Документ: Lysenko_physics_lek_2, страницы 81-85 | Студенческое хранилище

відстанню від джерела за законом 1/ r (це буде показано далі). Отже, рівняння сферичної хвилі має вигляд

ξ(x,t) =	A	cos(ωt − kr + α)	.	(36.12)

	r

§ 37 Хвильове рівняння. Фазова швидкість поширення хвиль у твердому тілі й газі [5]

1 Хвильовим рівнянням називається лінійне однорідне диференціальне рівняння у частинних похідних, що описує поширення хвиль у середовищі або у вакуумі. Знайдемо вигляд цього рівняння, виходячи з рівняння плоскої гармонічної хвилі

ξ(x, y, z,t) = Acos(ωt − kx x − ky y − kz z + α) .										(37.1)
Другі частинні похідні функції (37.1) за кожною із змінних мають такий вигляд:
∂2ξ		= −ω		2	Acos(ωt − kx x − ky y				2
dt2		= −ω			Acos(ωt − kx x − ky y			− kz z + α) = −ω ξ ,
dt2
	∂2ξ				2	∂2ξ	2	∂2ξ	2
			= −kx ξ,				= −ky ξ,		= −kz ξ .
	dx2		= −kx ξ,			dy2	= −ky ξ,	dz2	= −kz ξ .
	dx2					dy2		dz2

Сума похідних за координатами

∂2ξ	+	∂2ξ	+	∂2ξ	= −(kx2 + ky2 + kz2 )ξ = −k2ξ
dx2		dy2		dz2

відрізняється від похідної за часом множником k2 / ω2 , що дорівнює 1/ υ2 . Отже,

∂2ξ + ∂2ξ + ∂2ξ = 1 ∂2ξ . dx2 dy2 dz2 υ2 dt2

Це і є хвильове рівняння. Його можна написати у вигляді

							ξ =	1	∂2ξ	,	(37.2)
							ξ =	υ2	dt2	,	(37.2)
де =	∂2	+	∂2	+	∂2	– оператор Лапласа.
де =	dx2	+	dy2	+	dz2	– оператор Лапласа.
	dx2		dy2		dz2

Зазначимо, що для плоскої хвилі, що поширюється вздовж осі X , хвильове рівняння має вигляд

∂2ξ	=	1	∂2ξ	.	(37.3)
dx2		υ2	dt2

Незважаючи на те що ми одержали рівняння (37.2), виходячи з функції, яка описує плоску гармонічну хвилю, це рівняння описує й хвилі іншого вигляду. Наприклад, легко переконатися у тому, що будь-яка функція типу

f (x, y, z,t)= f (ωt − kx x − ky y − kz z + α)

(37.4)

задовольняє хвильове рівняння (37.2).

Також можна стверджувати: будь-яка функція, що задовольняє рівняння типу (37.2), описує деяку хвилю, причому корінь квадратний з величини, обернений коефіцієнту при

∂2ξ / dt2 , дає фазову швидкість цієї хвилі.

2 Використовуючи вищесформульовану властивість можна отримати вирази для швидкості хвиль у різних середовищах.

81

Фазова швидкість поздовжньої пружної хвилі визначається співвідношенням

u =			,
	E / r			(37.5)

де ρ – густина речовини; E – модуль Юнга цієї речовини.

Фазова швидкість поперечної пружної хвилі має вигляд

u =		,
u =	G / r	,	(37.6)

де G – модуль зсуву.

Швидкість поширення звукових хвиль описується такою формулою:

	u =		,
		gRT / m		(37.7)
де γ – стала адіабати; R – універсальна газова стала; T				– абсолютна температура; μ –
молярна маса газу.

§ 38 Густина енергії пружної хвилі [5]

1 Отримаємо співвідношення для відносної деформації стержня ε . Розглянемо циліндричний стержень із однорідного й ізотропного матеріалу. Припустимо, що вздовж стержня поширюється плоска гармонічна хвиля. У цьому випадку частинки, що лежать у поперечному перерізі стержня, який визначається координатою x , будуть мати зміщення ξ ,

що визначається функцією

x = Acos(wt - kx + a).

(38.1)

Виділимо в стержні елемент довжини

x ,

обмежений за

x

x + Dx

умови відсутності

хвилі

перерізами

x

й

x +

x

(рис. 38.1). Якщо переріз із координатою x

має в деякий

S

момент часу зміщення ξ , то зміщення перерізу

з

x

координатою

x +

x

буде

дорівнює

ξ +

ξ .

Оскільки

зміщення перерізів із різними значеннями координати

x

неоднакові, розглянутий елемент стержня виявляється

деформованим – він отримує видовження

ξ .

Відношення

ξ /

x

дає

середнє

значення

< ε >

ξ

ξ + ξ

відносного

видовження

елемента

стержня

x .

Щоб

Рисунок 38.1 – Деформація еле-

отримати

деформацію

ε

в перерізі

x ,

потрібно

мента стержня при поширенні в

спрямувати

x до нуля. Отже,

ньому

поздовжньої

пружної

ε = ∂ξ / ∂x

(38.2)

хвилі

(символ частинної похідної взятий тому, що ξ залежить не тільки від x , але й від t ).

