Заметим, что связь между осцилляторами, обусловленная самими переменными, то есть определяемая коэффициентами и , в обоих случаях пропорциональна величине магнитного параметра затухания , что в какой-то мере является несимметричным. Действительно, упругий осциллятор тем больше влияет на магнитный, чем затухание магнитного осциллятора больше, то есть чем магнитный осциллятор является более «мягким». Исходя из симметрии задачи естественно предположить, что и магнитный осциллятор тем сильнее влияет на упругий, чем затухание упругого больше. С этой точки зрения коэффициент должен быть пропорционален не магнитному параметру затухания , а упругого . Действительно, в полном выражении для (38) параметр входит в роли самостоятельного слагаемого. Однако в реальном случае ЖИГ при поле 2750 Э, то есть на частоте 2800 МГц, представляющей наибольший интерес для практики, значение этого слагаемого на порядок меньше, чем определяемого параметром . При понижении поля до 1850 Э, то есть частоты до 280 МГц, как видно из таблицы, порядок вклада от обоих слагаемых становится одинаковым, то есть в этом случае к сделанным приближениям надо относиться с некоторой осторожностью.
Более того, при увеличении параметра затухания , начиная с при том же значении последнее слагаемое в коэффициенте (38) уже преобладает над первыми двумя, в результате чего этот коэффициент принимает вид:
, (59)
то есть влияние магнитного осциллятора на упругий сказывается тем сильнее, чем затухание упругого осциллятора больше. То есть система относительно связи через переменные обретает определенную симметричность. Таким образом, при получении приближенных аналитических выражений следует следить за относительными величинами обоих параметров затухания и .
8. Модель осцилляторов, связанных через производные
Как показано в предыдущем разделе, задача о линейном возбуждении гиперзвуковых колебаниях в магнитной пластине, обладающей магнитоупругими свойствами, может быть сведена к системе двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, связанных через переменные и производные от переменных по времени.
В обозначениях, традиционно принятых для рассмотрения подобной системы связанных осцилляторов, систему уравнений (19)-(24) можно записать в виде:
; (60)
, (61)
где: ; ; ; ;, а также положено: .
В отсутствие вынуждающей силы (), эти уравнения могут описывать только затухающие колебания. Однако, поскольку каждое из уравнений кроме слагаемого с производной от основной переменной содержит еще слагаемое с производной от другой переменной, то затухание одного осциллятора может зависеть от колебаний другого. Можно полагать, что при наличии вынуждающей силы это обстоятельство способно привести к частичной или даже полной компенсации затухания каждого из осцилляторов, то есть колебания могли бы как убывать во времени, так и нарастать. Во втором случае можно считать, что колебательная система приобретает «отрицательное сопротивление», то есть становится активной, а нарастание колебаний ограничивается только нелинейными свойствами системы, здесь не рассматриваемыми.
Для проверки такого предположения в рамках линейного приближения рассмотрим далее модель связанных осцилляторов в наиболее общем виде, описываемом уравнениями (60)-(61). Параметры задачи выберем исходя из максимальной наглядности представления результатов.
9. Численный анализ развития вынужденных колебаний
Для анализа действия затухания колебательных систем друг на друга система уравнений (60)-(61) решалась численно методом Рунге-Кутта четвертого порядка [25]. Исследовался характер возбуждаемых колебаний при различной величине связи осцилляторов через производные и . Собственные частоты осцилляторов были положены равными и рассматривались два случая: равенства частоты возбуждения собственным частотам и ее отличия.
На рис.3 показано развитие колебаний во времени для двух осцилляторов с равными частотами. Рис.3а соответствует равенству частоты возбуждения собственным частотам осцилляторов, рис.3б - ее отличию от частот осцилляторов (единицы - относительные, принятые, исходя из наглядности рисунка).
Из рис.3а видно, что при возбуждении системы на собственной частоте осцилляторов в отсутствие связи через производные (верхняя эпюра) колебания довольно быстро (через время около 40) приходят к стационарной амплитуде около 28 и дальше не меняются. Картина соответствует обычному экспоненциальному насыщению, характерному для положительного затухания.
