Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Анализ антенны вытекающей волны на основе частично заполненного прямоугольного волновода с продольной щелью
Р.Р. Абдуллин
Антенна вытекающей волны на основе прямоугольного волновода с продольной щелью в узкой стенке (рис. 1) достаточно хорошо изучена, например в [1-3]. В указанных работах приводятся дисперсионные соотношения, полученные различными способами, например, точным методом и методом возмущения. Представлены зависимости коэффициента фазы и коэффициента затухания от размеров волновода, ширины щели, рабочей частоты. Однако, представленные решения справедливы только для основных типов волн. Также все исследования ограничиваются частным случаем однородного заполнения волновода диэлектриком, что приводит к значительным затруднениям при необходимости получения требуемых характеристик антенны. Использование частичного заполнения позволяет варьировать значение эффективной диэлектрической проницаемости и, соответственно, постоянной распространения в широком диапазоне значений. Реализуется задача сканирования диаграммы направленности в заданном диапазоне углов.
Рис. 1. Конструкция антенны вытекающей волны на основе прямоугольного волновода с продольной щелью в узкой стенке
Также не учитывается наличие защитного диэлектрического слоя, применяемого в реальных конструкциях антенн для их защиты от воздействия внешних факторов, отличающихся друг от друга в зависимости от условий эксплуатации. Защитный слой может существенно искажать полевые и частотные характеристики антенной системы в целом, и данному факту необходимо уделять внимание при проектировании.
Предлагаемый в данной статье подход не содержит описанных выше недостатков. Методика, основанная на использовании тензорных функций Грина для областей со слоистой структурой, позволяет вычислить компоненты поля в любой точке пространства от источников произвольного типа. Входящие в запись расчета компонентов поля собственные функции учитывают граничные условия распространения радиоволн в волноводе. Данные выражения позволяют строго учесть все типы колебаний, распространяющихся в рассматриваемой структуре. А характеристическая часть функции Грина, рассчитываемая методом эквивалентных линий, дает возможность оценить влияние не только внутреннего заполнения структуры диэлектриком, но и внешнего защитного слоя. Задача поиска постоянной распространения решается путем сшивания внешнего и внутреннего магнитных полей в плоскости щели. Дополнительно введена возможность поперечного смещения щели относительно ребра волновода.
Помимо разработки математического аппарата, основной задачей исследования являются получение конкретных дисперсионных зависимостей для антенны вытекающей волны в исполнении волновода с продольной щелью, оценка влияния защитного слоя, в том числе из метаматериала, и расчет диаграммы направленности исследуемой антенны.
Теория
Рассматриваемая антенна является модифицированной структурой, исследуемой в [1-3] (рис. 2). Она представляет собой бесконечный двуслойный прямоугольный волновод с продольной щелью в одной из узких стенок, совмещенной с проводящим экраном, покрытым слоем диэлектрика. Волновод имеет ширину a и высоту b. Центр щели смещен относительно одной из стенок на величину x0. Ширина щели - W. Относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости заполняющего слоя вблизи щели обозначены еwr1 и µwr1, для слоя, дальнего от щели - еwr2 и µwr2. Толщины слоев d1 и d2 соответственно (d1 + d2 = a). Защитный слой имеет толщину h, относительную диэлектрическую проницаемость и относительную магнитную проницаемость .
Рис. 2. Антенна вытекающей волны на основе частично заполненного прямоугольного волновода с продольной щелью в узкой стенке и защитным слоем
При анализе антенны сделаны следующие допущения: волновод и щель имеют бесконечную длину; толщина стенок волновода бесконечно мала; материал стенок - идеальный проводник. Координатные оси ориентированы таким образом, что граница раздела слоев диэлектрика внутри волновода соответствует координатной поверхности (рис. 2): y - вдоль оси волновода, z - перпендикулярно плоскости щели, x - перпендикулярно широкой стенке волновода.