2 Знайдемо потенціальну енергію пружно-деформованого стержня.

Коли стержень довжиною l0

та з поперечним перерізом S

має видовження

l , то в

ньому виникає сила пружності, яка визначається співвідношенням

F = Ss = SE Dl = kDl ,

пр

l0

де σ – механічна напруга в стержні; E – модуль Юнга; k = SE / l0

– коефіцієнт пружності.

Відомо, що потенціальна енергія пружно-деформованого тіла визначається виразом

k×Dl

2

SE Dl

2

E

æ

Dl

ö2

(Sl0 )=

Ee

2

Wp =

=

ç

÷

V ,

2

l0

2

ç ÷

2

è

l0

ø

де ε – відносне видовження, а V – об'єм стержня. 82

Звідси знаходимо, що у деформованому стані стержень має густину потенціальної енергії (потенціальна енергія одиниці об'єму)

wp =	Wp	=	Ee2	.	(38.3)
	V		2

3 Знайдемо густину енергії хвилі, що поширюється у стержні. Виділимо в середовищі елементарний об'єм V , настільки малий, щоб швидкість руху й деформацію у всіх його точках можна було вважати однаковими й такими, що дорівнюють відповідно ∂ξ / ∂t й ∂ξ / ∂x (див. (38.2)). Виділений об'єм має кінетичну енергію

DWk =	r æ		¶x ö	2	(38.4)
DWk =	2	ç	÷	DV	(38.4)
	2	è	¶t ø

( ρ V – маса об'єму; ∂ξ / ∂t – його швидкість).

Розглянутий об'єм має також потенціальну енергію пружної деформації (див. (38.3):

	Ee2		E æ		¶x ö2
DWp =		DV =		ç ÷		DV
	2		2
				è	¶x ø

( ε = ∂ξ / ∂x – відносна деформація об'єму; E – модуль Юнга середовища). Фазова швидкість поширення пружної хвилі у стержні визначається співвідношенням u = E / r . Виразимо модуль Юнга з цього співвідношення E = ru2 (ρ – густина середовища). Тоді вираз для

потенціальної енергії об'єму V набуває вигляду
DWp =	ru2	æ	¶x ö2		(38.5)
DWp =	2	ç	÷	DV .	(38.5)
	2	è	¶x ø

Сума виразів (38.4) і (38.5) дає повну енергію

W об'єму

V :

1

æ

æ ¶x ö

2

æ

¶x ö

2

ö

DW = DW + DW =

ç

+ u

÷

DV .

r

ç ÷

÷

k

p

2

ç

è ¶t

ø

è

¶x ø

è

ø

Розділивши цю енергію на V , отримаємо густину енергії:

1

æ

æ ¶x ö

2

2 æ

¶x ö

2

ö

w =

ç

+ u

÷

.

(38.6)

2

r

ç

¶t

÷

ç

÷

ç

è

ø

è

¶x ø

è

ø

Диференціювання рівняння (38.1) один раз за t , інший раз за x дає

¶x / ¶t = -Awsin(wt - kx + a), ¶x / ¶x = Ak sin(wt - kx + a).

Підставивши ці вирази у формулу (38.6) і врахувавши, що k2u2 = w2 , отримуємо густину енергії, що виникає в пружному середовищі при поширенні в ній плоскої поздовжньої хвилі:


w = rA2w2 sin 2 (wt - kx + a)	.	(38.7)

Можна показати, що для поперечної хвилі густина енергії визначається такою ж формулою, як і для поздовжньої. У випадку хвильових поверхонь будь-якої форми в межах малого об'єму хвилю можна приблизно вважати плоскою. Отже, вираз (38.7) є правильним для гармонічних хвиль будь-якого вигляду (сферичних, циліндричних і т.п.). Цей вираз є правильним також і для загасаючих хвиль.

З (38.7) випливає, що густина енергії в кожний момент часу в різних точках простору різна. В одній і тій самій точці густина енергії змінюється з часом за законом квадрата синуса. Середнє значення квадрата синуса дорівнює 1/2. Відповідно середнє за часом значення густини енергії в даній точці середовища дорівнює

83

< w >= (1/ 2)ρA2ω2

.

(38.8)

Таким чином, густина енергії (38.7) і її середнє значення (38.8) пропорційні густині середовища ρ , квадрату амплітуди A й квадрату частоти ω хвилі.

§ 39 Вектор Умова. Інтенсивність [5]

1 Середовище, у якому поширюється пружна хвиля, має додаткову механічну енергію. Ця енергія передається від джерела коливань у різні точки середовища самою хвилею. Отже,

хвиля переносить із собою енергію. Кількість енергії, що переноситься хвилею через деяку поверхню за одиницю часу, називається потоком енергії через цю поверхню. Якщо через поверхню переноситься за час dt енергія dW , то потік енергії Φ дорівнює

Φ = dW / dt

.

(39.1)

Потік енергії – скалярна величина, як випливає зі співвідношення (39.1), він вимірюється у системі СІ у ватах (1 Вт=1 Дж/с).