При связи 0.1 (средняя эпюра) колебания нарастают почти линейно. Наблюдаемое незначительное отклонение от линейности в нижнюю сторону, возможно, означает приближение к какой-то стационарной амплитуде, но если это и происходит, то где-то далеко за временем 100. Амплитуда заметно превышает предыдущую и при времени 100 составляет около 75. Близкий к линейному рост амплитуды можно интерпретировать как экспоненту с нулевым показателем.
При связи 0,2 (нижняя эпюра) амплитуда колебаний до времени порядка 40-60 слегка увеличивается, составляя не более нескольких сотен, после чего рост ее резко усиливается и при времени 100 амплитуда достигает 2000, имея тенденцию увеличиваться еще больше. Картина напоминает экспоненциальный рост, характерный для отрицательного затухания.
Таким образом, можно полагать, что при частоте возбуждения равной собственной, из-за связи через производные знак показателя экспоненты, описывающей затухание, меняется с положительного, проходя через нуль, на отрицательный.
Рис. 3. Развитие вынужденных колебаний во времени при различной величине связи
Параметры: ; ; ; значения приведены на рисунке; амплитуда возбуждения: . а - частота возбуждения: ; б - частота возбуждения: .
Рассмотрим теперь, что происходит при отстройке частоты возбуждения от резонансной. Полученные зависимости показаны на рис.3б, построенном при тех же параметрах, что и рис.3а, кроме частоты возбуждения, теперь отличной от собственных частот осцилляторов.
Из рис.3б видно, что в отсутствие связи через производные наблюдается модуляция амплитуды, обусловленная биениями с частотой, равной разности частот возбуждения и собственной, однако такие модуляционные колебания, как и полагается биениям, быстро затухают при времени около 60. Эта картина полностью соответствует обычному установлению вынужденных колебаний при экспоненциальном затухании с положительным показателем.
При связи равной 0,1 (средняя эпюра) модуляционные колебания не затухают и амплитуда их имеет постоянное значение, равное 2,9. Модуляция опять обусловлена разностью частот возбуждения и собственной, то есть биениями, а затухание отсутствует, что соответствует нулевому показателю экспоненты.
При связи равной 0,2 (нижняя эпюра) модуляционные колебания есть, однако их размах на фоне резкого роста общей амплитуды теряется, то есть биения, хотя и остаются, но роль их в общей картине колебаний становится весьма незначительной. Рост амплитуды опять соответствует экспоненте с отрицательным показателем.
Наблюдаемое во всех трех случаях уменьшение амплитуды колебаний примерно на порядок по сравнению с рис. 3а, обусловлено отстройкой частоты возбуждения от резонансной.
Таким образом, можно полагать, что в случае связи через производные, по мере увеличения величины связи, мы имеем картину уменьшения затухания от положительного значения, через нулевое до отрицательного. То есть наблюдаются три различных режима вынужденных колебаний: режим спада амплитуды, режим ее нарастания, и между нами - режим стационарной амплитуды. При этом автоколебания как самоподдерживающийся процесс полностью отсутствуют, а наблюдаемая модуляция амплитуды обусловлена биениями.
Замечание. Вообще говоря, экспоненциальный рост амплитуды колебаний, наблюдаемый на нижних эпюрах на рис.3, не может продолжаться до бесконечности, так как это соответствовало бы бесконечному нарастанию энергии колебаний. В реальном случае такой экспоненциальный рост неизбежно ограничивается при достаточной амплитуде колебаний из-за нелинейной расстройки, приводящей к выходу системы из резонанса [26]. Механизм нелинейной расстройки выходит за рамки настоящей работы и будет отдельно рассмотрен в другом случае.
10. Аналитический критерий изменения характера колебаний
гиперзвуковой магнитный резонансный плоскопараллельный
Система уравнений (60)-(61) в ряде случаев допускает аналитическое решение. Рассмотрим, например, частный случай свободных колебаний без вынуждающей силы. В этом случае система (60)-(61) принимает вид:
; (62)
. (63)
Введем дополнительные переменные:
; (64)
. (65)
Подставляя новые переменные и их производные в исходные уравнения (62)-(63), получаем систему уравнений первого порядка:
; (66)
; (67)
; (68)
. (69)
Будем искать решение этой системы в виде:
; (70)
; (71)
; (72)
. (73)
Подставляя (70)-(73) в (66)-(69), можно видеть, что уравнения (66) и (68) удовлетворяются тождественно, а уравнения (67) и (69) образуют систему:
; (74)
, (75)
детерминант которой имеет вид:
. (76)
Условие нетривиальности решения системы дает уравнение для :
. (77)
Решение этого уравнения в аналитическом виде довольно громоздко, поэтому рассмотрим упрощенный частный случай.
11. Комплексный показатель экспоненциального изменения амплитуды
Предположим, что имеет вид:
, (78)
где , - действительные, то есть соответствует изменению амплитуды колебаний во времени, а - частоте этих колебаний.
Подставляя (78) в (77) и выделяя действительную и мнимую части, получаем:
, (79)
где:
; (80)
. (81)
Уравнение (79) выполняется только в том случае, когда как действительная, так и мнимая части равны нулю. При этом из (80) получаем:
; (82)
Из (81), разделяя на и группируя относительно , получаем:
. (83)
Уравнения (82) и (83) составляют систему относительно и , которая должна быть решена совместно. Так (83) содержит только в квадрате и только в качестве линейного сомножителя в левой части, поэтому из этого уравнения можно выразить через , после чего подставить в (82), в результате чего будет получено уравнение, содержащее только . Это уравнение будет шестой степени и его решение, по-видимому, будет не проще, чем решение исходного уравнения (77).
Поэтому рассмотрим частный случай, соответствующий постоянству амплитуды во времени, то есть . При этом из (82) и (83) получаем два уравнения для , которые должны удовлетворяться одновременно:
; (84)
. (85)
Из (85) при условии получаем:
, (86)
Это соотношение позволяет найти частоту собственных колебаний системы при условии сохранения постоянства амплитуды:
. (87)
При этом (84) также соответствует условию сохранения амплитуды постоянной, то есть при его нарушении в ту или другую сторону амплитуда растет или спадает. Введем вспомогательную функцию:
, (88)
с помощью которой получаем критерий перехода от нарастания амплитуды к ее убыванию:
. (89)
Таким образом, главным критерием постоянства амплитуды является (89), а если он выполняется, то частота определяется соотношением (87). При этом выполняется равенство:
. (90)
Этот критерий позволяет определить возможные значения параметров , , , соответствующие такому переходу.
Проверим условия (89) и (87) численно. Зависимость функции от частоты иллюстрируется рис. 4.
На рис. 4а представлен общий характер зависимости . Видно, что она представляет собой параболу четвертого порядка, симметричную относительно оси ординат. Функция имеет два минимума при , разделенные максимумом при .
Реальный физический смысл имеет правый минимум, окрестность которого представлена на рис.4б в более крупном масштабе при трех характерных значениях параметров связи . Так левый из этих рисунков построен при , что в случае свободных колебаний соответствует их затуханию во времени, средний рисунок построен при , то есть при сохранении амплитуды свободных колебаний постоянной, а правый рисунок, построенный при , соответствует экспоненциальному нарастанию амплитуды. При вынужденных колебаниях эти случаи соответствуют показанным на рис. 3а трем режимам: установления стационарного значения (верхняя эпюра), линейного (средняя эпюра) и экспоненциального (нижняя эпюра) роста амплитуды колебаний.
Рис. 4. Зависимость функции от частоты
Параметры: ; ; ; .
а - общий характер зависимости;
б - зависимость при различных значениях параметров связи;
в - зависимость вблизи главного нуля в крупном масштабе.
Из рис. 4б видно, что во всех случаях минимум зависимости приходится на , однако значение этой функции в минимуме находится вблизи нуля (около -0.21) только при (средний рисунок), тогда как при (левый рисунок) это значение является отрицательным и составляет -3.3, а при (правый рисунок) - положительным, равным 0.89. Таким образом, нули функции находятся вблизи минимума только при , тогда как при они отнесены в разные стороны на значительные расстояния, а в случае - вообще отсутствуют.
На рис. 4в показан левый нуль правой ветви функции (где ) в еще более крупном масштабе. Видно, что он приходится на . Рассчитанное по формуле (87) значение частоты резонанса системы составляет и показано стрелкой. Видно, что оно весьма близко к частоте, при которой функция проходит через нуль.
Таким образом, можно видеть, что оба условия постоянства амплитуды (89) и (87) выполняются с весьма высокой степенью точности (до шести значащих цифр).