Материал: Sb97281

Компоненты заданного поля получены: Ex = 6xy; Ey = 3x2 – 3y2; Ez = 0. Задача 1.3. Вычислите компоненты вектора E и покажите, что век-

торная функция, определенная в задаче 1.2, является возможным электростатическим полем (решив предыдущую задачу, вы доказали это другим способом, определив скалярную функцию, градиентом которой является поле). Вычислите дивергенцию поля.

Решение. Если rot E = 0, то векторная функция E является возможным

6 y 6 y 0 0.

Задача 1.4. 1. Удовлетворяет ли функция f(x, y) = x2 + y2 двумерному уравнению Лапласа? А функция g(x, y) = x2 y2? 2. Постройте график последней функции. 3. Вычислите градиенты функции g(x, y) в точках с координатами (0, 1); (1, 0); (0, 1); ( 1, 0) и укажите направления векторов этих градиентов.

Решение:

1. Уравнение Лапласа имеет вид 2 0 , где оператор 2 div grad называют оператором Лапласа или лапласианом. Иногда его обозначают символом . Поэтому можно встретить и такую форму записи уравнения Лапласа: 0 . Таким образом, если вторая производная по координатам от предложенной функции равна нулю, то функция удовлетворяют уравнению Лапласа. Имеем:

6

вдоль отрицательного направления оси ординат. Градиент функции g(x, y) в точке (x = 1, y = 0):

лен вдоль положительного направления оси абсцисс.

Градиент функции g(x, y) в точке (x = 0, y = 1): g 2 j . Вектор направлен вдоль положительного направления оси ординат.

i 0 0 j 0 0 k 1 1 2k.

Вектор rot A = 2k направлен по отрицательному направлению оси z.

7

Задача 1.6. Вычислите ротор и дивергенцию каждого из следующих векторных полей. Если ротор окажется равным нулю, то определите скалярную функцию , градиент которой дает векторное поле:

1.Fx = x + y, Fy = x + y, Fz = 2z.

2.Gx = 2y, Gy = 2x + 3z, Gz = 3y.

3.Hx = x2 z2, Hy = 2, Hz = 2xz.

Решение:

1.Имеем векторную функцию F = i(x + y) + j(x + y) + k( 2z):

i 0 0 j 0 0 k 1 1 2k;

Gi(2 y) j(2x 3z) k(3y) grad i x j y k z ;

2 yx 3zy.

3. Имеем векторную функцию H = i(x2 z2) + j(2) + k(2xz):

Задача 1.7. Укажите, в каких двумерных полях вектора F: 1) rot F = 0, а

в каких rot F 0; 2) div F = 0, а в каких div F 0.

8

Обратите внимание на то, что линейный интеграл вдоль изображенного контура Fdl не равен нулю. Следовательно, rot F 0.

l

2. Заметьте (рис. 1.5, б), что функция F радиальная. Это значит, что для данного радиуса ее значение постоянно. Поэтому циркуляция F равна нулю как вокруг изображенного, так и любого другого контура. Следовательно, rot F = 0. Очевидно, что div F 0.

3. Циркуляция F может быть равной нулю вокруг изображенных контуров, следовательно rot F = 0. Однако из одного рис. 1.5, в не очевидно, что div F = 0, но видно, что она могла бы быть равной нулю.

4. Если продвигаться в направлении вектора F, то нет изменений в его значении (рис. 1.5, г). Этого достаточно, чтобы div F = 0. Циркуляция F может быть равна нулю вокруг изображенного контура, если на длинной стороне контура произведение Fdl равно произведению Fdl на короткой стороне контура. Следовательно, rot F = 0.

5. Если продвигаться в направлении вектора F (рис. 1.5, д), то его значение постоянно, следовательно, div F = 0. В данном примере вектор F всюду постоянен, поэтому линейный интеграл по длинной стороне не компенсируется интегралом по короткому пути и циркуляция не равна нулю, следова-

тельно, rot F 0.

10