Предполагается, что система поддерживает волну с комплексной постоянной распространения, где - фазовая постоянная, - постоянная затухания. Тогда комплексная постоянная распространения определяется по аналогии с [4] методом сшивания внешнего и внутреннего магнитных полей в плоскости щели. В этом случае элемент связи, то есть щель в стенке волновода, рассматривается в качестве источника возбуждения электромагнитных полей, распространяющихся как вне направляющей структуры, так и внутри нее. При прохождении электромагнитной волны через элемент связи из закрытой области внутри волновода во внешнее открытое полупространство, в плоскости щели выполняется условие непрерывности компонент электрического и магнитного полей. Тогда сумма плотностей потоков энергии, излучаемых щелью в противоположных направлениях, должна равняться нулю:
(1)
где - компонента электрического поля в щели; и - компоненты магнитного поля вблизи щели со стороны внешнего полупространства и прямоугольного волновода соответственно; штрихи означают точки источника магнитного поля.
В свою очередь магнитные поля закрытой области и свободного полупространства из (1) определяются магнитным током в щели и функцией Грина соответствующих областей:
(2)
В выбранной системе координат функция Грина в общем виде при разложении по волнам типов E и H записывается следующим образом [5]:
(3)
где - собственные числа; и - абсолютная диэлектрическая проницаемость и постоянная распространения в примыкающем к щели слое. Функции и являются ортонормированными собственными функциями двумерных скалярных уравнений , с граничными условиями на проводящей поверхности или условиями расходимости волн в случае открытых областей; и - характеристические части функции Грина, описывающие взаимодействие полей между слоями диэлектрика [5]. Они учитывают условия непрерывности на границах раздела диэлектриков.
В случае открытых областей знак суммы в (3) заменяется на интеграл по волновым числам. Тогда собственные числа , где и - постоянные распространения вдоль осей x и y, соответственно. А собственные функции [6]. При раскрытии характеристической части функция Грина для свободного полупространства принимает вид:
(4)
где - продольная постоянная распространения в защитном слое диэлектрика (под продольными здесь понимаются волновые числа вдоль оси z); - постоянная распространения в защитном слое; - волновое число в свободном пространстве; , - эквивалентные волновые проводимости защитного слоя в плоскости H и плоскости E соответственно; , ;; и - входные проводимости свободного полупространства в плоскости H и E с учетом наличия защитного слоя, пересчитываемые по рекуррентным формулам к сечению в плоскости щели [7]:
(5)
где , , .
После подстановки (5) в (2) внешнее магнитное поле определяется как:
(6)
Поле внутри волновода определяется аналогичным образом. Внутренняя область ограничена по оси x и не ограничена по оси y. В этом случае собственные числа принимают вид , а собственные функции - и [6], где n - число полуволн, укладывающихся вдоль узкой стенки волновода; - символ Кронекера, принимающий значение если n = 0, и если n ? 0. Следовательно, выражение для функции Грина во внутренней области:
(7)
где - постоянная распространения внутри волновода в слое, примыкающем к щели; , , , . Входные проводимости в плоскости щели рассчитываются по формуле:
(8)
где , , , , .
После подстановки (7) в (2) магнитное поле внутри волновода:
(9)
Компоненты внешнего и внутреннего магнитного полей должны иметь одинаковые значения в плоскости щели z = 0. Данный факт лежит в основе метода сшивания полей. Таким образом, (6) и (9) принимают вид:
(10)
(11)
Тогда в плоскости щели должны быть равны друг другу и мощности, излучаемые наружу и внутрь волновода, определяемые путем умножения (10) и (11) слева на электрическую компоненту:
(12)
(13)
Переход к мощностям позволяет свести к минимуму количество переменных в итоговом уравнении. За счет интегрирования по поверхности щели, необходимого для расчета мощностей, излучаемых как во внешнюю, так и внутреннюю области, удается избавиться от привязки к реальным координатам и перейти к пространству волновых чисел.
Таким образом, трансцендентное уравнение для поиска неизвестной постоянной распространения получается путем приравнивания друг другу правых частей (12) и (13):
(14)
Уравнение (14) является универсальным и может быть применимо даже в особом случае открытого волновода (W = b), описанного в [2]. Данная ситуация имеет несколько отличий в сравнении со случаем узкой щели. Основное из них заключается в отсутствии проводящего экрана на границе раздела областей. Однако благодаря выбранной ориентации системы координат собственные функции сохраняют свой вид, и применение (14) остается справедливым.
При помощи данной методики также может быть рассчитана постоянная распространения для антенны вытекающей волны на основе прямоугольного волновода с продольной щелью в широкой стенке. В этом случае в (14) необходимо осуществить взаимные замены , а n заменить на m - число полуволн, укладывающихся вдоль широкой стенки:
(15)
Как известно при работе прямоугольного волновода на основной волне H10, продольная щель, расположенная посередине широкой стенки, является неизлучающей [8]. Это легко показать при подстановке и m = 1 в (15). Правая часть (15) обращается в нуль, и оно не имеет решения при любых ж.
Несмотря на все достоинства разработанного метода следует обратить внимание на одно ограничение: использование значения ширины щели W = 0 в некорректно, так как возникает особый случай закрытого волновода, и тогда внешнее и внутренне магнитные поля не связаны между собой посредством щели.
Численные результаты
Трансцендентное уравнение (14) имеет сложную форму и не решается аналитически, поскольку описывает все гармоники внутри волновода и все типы слоистых структур. Однако на следующем шаге получения численных результатов изначальные выражения могут быть существенно упрощены для каждого частного случая. В первую очередь это относится к расчету входных проводимостей. Например, как следует из (5), для случая антенны без защитного слоя (h = 0) входная проводимость внешней области . Другими словами, она определяется только параметрами окружающей среды. Также для случая полого волновода (d2 = 0, d1 = a) входная проводимость области внутри волновода в плоскости щели, рассчитываемая в соответствии с (8), определяется только эквивалентной проводимостью вакуума: .
Для получения численных результатов использована модель волновода со стандартным внутренним сечением 23Ч10 мм. Рассмотрены случаи полого волновода, частично заполненного волновода, полого волновода с защитным слоем, частично заполненного волновода с защитным слоем.
Предложенная методика позволяет проводить анализ структур, имеющих в своем составе композитный материал с отрицательным коэффициентом рефракции (так называемый метаматериал), применение которого в качестве диэлектрика защитного слоя позволит добиться практически стопроцентной эффективности излучения антенны в некотором диапазоне частот [9]. На первоначальном этапе оценки влияния метаматериала на характеристики антенны сделано упрощение, заключающееся в том, что значения отрицательных проницаемостей защитного слоя заданы константой во всем рассматриваемом диапазоне частот без привязки к конкретному исполнению ячейки композита.
На рис. 3 приведены зависимости коэффициента замедления антенны без защитного слоя от величины смещения центра щели относительно широкой стенки волновода, заполненного вакуумом, где - волновое число в свободном пространстве. Рабочая частота - 9 ГГц. Ширина щели W варьируется от 1 до 8 мм.
Наличие щели в узкой стенке приводит к искажению картины электромагнитного поля внутри структуры по сравнению со случаем закрытого волновода. С увеличением ширины щели происходит увеличение излучаемой наружу мощности и снижение фазовой скорости волны, распространяющейся в структуре. В рассматриваемом случае система работает на основной волне H10, и потому максимальное замедление происходит при размещении щели посередине узкой стенки.
На рис. 4 приведены графики зависимости коэффициента замедления исследуемой антенны без защитного слоя от степени заполнения волновода диэлектриком. Параметры заполнения выбраны следующим образом: относительная диэлектрическая проницаемость еwr = 2; относительная магнитная проницаемость µwr = 1. Щель расположена строго на середине узкой стенки. Ширина щели W = 1 мм.
Рис. 3. Зависимость коэффициента замедления основной волны полого волновода с продольной щелью без защитного слоя от положения щели
Рис. 4. Зависимость коэффициента замедления антенны без защитного слоя от степени заполнения волновода диэлектриком: сплошные линии - диэлектрик расположен у дальней от щели стенки (D); штриховые линии - диэлектрик у стенки со щелью (U)
Наличие диэлектрика в волноводе оказывает существенное влияние на характеристики антенны, увеличивающееся с ростом рабочей частоты. С увеличением толщины диэлектрического слоя внутри волновода фазовая скорость в структуре уменьшается. А изменение рабочей частоты приводит к изменению крутизны зависимости коэффициента замедления от степени заполнения волновода диэлектриком в соответствующую сторону. Таким образом, для достижения аналогичных характеристик системы при ее работе на более высокой частоте возможно применение слоя диэлектрика меньшей толщины. Причем наибольшее влияние на значение коэффициента замедления имеет материал, расположенный в непосредственной близости со щелью.