Материал: GOSY

4. Меркаторская картографическая проекция, её свойства. Локсодромия и её свойства. Вычисления локсодромического курса и расстояния по географическим координатам.

Меркаторская проекция относится к классу цилиндрических нормальных равноугольных проекций, в которых параллели нормальной сетки есть параллельные прямые, а расстояние между меридианами пропорциональны соответствующим разностям долгот.

Для получения меркаторской проекции необходимо спроектировать меридианы и параллели Земного шара на внутреннюю поверхность цилиндра касательного к земле в районе экватора. При разворачивании цилиндра в плоскость параллели растянутся и станут по длине равными экватору и параллельными ему. Таким образом получается прямоугольная сетка параллелей и меридианов, расположенных на равных расстояниях друг относительно друга. На такой сетке локсодромия, пересекающая все меридианы под одним углом, изобразится прямой линией.

Однако полученная проекция не является равноугольной, так как параллели на ней растянулись пропорционально секансу широты, а величина меридианов осталась неизменной. Для того, чтобы проекция стала равноугольной необходимо произвести растяжение меридианов в каждой точке, так же как растянуты параллели, т. е. пропорционально секансу широты точки.

Ортодромия, пересекающая параллельные меридианы под разными углами, на меркаторской проекции изображается кривой линией, что усложняет прокладку дуги большого круга, что затрудняет плавание по кратчайшему расстоянию.

Меркаторская проекция имеет и другие недостатки:

-проекция не сохраняет равенство площадей;

-невозможно создание меркаторской карты для приполюсных районов;

-масштаб на картах меркаторской проекции изменяется с широтой, что вносит искажения измеренных циркулем расстояния даже в пределах одного листа карты.

Кривую на поверхности Земли, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом, называют локсодромией, что с греческого переводится как «косой бег».

Расстояние между двумя точками на сфере по локсодромии не является кратчайшим

иеё применение в мореплавании объясняется исключительным удобством использования компасов.

Локсодромия − принятое в навигации название логарифмической спирали. Основным её свойством является то, что она пересекает меридианы под одним и тем же углом и на картах меркаторской проекции изображается в виде отрезка прямой. На деле эта кривая не является кратчайшим расстоянием между двумя

точками, но плавание по ней представляет определённые удобства (постоянный курс).

Основные свойства локсодромии:

1.При курсах 0º или 180º долгота не изменяется (РД=0), т.е. на курсах N или S локсодромия совпадает с меридианом и превращается в ДБК, проходящую через полюса.

2.При курсах, не равных 90º и 270º, локсодромия пересекает каждую параллель только один раз, а каждый меридиан − бесчисленное множество раз, асимптотически приближаясь к полюсу, за исключением курсов 0° и 180°, когда локсодромия проходит через полюса.

3.Локсодромия представляет собой логарифмическую спираль, асимптотически стремящуюся к полюсу, то есть при любых других курсах локсодромия спиралеобразно стремится к полюсу, никогда его не достигая.

где e -эксцентриситет эллипсоида. Уравнение локсодромии на шаре выглядит так:

Из данного уравнения можно получить аналитическое выражение для локсодромического курса К :

K arctg

Расстояние S между двумя точками выражается следующим образом. В общем случае:

5. Ортодромия, ортодромическая поправка. Способы построения ортодромии на картах меркаторской проекции.

Ортодромия (из др.-греч. ὀρθός «прямой» + δρόμος «бег, путь») — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности Земли. В отличие от локсодромии ортодромия пересекает меридианы под разными углами. В судо- и самолётовождении, где Земля принимается за шар, ортодромия представляет собой дугу большого круга.

Экватор и меридианы являются частными случаями ортодромии. Через две точки на земной поверхности, расположенные не на противоположных концах одного диаметра Земли, можно провести только одну ортодромию.

В большинстве картографических проекций ортодромии изображаются кривыми линиями (за исключением, быть может, меридианов и экватора). Это неудобно для прокладки кратчайших маршрутов. В гномонической проекции все ортодромии изображены прямыми линиями.

Параллели (за исключением экватора) не являются ортодромиями.

Ортодромической поправкой называется угол между локсодромией и касательной к ортодромии.

Ортодромическая поправка является поправкой за кривизну изображения дуги большого круга на меркаторской карте. Она определяется с помощью формулы:

1

2 sin M ,

При плавании по дуге большого круга ее траекторию заменяют хордами – отрезками локсодромии. Причем

долготный интервал ходы равен 4-6 градусов.

На практике используют следующие способы расчета направлений участков локсодромии для плавания по дуге большого круга:

-с помощью ортодромических поправок;

-с помощью карт гномонической проекции;

-с помощью специальной номограммы;

-с применением средств вычислительной техники.

Использование ортодромической поправки. Необходимо выполнить

следующие действия:

1.Определить долготный интервал изменения курсов и провести соответствующие ему меридианы от пункта отхода к пункту прихода.

2.По координатам начальной и конечной точек плавания на карте меркаторской проекции проложить отрезок локсодромии между этими точками и измерить исходный

курс K0 (рис.).

движении на восток знак 0 положителен, а при движении на запад – отрицателен. В южном полушарии – наоборот.

Аналогично рассчитать и проложить все последующие хорды. Когда до пункта прихода остается приращение долготы меньше принятого интервала, хорда не рассчитывается, заключительный отрезок локсодромии прокладывается от точки на последнем промежуточном меридиане непосредственно в пункт прихода.

Использование специальной номограммы. По ней определяется начальное направление дуги большого круга A1, затем – как в первом способе через ортодромические поправки.

Использование вычислительной техники. Для выбранного приращения долгот локсодромические курсы рассчитываются по формулам:

Начальный курс рассчитаем по формуле: