Документ: Lysenko_physics_lek_2, страницы 46-50 | Студенческое хранилище

замиканні кола й зменшення струму при розмиканні кола відбувається не миттєво, а поступово.

1 Знайдемо характер зміни струму при розмиканні кола.

L, R¢

Нехай у колі, що зображено на рис. 21.1, ключ

K спочатку

2

3

замикають. Тоді через індуктивність

L буде

проходити

R

постійний струм силою

I = E / R′

(21.1)

1

4

K

(опором джерела струму нехтуємо).

E

При розмиканні ключа струм у колі 1-2-3-4 не може

Рисунок 21.1 – Коло скла-

зникнути миттєво тому, що в індуктивності виникає ЕРС

самоіндукції, яка спрямована так, щоб протидіяти зменшенню

дається

з котушки

з

струму.

індуктивністю

L

й

Якщо індуктивність постійна, то сила струму в колі

опором R′ і безіндук-

після розмикання ключа буде задовольняти закон Ома для

тивним

опором

R .

замкненого кола

Напрями струмів у різних

¢

dI

ділянках

кола

до

I (R + R ) = Es

= -L

dt

,

розмикання ключа

K

по-

казані суцільними

стріл-

яке можна подати у вигляді

ками, після розмикання –

dI

+

R + R′

I = 0.

(21.2)

штриховими

dt

L

Це – лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку. Розділивши змінні, отримаємо рівняння

dI	= -	R + R′				dt ,
I	= -					dt ,
I			L
інтегрування якого приводить до виразу
ln I = -	R + R′		t + ln(const)
ln I = -			t + ln(const)
	L
(тут доцільно сталу інтегрування позначити через						ln(const) ). Потенціювання цього виразу
дає, що
	æ			-	R + R¢		ö	(21.3)
I = const ×expç				-		L	t ÷ .	(21.3)
	è					L	ø

Функція

(21.3)

є

загальним

розв’язком

I

диференціального рівняння (21.2). Значення константи

I0

визначається з початкових умов. При t = 0

сила струму в

2

індуктивності має значення (21.1). Отже, const = I0 = E / R¢ .

Підставивши це значення в (21.3), прийдемо до формули

1

I =

E

æ

R + R¢

t

ö

0

expç-

÷

. (21.4)

t

R¢

L

è

ø

Рисунок 21.2 – Графік зміни

Таким чином, після відключення джерела ЕРС сила

струму при розмиканні (крива

струму в колі не стає миттєво нульовою, а зменшується

1) і замиканні (крива 2) кола

за експоненціальним законом. Графік зменшення струму

наведено на рис. 21.2 (крива 1). Швидкість зменшення визначається величиною

t =

L

,

(21.5)

R + R¢

46

що має розмірність часу, яку називають сталою часу кола. Замінивши в (21.4) (R + R′) / L через 1/ τ , отримаємо формулу

I =	E	æ	-	t ö
		expç			÷	.	(21.6)
	R¢
		è		t ø

Відповідно до цієї формули τ є час, протягом якого сила струму зменшується в e

разів. З (21.5) бачимо, що чим більша індуктивність кола й менший її опір, тим більша стала часу τ й тим повільніше зменшується струм у колі.

2 Проаналізуємо отриманий результат. Згідно з (21.4) ЕРС самоіндукції після

розмикання кола визначається виразом
	dI		R + R¢			æ	R + R¢	ö
Es = -L		= E			expç-			t ÷ .
Es = -L	dt	= E		R¢	expç-		L	t ÷ .
	dt			R¢		è	L	ø
У початковий момент
	Es » E			R + R′		> E .		(21.7)
	Es » E			R¢		> E .		(21.7)
				R¢
З (21.7) випливає, що у випадку, коли R >> R′ , ЕРС самоіндукції значно перевищує
ЕРС E , що діяла в колі до його розмикання. Якщо розірвати просте (послідовне) коло, то
місце розриву буде мати дуже великий опір				R . Відповідно до (21.7) у колі виникне висока

індукована напруга, що створює іскру або дугу в місці розриву.

3 Знайдемо характер

зміни

струму при замиканні кола.

L, R′

Розглянемо коло, яке зображене на рис. 21.3. Після замикання

ключа K доти, поки сила струму не досягне сталого значення

I0

=

E

,

(21.8)

R

+

R¢

K

E

у колі, крім ЕРС E , буде діяти ЕРС самоіндукції. Таким чином,

сила струму буде визначатись законом Ома для замкненого кола

¢

Рисунок 21.3 – Коло,

I (R + R ) = E + Es = E - LdI / dt ,

що

складається з

звідки

R + R′

послідовно

включе-

dI

I =

E

ної

індуктивності

dt +

(21.9)

(L, R¢), опору R й

L

(опором джерела ЕРС нехтуємо).

джерела ЕРС E

Ми прийшли до лінійного

неоднорідного диференціального рівняння

першого

порядку, що відрізняється від рівняння (21.2) лише тим, що в правій частині замість нуля в ньому стоїть стала величина. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння можна отримати, додавши будь-яке його частинне розв’язання до загального розв’язку відповідного однорідного рівняння. Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд (21.3). Легко переконатися безпосередньо підстановкою у тому, що вираз (21.8) є частинним розв’язком рівняння (21.9). Отже, загальним розв’язком рівняння (21.9) буде функція

	E	æ		R + R¢	ö
I =		+ const ×expç	-		t ÷	(21.10)
I =	R + R¢	+ const ×expç	-	L	t ÷	(21.10)
	R + R¢	è		L	ø

(рекомендуємо перевірити підстановкою, що функція (21.10) задовольняє рівняння (21.9).) У початковий момент сила струму дорівнює нулю. Підстановка в (21.10) I = 0 і t = 0

приводить до значення константи, що дорівнює									¢
приводить до значення константи, що дорівнює						(- E /(R + R )). Отже,
		E	é			æ		R + R¢	öù
	I =			ê1	- expç		-		t ÷ú	.	(21.11)
	I =	R +		ê1	- expç		-	L	t ÷ú	.	(21.11)
		R +	R¢ ë			è		L	øû
					47

З урахуванням (21.5) і (21.8) цій формулі можна надати вигляду
I = I0 [1− exp(− t / τ)].	(21.12)

Функції (21.11) і (21.12) описують зростання струму у колі після під’єднання до неї джерела ЕРС. Графік функції (21.12) наведено на рис. 21.2 (крива 2).

ТЕМА 4 РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА

§ 22 Вихрове електричне поле. Інтегральна й диференціальна форма закону електромагнітної індукції [5]

1 Як ми вже знаємо, Максвелл узагальнив закон електромагнітної індукції Фарадея.

Сутність узагальнення полягає у введенні вихрового електричного поля, яке створюється змінним у часі магнітним полем. Закон електромагнітної індукції за Максвеллом має таке формулювання: будь-яка зміна магнітного поля з часом збуджує в навколишньому просторі

вихрове електричне поле. Циркуляція вектора напруженості Eв цього поля по будь-якому нерухомому замкненому контуру Γ визначається виразом

r r	= −	∂Φ	,	(22.1)
òEвdl
Γ		∂t

де Φ – магнітний потік, що пронизує контур Γ . Ми тут використали для позначення швидкості зміни магнітного потоку знак частинної, а не повної похідної. Цим ми хочемо підкреслити, що контур Γ повинен бути нерухомим.

Таким чином, Максвелл припустив, що магнітне поле, яке змінюється з часом, обумовлює появу у просторі вихрового електричного поля з напруженістю Eв . Вихрове поле

Eв істотно відрізняється від електростатичного потенціального поля Eп , яке

створюється нерухомими електричними зарядами. Як відомо, електростатичне поле Eп є

консервативним (потенціальним), його лінії напруженості починаються й закінчуються на

електричних	зарядах. З	умови консервативності поля Eп		випливає, що робота, яка
виконується	цим полем	над зарядом q	при його переміщенні по будь-якій замкненій
траєкторії Γ , дорівнює нулю. Тобто
		òqEпdl = 0 , або òEпdl = 0 .		(22.2)
		Γ	Γ

Як бачимо, циркуляція потенціального електричного поля по довільному замкненому контуру Γ дорівнює нулю. Циркуляція ж вектора напруженості вихрового електричного

поля Eв згідно з (22.1) відмінна від нуля. Отже, поле Eв , як і магнітне поле, є вихровим. Лінії напруженості поля Eв замкнені або прямують до нескінченності.

Отже, електричне поле може бути як потенціальним ( Eп ), так і вихровим ( Eв ). У загальному випадку електричне поле може складатися з потенціального поля Eп , яке

створюється зарядами, і вихрового поля Eв , обумовленого магнітним полем, що змінюється з часом:

E = Eп + Eв .

(22.3)

Циркуляція сумарного електричного поля з урахуванням (22.1) і (22.2) буде дорівнювати

r	r	r r	r	r	r	r	= −	∂Φ .
òEdl		= òEпdl	+ òEвdl		= òEвdl		= −	∂Φ .	(22.4)
Γ		Γ	Γ		Γ			∂t
Γ		Γ	Γ		Γ
			48

Врахуємо визначення потоку магнітного поля F = òBdS й той факт, що у випадку нерухомої

S

поверхні інтегрування операції диференціювання за часом і інтегрування по поверхні можна

æ	r	r ö			r		r
ç		÷	/ ¶t		= ò¶B / ¶t ×dS . Тоді рівняння (22.4) набере вигляду
поміняти місцями ¶F / ¶t = ¶ç	òBdS ÷		/ ¶t		= ò¶B / ¶t ×dS . Тоді рівняння (22.4) набере вигляду
è S		ø			S
				ò	r r	¶B r
				ò	Edl = -	ò ¶t	dS	.	(22.5)
				Γ		S

Підкреслимо, у співвідношенні (22.5) площа інтегрування S «надіта» на контур інтегрування

Γ . Рівняння (22.5) виражає закон електромагнітної індукції в інтегральній формі, воно є одним з основних в електромагнітній теорії Максвелла. В основі цього рівняння лежить ідея

про створення вихрового електричного поля змінним за часом магнітним полем.
2 Запишемо закон електромагнітної індукції в диференціальній		формі.
Використовуючи теорему Стокса для векторного поля A
ò Adl = òrotA×dS ,		(22.6)
Γ	S

нескладно перетворити рівняння (22.5), що виражає закон електромагнітної індукції в інтегральній формі, в рівняння, яке має диференціальну форму:

r	r		r	r	= -ò		¶B	r
òEdl		= òrotE ×dS			= -ò		¶t	dS ,
Γ		S				S	¶t
Γ		S				S
або

			r	¶B
			rotE	= -	¶t	.		(22.7)

Рівняння (22.7) виражає закон електромагнітної індукції в диференціальній формі, воно є одним з основних в електромагнітній теорії Максвелла.

§ 23 Струм зміщення Максвелла [5, 9]

1 З'ясуємо вигляд законів електромагнетизму, які є вірними у випадку змінних електромагнітних полів. Такі закони були встановлені Максвеллом. До рівнянь,

запропонованих Максвеллом, можна прийти шляхом послідовного узагальнення дослідних фактів. Слід вирішити, які з отриманих раніше рівнянь можуть бути збережені, які повинні бути відкинуті і які потрібно доповнити. Є один керівний принцип, що дозволяє просунутися у цьому напрямку. Варто виключити з основних такі рівняння, в основі яких лежить уявлення про безпосередню дію на відстані. До них відносять закони Кулона, Біо-Савара-

Лапласа та ін. Ці закони несумісні з експериментально підтвердженим уявленням про скінченну швидкість поширення взаємодій, а тому не можуть залишатися правильними у всіх випадках. Потрібно зберегти тільки такі рівняння, які не суперечать уявленням теорії поля. Відзначимо, що коли рівняння задовольняє вимоги теорії поля, то його можна подати як в інтегральному, так і диференціальному вигляді. Максвелл висунув гіпотезу, яка потім експериментально була підтверджена, що загальними законами електродинаміки (тобто справедливими й для постійних, і для змінних у часі полів) є такі закони:

§теорема Гаусса для електричного поля в діелектрику в інтегральному

òD ×dS = q	(23.1)
S
і диференціальному вигляді
divD = r ;	(23.2)
49

§теорема Гаусса для магнітного поля в інтегральному

òBdS = 0	(23.3)
S
і диференціальному вигляді
divB = 0 ;	(23.4)

§закон електромагнітної індукції в інтегральному

r r	= -ò		¶B	r	(23.5)
òEdl	= -ò		¶t	dS	(23.5)
Γ		S	¶t
Γ		S
і диференціальному вигляді
	r	= -	¶B .		(23.6)
rotE		= -	¶B .		(23.6)
			¶t

До основних рівнянь електродинаміки він також приєднав і закон збереження електричного заряду. У диференціальній формі він має вигляд рівняння неперервності електричного заряду

	¶r	r
		+ div( j) = 0 .	(23.7)
	¶t

Тут ρ – густина електричного заряду в деякій точці простору,			j – густина електричного

струму в тій самій точці простору.

2 Теорему про циркуляцію магнітного поля у речовині в інтегральній формі
ò Hdl = åIk ,		(23.8)
Γ	k

яка нами була отримана для стаціонарного випадку, можна перетворити до диференціального вигляду. Для цього використаємо теорему Стокса

òHdl = òrotH ×dS ,

(23.9)

ΓS

атакож те, що струми, які охоплюються контуром Γ , можна знайти як інтеграл від густини електричного струму по поверхні S , що обмежена контуром інтегрування Γ :

	r
åIk = ò jdS .		(23.10)
k	S

Тобто підставивши (23.9) та (23.10) в (23.8), отримаємо

	r		r
òrotH ×dS = ò jdS , або		rotH =	j	.	(23.11)
S	S

Вираз (23.11) являє собою диференціальну форму теореми

(23.8).

3 З'ясуємо, чи є правильною теорема про циркуляцію магнітного поля в речовині (23.8), (23.11) у полів, які змінюються з часом.

Для цього розглянемо магнітне поле, яке створюється струмом, що проходить при розрядці зарядженого конденсатора (рис. 23.1). Цей струм змінюється з часом. Лінії струму мають розрив у проміжку між обкладками конденсатора. Застосуємо до цього випадку теорему про

циркуляцію магнітного поля (23.8). Циркуляція ò Hdl , що

	I
S2	I
S2
S1	I

Γ

Рисунок 23.1 – Процес розрядки конденсатора

стоїть у лівій частині рівняння (23.8), залежить тільки від форми й розміщення контуру Γ . Вона є цілком визначеною величиною. З іншого боку сума струмів åIk , що стоїть в правій

50

Материал: Lysenko_physics_lek_2

Смотрите также: