ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН
Сыктывкарский государственный университет, Сыктывкар
Анализ линейного возбуждения гиперзвуковых колебаний магнитострикционного преобразователя на основе модели связанных осцилляторов
В.С. Власов, А.П. Иванов,
В.Г. Шавров, В.И. Щеглов
Москва
Аннотация
Рассмотрено возбуждение гиперзвуковых колебаний переменным магнитным полем в геометрии плоскопараллельной нормально намагниченной ферритовой пластины. Предложена укороченная система уравнений, основанная на модели связанных осцилляторов. Выявлены два режима вынужденных колебаний, соответствующие спаду и нарастанию амплитуды во времени. Найдены аналитические критерии, определяющие критическое значение константы связи и частоту резонансных колебаний в точке перехода между режимами. Показано, что точка перехода, для модельной системы соответствующая бесконечному росту амплитуды колебаний, для случая железоиттриевого граната эквивалентна точке переориентации вектора намагниченности.
Ключевые слова: гиперзвук, нелинейные колебания, магнитоупругость.
Abstract
The hypersound vibrations excitation by alternating magnetic field in geometry of normal magnetized ferrite plate is investigated. It is suggested the reduced equation system based on connected oscillators model. It is found two forced vibration regimes corresponded to decrease and increase of amplitude in the time. The analytical criterions of connection constant critical meaning and resonance frequency in transition point are found. It is shown that the bifurcation point between regimes corresponded to infinite growth of model system vibrations amplitude for the case of yttrium iron garnet is equivalent to reorientation transition point of magnetization vector.
Key words: hypersound, nonlinear vibrations, magnetoelasticity.
Введение
Возбуждение гиперзвуковых колебаний в диапазоне СВЧ является актуальной задачей как для общей физики, так и для технической акустики [1-3], в том числе для аналоговой обработки информации [4-9]. Весьма перспективными здесь являются магнитострикционные преобразователи на основе ферритов, использующие возбуждение упругих колебаний в условиях ферромагнитного резонанса (ФМР) [10,11], что позволяет повысить частоту возбуждаемого гиперзвука до десятков ГГц без заметного роста затухания. Особенно перспективными материалами для таких преобразователей являются железоиттриевый гранат (ЖИГ), имеющий рекордно низкие потери как упругих, так и магнитных колебаний, а также тербиевый феррит-гранат (ТбФГ), имеющий весьма высокое значение константы магнитоупругого взаимодействия в сочетании со сравнительно невысокой намагниченностью насыщения [11].
В ферритах значительной помехой на пути повышения мощности возбуждаемого гиперзвука является рост потерь за счет параметрического возбуждения обменных спиновых волн [12-14]. Однако, в работах [15-19] показано, что при выборе геометрии преобразователя в виде нормально намагниченного тонкого диска частота ФМР приходится на дно спектра обменных волн, вследствие чего их возбуждение исключается.
В работе [20] показано, что в подобной геометрии амплитуда гиперзвука может превышать таковую в линейном режиме более чем в 30 раз, что открывает путь для создания магнитоакустических преобразователей высокой мощности.
Расчет свойств работы таких преобразователей в условиях ФМР требует привлечения весьма сложного аналитического аппарата, успешно реализуемого только ценой ряда упрощающих предположений. В простейшем варианте задача сводится к системе семи нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешимой только численными методами [20].
Условия практики однако требуют создания достаточно простого расчетного аппарата, позволяющего оценить возможности и рассчитать основные параметры преобразователя без привлечения сложных аналитических и численных методов. Настоящая работа посвящена созданию такого аппарата на основе модели связанных осцилляторов. На данном этапе рассмотрение проведено только для линейных колебаний, однако даны некоторые рекомендации для обобщения задачи на случай нелинейности, подробное рассмотрение которого предполагается в дальнейшем.
1. Геометрия задачи и основные уравнения
Геометрия задачи, совпадающая с принятой в [20], показана на рис.1. В ее основе лежит плоскопараллельная пластина толщины , обладающая магнитными, упругими и магнитоупругими свойствами. Материал пластины имеет кубическую кристаллографическую симметрию, плоскость (100) которой совпадает с плоскостью пластины.
Рис. 1. Геометрия задачи. Слева - схема кристаллографической ячейки
Внешнее постоянное магнитное поле приложено перпендикулярно плоскости пластины, переменное магнитное поле действует в плоскости пластины. Задача решается в декартовой системе координат , плоскость которой совпадает с плоскостью пластины, а оси , и параллельны ребрам куба кристаллографической ячейки. Центр системы координат находится в центре пластины, ее плоскости соответствуют координатам .
Основная система уравнений движения для нормированных компонент намагниченности имеет вид [20]:
; (1)
где уравнения для и получаются циклической перестановкой , , , а эффективные поля определяются формулами (11) работы [20].
Уравнения для компонент упругого смещения имеют вид [20]:
; (2)
граничные условия [20]:
. (3)
Таким образом здесь имеются три уравнения первого порядка для компонент намагниченности и два уравнения второго порядка для компонент упругого смещения, что эквивалентно системе из семи уравнений первого порядка. Анализ развития колебаний в такой системе методом фазового пространства [21,22] требует нахождения координат особых точек, что сводится к решению линейного алгебраического уравнения седьмой степени. Сложность решения такой задачи стимулирует поиск возможностей уменьшения общего числа уравнений, одна из которых рассматривается далее.
2. Линейное приближение
Рассмотрим задачу в линейном приближении, то есть положим , и далее будем оставлять члены только первого порядка по . В отношении упругих колебаний, аналогично [20], примем следующие предположения: , продольные упругие волны отсутствуют: , упругие волны распространяются только вдоль оси : ; . Дополнительно будем считать, что упругие смещения вдоль оси отсутствуют, то есть: . Такое предположение не является безупречно корректным, однако в ряде случаев будучи примененным на первом этапе, позволяет существенно сократить требуемый объем вычислений [23,24].
Входящие в уравнения (1) эффективные поля с учетом линеаризации принимают вид:
; (4)
; (5)
, (6)
где введено вспомогательное обозначение:
. (7)
В эти выражения входит производная от смещения по координате . Найдем эту производную.
Согласно [20], в рассматриваемой задаче -компонента упругого смещения для первой моды колебаний может быть представлена в виде (формула (51)):
. (8)
При этом производная от смещения по координате имеет вид (формула (62)):
; (9)
где - функция, удовлетворяющая уравнению (формула (53)):
(10)
Полагая , из (9) получаем:
, (11)
а уравнение (10) принимает вид:
; (12)
Возвращаясь к полям (4)-(6) и полагая , получаем:
; (13)
; (14)
. (15)
3. Уравнение для намагниченности
Преобразуем теперь уравнения для намагниченности (1). Полагая , третье уравнение опускаем, а в оставшихся двух, полагая , оставляем только члены первого порядка по :
; (16)
. (17)
Раскрывая скобки, выражая из первого уравнения и подставляя во второе, получаем уравнение для :
. (18)
Это - одно уравнение второго порядка для , полученное через посредство , то есть оно эквивалентно двум уравнениям первого порядка для и . Такое же уравнение второго порядка можно получить для , однако в этом необходимости нет, так как оно дублирует полученное уравнение для .
Подставляя в (18) поля (13)-(15), получаем уравнение для в виде:
, (19)
где введены вспомогательные обозначения:
; (20)
. (21)
4. Уравнение для упругого смещения
Рассмотрим теперь уравнение (12) для упругого смещения .
Вводя упрощенные обозначения:
; (22)
. (23)
и подставляя в (12) вторую производную от намагниченности в соответствии с (19), получаем уравнение для :
. (24)
Уравнения (19) и (24) составляют искомую систему.
5. Проверка применимости линейного приближения
Рассмотрим степень приближения, обеспечиваемого линеаризованной системой (19)-(24) по сравнению с исходной нелинейной системой (1)-(3). На рис.2 показаны зависимости поперечной компоненты намагниченности (а) и упругого смещения (б) от амплитуды переменного поля при параметрах ЖИГ, принятых в работе [20]. Кривые 1 соответствуют решению полной системы (1)-(3), кривые 2 - решению линеаризованной системы (19)-(24) (смещение получено из в соответствии с формулой (8) при ).
Из рисунка видно, что приближенная линеаризованная система (19)-(24) описывает точную картину до амплитуды переменного поля 2 Э (то есть до ) с точностью не менее 1%, до амплитуды 5 Э (до ) - с точностью порядка 10%, а для амплитуды 10 Э (до ) - с точностью около 30%.
Рис. 2. Зависимости поперечной компоненты намагниченности (а) и упругого смещения (б) от амплитуды переменного поля
Параметры - соответствуют ЖИГ (; ; ; ;; );
толщина пластины: .
1 - решение нелинейной системы (1)-(3);
2 - решение линеаризованной системы (19)-(24).
6. Система уравнений для намагниченности и упругого смещения в обобщенном виде
Таким образом, вместо исходной системы (1)-(2), эквивалентной семи уравнениям первого порядка с граничными условиями (3), получена более простая система (19)-(24), содержащая два уравнения второго порядка без граничных условий. Эта система в общем случае описывает колебания двух связанных гармонических осцилляторов, где связь осуществляется не только через сами переменные, но и через их производные.
Запишем уравнения для намагниченности (19) и упругого смещения (24) в обобщенном виде:
; (25)
, (26)
где с учетом (20)-(21) и (22)-(23) введены обозначения:
; (27)
; (28)
; (29)
; (30)
; (31)
; (32)
; (33)
; (34)
; (35)
; (36)
; (37)
; (38)
; (39)
; (40)
; (41)
. (42)
7. Упрощение коэффициентов на основе численного анализа
Полученные коэффициенты (27)-(42) имеют довольно сложный вид, так , , , , содержат два слагаемых, а - три. Однако при реальных значениях параметров материалов, используемых для магнитострикционных преобразователей, таких как ЖИГ и ТбФГ, относительная роль этих слагаемых различна, что позволяет произвести определенные упрощения.
Рассмотрим, например параметры, соответствующие монокристаллу ЖИГ [11]: ; ; ; ; ; . В таблице приведены значения коэффициентов, рассчитанные с этими параметрами при двух значениях постоянного поля: 2850Э и 1850Э. В этих случаях поле принимает значения 1000 Э и 100 Э, а частота ФМР в отсутствие магнитоупругости равна 2800 МГц и 280 МГц соответственно. Все коэффициенты в таблице рассчитаны в системе СГС (Гаусса), размерные единицы опущены для упрощения записи.
В первом столбце таблицы приведены наименования коэффициентов. Второй и третий столбцы соответствуют полю , равному 1000Э, четвертый и пятый - 100 Э. Во втором и четвертом столбцах приведены численные значения коэффициентов, причем составляющие их слагаемые выделены отдельно.
Из второго и четвертого столбцов таблицы видно, что в большинстве случаев одно из слагаемых преобладает над другими на порядок и более. В третьем и пятом столбцах приведены численные значения коэффициентов, полученные в пренебрежении меньшими слагаемыми.
Аналогичный расчет коэффициентов, исходящий из параметров ТбФГ, показывает, что полученные при этом коэффициенты ведут себя подобным образом.
В соответствии с полученными данными, в аналитических выражениях для коэффициентов (27)-(42) можно пренебречь слагаемыми, дающими малый вклад, а также учесть, что , в результате чего эти коэффициенты принимают значительно более простой вид:
; (43)
; (44)
; (45)
; (46)
; (47)
; (48)
; (49)
; (50)
; (51)
; (52)
; (53)
; (54)
; (55)
; (56)
; (57)
. (58)
Так как производные от переменных полей дают в качестве множителя частоту, то вблизи резонанса вклад в уравнения (19) и (24) от слагаемых, определяемых коэффициентами , имеет примерно тот же порядок, что и от остальных слагаемых. Структура коэффициентов довольно сложна, однако следует учесть, что коэффициенты и меньше соответствующих коэффициентов и в раз, то есть - на три порядка, поэтому ими можно пренебречь. Слагаемые, содержащие производные от компонент переменных полей, в сумме со слагаемыми, содержащими сами эти поля, дают не более чем сдвиг фазы примерно на четверть периода, поэтому их также можно опустить. Далее, поскольку возбуждение системы в целом происходит через магнитный осциллятор, а действие возбуждающей силы на упругий осциллятор, определяемое коэффициентом , пропорционально величине константы магнитоупругого взаимодействия , которая может быть достаточно малой, роль коэффициента а процессе возбуждения колебаний также можно считать второстепенной. В результате решающим для возбуждения остается только коэффициент , а в первом приближении остальные коэффициенты можно положить равными нулю.