2 Перенесення енергії у різних точках простору може бути неоднаковим. Для характеристики перенесення енергії в різних точках простору використовується векторна величина, яка називається густиною потоку енергії. Ця величина чисельно дорівнює потоку енергії через одиничну площадку, яка розміщена в даній точці перпендикулярно до напрямку, у якому переноситься енергія. Напрям вектора густини потоку енергії збігається з напрямом перенесення енергії.

Якщо через площадку S , перпендикулярну до напрямку поширення хвилі, переноситься за час t енергія W , то густина потоку енергії дорівнює

			ΔΦ		W
	j =			=				.
			S		S	t
Через площадку S (рис. 39.1) буде		перенесена за час							t
енергія W , що знаходиться в об'ємі циліндра з основою									S
й висотою υ t : ( υ – фазова швидкість хвилі). Якщо							S й υ t

достатньо малі, щоб густину енергії у всіх точках циліндра

можна було вважати однаковою, то	W дорівнює добутку
густини енергії w на об'єм циліндра	S υ t :
W = w S υ t .

Підстановка цього виразу в (39.2) дає для модуля густини потоку енергії формулу

j = wυ .

(39.3)

Нарешті, якщо ввести вектор υ, модуль якого дорівнює фазовій швидкості хвилі, а напрям збігається з напрямом поширення хвилі (і перенесення енергії), отримаємо

(39.2)

S

υ

υ t

Рисунок 39.1 – Через площадку S проходить за

час t енергія, що знаходиться в циліндрі висотою υ t

r

j = wυ . (39.4)

Ми отримали вираз для вектора густини потоку енергії. Для пружних хвиль цей вектор був уведений Н.О.Умовим і називається вектором Умова. У загальному випадку він є різним у різних точках простору, а в даній точці змінюється з часом за законом квадрата синуса. Його середнє значення дорівнює

< j >=< w > υ =	1	ρA2ω2υ	.	(39.5)
	2
84

Вираз (39.5) є правильним для хвиль будь-якого типу (сферичних, загасаючих і т.д.). За визначенням під інтенсивністю хвилі в даній точці розуміють середнє за часом значення модуля вектора густини потоку енергії, що переноситься хвилею. Тому співвідношення (39.5) визначає інтенсивність хвилі (часто інтенсивність хвилі позначають через I =< j > ).

3 Якщо вектор j є відомим у всіх точках довільної поверхні S , то можна обчислити

потік енергії через цю поверхню. Розіб'ємо поверхню на елементарні ділянки dS . За час dt через площадку dS пройде енергія dW , що знаходиться в зображеному на рис. 39.2 косому циліндрі об'ємом dV = υdtdS cosϕ . У циліндрі міститься енергія dW = wdV = wυdtdS cosϕ

( w – миттєве значення густини енергії у тому місці, де розміщена площадка dS . Подамо енергію у вигляді

			dW = jdtdS cosj = jdSdt
r	r		для потоку		енергії dΦ	через
( dS = dSn	, j = wu ). Звідси		для потоку		енергії dΦ	через
площадку dS отримуємо вираз
	dF = dW / dt = jdS .					(39.6)
Повний	потік енергії через		поверхню		S дорівнює	сумі
елементарних потоків (39.6):

		F = ò jdS		.		(39.7)
			S

dS

n

j

ϕ

υdt

Замінивши в цій формулі вектор j його середнім за			часом	Рисунок 39.2 – До обчи-
значенням, отримаємо середнє значення потоку енергії:				слення потоку енергії
				dΦ через площадку dS
	< F >= ò< j > dS	.	(39.8)	dΦ через площадку dS
	< F >= ò< j > dS	.	(39.8)
	S

4 Знайдемо середнє значення потоку енергії через одну із хвильових поверхонь незагасаючої сферичної хвилі. У кожній точці цієї сферичної поверхні вектори j й dS збігаються за напрямом. Крім того, модуль вектора j для всіх точок поверхні однаковий. Отже,

< F >= ò< j > dS = < j > S =< j > ×4pr2 .

S

( r – радіус хвильової поверхні). Згідно з (39.5) < j >= (1/ 2)rA2w2u . Тому

< F >= 2prw2uAr2r2

( Ar – амплітуда хвилі на відстані r від джерела). Оскільки енергія хвилі не поглинається

середовищем, середній потік енергії через сферу будь-якого радіуса повинен мати однакове значення, тобто повинна виконуватися умова

Ar2r2 = const .

Звідси випливає, що амплітуда Ar незагасаючої сферичної хвилі обернено пропорційна відстані r від джерела Ar = (1/ r)× const .

§ 40 Звукові хвилі та їх застосування. Висота, тембр та гучність звуку. Рівень гучності. Ефект Допплера для звукових хвиль [5]

1 Характеристики звуку. Якщо пружні хвилі в повітрі мають частоту в межах від 16 до 20000 Гц, то, досягнувши людського вуха, вони викликають відчуття звуку. Тому пружні хвилі в будь-якому середовищі, які мають частоту, що перебуває в зазначених межах,

85

Материал: Lysenko_physics_lek_2

Смотрите также: