точное значение константы , превышающее семь значащих цифр, в настоящей работе не представилось возможным, однако очевидно, что переход ветвей происходит через их выстраивание вдоль горизонтальной оси, то есть на частоте правая ветвь должна приблизиться к нулю на величину бесконечно малую, что и обеспечит одновременное выполнение обоих критериев (97) и (95).
14. Развитие во времени колебаний магнитной и модельной систем
Рассмотрим теперь, в какой степени колебания осцилляторов, описываемые упрощенной системой (19)-(24), соответствуют колебаниям намагниченности, описываемым полной системой (1)-(3). Для сравнения обратимся к рис. 7.
Рис. 7. Развитие колебаний компонент (1) и (2) во времени при различных коэффициентах константы магнитоупругого взаимодействия:
Частота возбуждения
Условия возбуждения: а - , ; ; ;
б, в, г, д - , ; везде .
Коэффициент константы магнитоупругого взаимодействия:
а - ; б - ; в - ; г - ; д - .
На рис. 7 показано развитие колебаний компонент (1) и (2) во времени при различных коэффициентах константы магнитоупругого взаимодействия: . Кривые в левом столбце соответствуют полной системе (1)-(3), кривые в правом столбце - укороченной системе (19)-(24).
Кривая а1 построена при возбуждении магнитной системы по одной координате . Из сравнения с кривой а2, соответствующей возбуждению первого осциллятора упрощенной системы, видно совпадение установившейся амплитуды в обоих случаях с точностью до единиц процентов. Однако при увеличении константы установившаяся амплитуда падает несколько быстрее, чем амплитуда и при это различие достигает почти двух раз. В этом случае с точки зрения совпадения установившихся амплитуд более удобным становится возбуждение магнитной системы сразу по двум координатам и . Однако в этом случае при амплитуда становится больше амплитуды почти в два раза, как это показано на рис. 7б1 и 7б2.
Тем не менее, при увеличении константы до и более вплоть до , установившиеся амплитуды и совпадают с точностью до единиц процентов, как это видно из рис. 7в1-7в2 и 7г1-7г2.
При дальнейшем увеличении константы , начиная с вектор намагниченности претерпевает переориентацию к направлению более близкому к плоскости пластины, что происходит через посредство нескольких затухающих осцилляций, как это видно из рис.7д1, соответствующего . Более подробно процесс переориентации описан в работе [27]. При таких же значениях константы амплитуда осциллятора , как показано на рис.7д2, устремляется к бесконечности, что соответствует переходу через критическое значение , рассмотренное в предыдущем разделе. Таким образом, можно видеть, что переориентация вектора намагниченности в исходной магнитоупругой системе и уход на бесконечность амплитуды колебаний модельной системы осцилляторов происходит при одном и том же значении константы магнитоупругого взаимодействия .
15. Сравнение амплитуд колебаний магнитной и модельной систем при изменении константы магнитоупругого взаимодействия
Рассмотрим поведение полной и укороченной колебательных систем при изменении константы магнитоупругого взаимодействия более подробно.
Рис. 8. Зависимости амплитуд компонент намагниченности (а) и упругого смещения (б) от отношения константы магнитоупругого взаимодействия к той же константе для ЖИГ
Точки - результаты расчета по полным уравнениям (1)-(3), сплошная линия - расчет по укороченной системе (19)-(24).
1 - , при , ;
2 - , при , ;
3 - , при , ;
4 - , при ,
5 - , при , ;
6 - , при , .
Положения точек 5 и 6 совпадают, то есть эти точки полностью накладываются друг на друга. Сплошная линия построена при .
На рис. 8 показаны зависимости амплитуд компонент намагниченности (а) и упругого смещения (б) от отношения константы магнитоупругого взаимодействия к той же константе для ЖИГ, то есть от . Точками показаны результаты расчета по полным уравнениям (1)-(3), сплошной линией - расчет по укороченной системе (19)-(24).
Из рисунка видно, что укороченная система в общем довольно близко описывает поведение полной системы во всем диапазоне изменения константы . При небольших значениях от 1 до 2 значения амплитуд как магнитных, так и упругих колебаний, рассчитанные по укороченной системе, наиболее близко подходят к амплитудам, рассчитанным по полной системе при возбуждении только одной компонентой переменного поля: , (точки 1). Различие здесь не превышает 20%. Однако при больших значениях от 2 до 30 лучшее совпадение наблюдается с возбуждением обеими компонентами переменного поля: , (точки 5, 6), где различие не превышает 10%. Для амплитуды магнитных колебаний (а) такое совпадение продолжается вплоть до , что соответствует значению константы , при котором происходит переориентация вектора намагниченности. Однако для упругих колебаний (б) значения амплитуд, рассчитанные по укороченной системе, от вплоть до лучше соответствуют полным значениям при возбуждении только по одной координате, однако другой по сравнению со случаем малых : , (точки 4). В этом случае различие также не превышает 30%. Смена координатных компонент переменного поля, обеспечивающих оптимальное возбуждение упругих колебаний при , по-видимому, обусловлено гиротропией полной системы, у укороченной системы отсутствующей. При достижении значения вблизи 47 укороченная система уходит на бесконечность, что также соответствует критическому значению константы .
Таким образом, укороченная система описывает свойства полной системы во всем интервале изменения константы от до с точностью не хуже 30%, причем уход укороченной системы на бесконечность эквивалентен переориентации вектора намагниченности и оба они происходят при одном и том же значении константы .
Заключение
Основные результаты настоящей работы сводятся к следующему.
В применении к задаче анализа работы магнитострикционного преобразователя СВЧ диапазона на частоте ферромагнитного резонанса рассмотрено возбуждение гиперзвуковых колебаний переменным магнитным полем в геометрии плоскопараллельной нормально намагниченной ферритовой пластины.
Записаны связанные уравнения движения вектора намагниченности и упругого смещения с граничными условиями и возбуждением переменным магнитным полем.
Для упрощения задачи предложена линеаризованная система уравнений, основанная на модели связанных осцилляторов, в результате чего полная система, содержащая семь уравнений первого порядка и четыре граничных условия, сведена к системе четырех уравнений первого порядка без граничных условий.
Введены эквивалентные параметры укороченной системы, выраженные через параметры материала исходной ферритовой пластины. На основе анализа соотношения составляющих эквивалентных параметров для реального случая железоиттриевого граната (ЖИГ), получены укороченные выражения, описывающие параметры задачи с точностью не менее двух порядков.
Укороченная система уравнений приведена к виду, соответствующему модельной системе из двух осцилляторов, связанных через производные от переменных.
Обе системы уравнений, полная и укороченная, решены методом Рунге-Кутта четвертого порядка, получено развитие колебаний во времени.
Показано, что в зависимости от величины параметров связи возможны два режима вынужденных колебаний, соответствующие спаду и нарастанию амплитуды во времени, разделенные третьим режимом (точкой бифуркации), в котором амплитуда вынужденных колебаний сохраняет постоянное значение, причем критичность порога перехода от одного режима к другому по константе связи составляет не менее шести значащих цифр.
Рассмотрено аналитическое решение укороченной системы в режиме постоянной амплитуды колебаний. Найдены два критерия, один из которых определяет критическое значение константы связи, соответствующее переходу между режимами, а другой дает частоту резонансных колебаний системы в точке перехода.
Результаты рассмотрения укороченной системы применены к реальному случаю возбуждения пластины из ЖИГ. Выявлены условия перехода от режима убывания амплитуды к режиму ее нарастания. Отмечено, что в реальном случае железоиттриевого граната амплитуда нарастающих колебаний ограничивается на достаточно высоком постоянном уровне, обусловленном нелинейной расстройкой магнитной колебательной системы.