Материал: MATLAB. Довідник для користувача

function X = excise(X)

X(any(isnan(X')),:) = [ ];

Тогда. напечатав

X = excise(X);

вы выполните требуемое действие (excise по английски означает вырезать)

Удаление выбросов значений

Вы можете удалить выбросы значений или несовместимые данные при помощи процедур, весьма схожих с удалениемNaN-ов. Для нашей транспортной задачи, с матрицей данных count, средние значения и стандартные (среднеквадратические) отклонения каждого столбца матрицы count равны

mu = mean(count) sigma = std(count)

mu =

32.0000 46.5417 65.5833

sigma =

25.3703 41.4057 68.0281

Число строк с выбросами значений, превышающими утроенное среднеквадратическое отклонение от среднего значения можно получить следующим образом:

[n, p] = size(count)

outliers = abs(count - mu(ones(n, 1),:)) > 3*sigma(ones(n, 1),:);

nout = sum(outliers)

nout =

1 0 0

Имеется только один выброс в первом столбце. Удалим все наблюдение при помощи выражения

count(any(outliers'),:) = [ ];

Регрессия и подгонка кривых

Часто бывает полезным или необходимым найти функцию, которая описывает взаимосвязь между некоторыми наблюдаемыми (или найденными экспериментально) переменными. Определение коэффициентов такой функции ведет к решению задачи переопределенной системы линейных уравнений, то есть системы, у которой число уравнений превышает число неизвестных. Указанные коэффициенты можно легко найти с использованием оператора обратного деления \ (backslash). Допустим, вы производили измерения переменной y при разных значениях времени t.

56

t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';

y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]';

plot(t,y,'o'); grid on

В следующих разделах мы рассмотрим три способа моделирования(аппроксимации) этих данных:

·Методом полиномиальной регрессии

·Методом линейно-параметрической (linear-in-the-parameters) регрессии

·Методом множественной регрессии

Полиномиальная регрессия

Основываясь на виде графика, можно допустить, что данные могут быть аппроксимированы полиномиальной функцией второго порядка:

y = a0 + a1t + a2t2

Неизвестные коэффициенты a0 , a1 и a2 могут быть найдены методом среднеквадратической подгонки (аппроксимации), которая основана на минимизации суммы квадратов отклонений данных от модели. Мы имеем шесть уравнений относительно трех неизвестных,

представляемых следующей матрицей 6х3:

57

Решение находится при помощи оператора \ :

a = X\y

a =

0.5318

0.9191 - 0.2387

Следовательно, полиномиальная модель второго порядка наших данных будет иметь вид

y = 0.5318 + 0.9191t – 0.2387 t2

Оценим теперь значения модели на равноотстоящих точках (с шагом 0.1) и нанесем кривую на график с исходными данными.

T = (0 : 0.1 : 2.5)';

Y = [ones(size(T)) T T.^2]*a;

plot(T,Y,'-',t,y,'o'); grid on

Очевидно, полиномиальная аппроксимация оказалась не столь удачной. Здесь можно или повысить порядок аппроксимирующего полинома, или попытаться найти какую-либо другую функциональную зависимость для получения лучшей подгонки.

58

Линейно-параметрическая регрессия1

Вместо полиномиальной функции, можно было-бы попробовать так называемую линейнопараметрическую функцию. В данном случае, рассмотрим экспоненциальную функцию

y = a0 + a1℮-t + a2t℮-t

Здесь также, неизвестные коэффициенты a0 , a1 и a2 могут быть найдены методом наименьших квадратов. Составим и решим систему совместных уравнений, сформировав регрессионную матрицу X, и применив для определения коэффициентов оператор \ :

X = [ones(size(t)) exp(- t) t.*exp(- t)];

a = X\y

a =

1.3974

-0.8988

0.4097

Значит, наша модель данных имеет вид

y = 1.3974 – 0.8988℮-t + 0.4097t℮-t

Оценим теперь, как и раньше, значения модели на равноотстоящих точках (с шагом 0.1) и нанесем эту кривую на график с исходными данными.

Как видно из данного графика, подгонка здесь намного лучше чем в случае полиномиальной функции второго порядка.

1 Данная терминология не совсем соответствует принятой в русско-язычных изданиях.

59

Множественная регрессия

Рассмотренные выше методы аппроксимации данных можно распространить и на случай более чем одной независимой переменной, за счет перехода к расширенной форме записи. Допустим, мы измерили величину y для некоторых значений двух параметровx1 и x2 и получили следующие результаты

Множественную модель данных будем искать в виде

y = a0 + a1x1 + a2x2

Методы множественной регрессии решают задачу определения неизвестных коэффициентов a0 , a1 и a2 путем минимизации среднеквадратической ошибки приближения. Составим совместную систему уравнений, сформировав матрицу регрессии X и решив уравнения относительно неизвестных коэффициентов, применяя оператор \ .

X = [ones(size(x1)) x1 x2];

a = X\y

a =

0.1018

0.4844 -0.2847

Следовательно, модель дающая минимальную среднеквадратическую ошибку аппроксимации имеет вид

y = 0.1018 + 0.4844x1 – 0.2847x2

Для проверки точности подгонки найдем максимальное значение абсолютного значения отклонений экспериментальных и расчетных данных.

Y = X*a;

MaxErr = max(abs(Y - y))

MaxErr =

0.0038

Эта ошибка дает основание утверждать, что наша модель достаточно адекватно отражает результаты наблюдений.

60