Материал: 6593

16

и определяется только передаваемым сообщением, так как математическое ожидание белого шума Z(t) равно нулю.

Условная корреляционная матрица B сигнала Y (t) при фиксированном x(t) состоит из следующих элементов

B(kj) = M{ Y (k ) −m(k ) Y ( j) −m( j) }= M Z (k )Z ( j)

и равна корреляционной матрице отсчетов шума. Элементы этой матрицы есть отсчеты корреляционной функции шума

B(kj) = B(tk ,t j ) .

Шум стационарен, поэтому его корреляционная функция зависит от разности аргументов τ = t1 −t2 и может быть найдена по теореме Винера – Хинчина

B(τ) = ∞∫G( f )cos 2π fτ df ,

0

где G( f ) – спектр плотности мощности шума.

По условию задачи, он равномерен в полосе 0… FB ,

отсчеты Z (1) ,..., Z (n) , взятые с шагом квантования ∆t , некорре-

лированы. Таким образом, в корреляционной матрице отсчетов сигнала не равны нулю будут только элементы, стоящие на главной диагонали,

B(kk ) = B(0) = N0 FB =10−11 ,

18

y = loga x ≤ loga x0 + x0 1ln a (x − x0 ) ,

причем знак равенства выполняется только в точке касания x = x0 .

Предположим, что X – положиРис. 1.4 тельная случайная величина, тогда полученное неравенство справедливо для любого из ее возможных значений и, следовательно, при усред-

нении обеих частей знак неравенства сохранится:

M[loga X ]≤ loga x0 + x0 1ln a {M[X ]− x0}.

Выбрав абсциссу точки касания x0 = M[X ], получим

окончательно

M[loga X ]≤ loga M[X ].

Это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда все возможные значения случайной величины

X = x0 = M[X ], т.е. если величина X не случайна.

Пусть случайная величина X получена в результате функционального преобразования системы случайных величин

X =ϕ(Q, L,..., Z) > 0, тогда в силу доказанного неравенства имеем

M[loga ϕ(Q, L,..., Z)]≤ loga M[ϕ(Q, L,..., Z)].

Это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда величина X =ϕ(Q, L,..., Z) не случайна.

ЗАДАЧИ

1.1В городе Н в 50% случаев бывает ясная погода, в 3 0% - переменная и в 20% - дождливая. Сообщения о погоде передаются при помощи кодовых слов «ясно», «переменно», «дождь». Найти среднее количество букв в одном кодовом слове (математическое ожидание длины кодового слова).

1.2В условиях задачи 1.1 сообщения о погоде передаются по линии связи при помощи импульсов амплитуды 5; З и 1 В

19

соответственно. Определить среднюю мощность в импульсе, если входное сопротивление линии равно 100 Ом.

1.3. В условиях задачи 1.2 на выходе линии связи установлен идеальный ограничитель сверху на уровне 0,5 В. Имеется ли статистическая зависимость сигналов на входе линии и выходе ограничителя?

1.4 Сообщение на входе линии связи может с одинаковой вероятностью принимать одно из двух значений: x1 = −1 B или

x2 = +1 B. На выходе линии установлен вольтметр, ошибка из-

мерения которого распределена нормально с математическим ожиданием, равным нулю, и среднеквадратическим отклонением 0,5 В. Показание вольтметра в некоторый момент времени

равно 0,75 В. Найти условные вероятности сообщений x1 и x2 .

1.5 Температура в камере может принять с одинаковой вероятностью любое значение в интервале от 0 до 40°. Как выбрать шаг квантования этой величины, чтобы ошибка квантования никогда не превышала 2°? Построить ряд распределения для квантованных значений температуры.

1.6В условиях задачи 1.5 найти средний квадрат ошибки квантования.

1.7Напряжение в сети в момент измерения - случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами

m = 220 В, σ = 5 В. На интервале 190 - 240 В осуществить квантование этой величины с шагом ∆u = 5 В и построить ряд

распределения.

1.8 Сколько отсчетов по теореме Котельникова необходимо для передачи сигнала длительностью 10 мин с выхода микрофона, если спектр звуковых частот полностью заключен в полосе

20 - 20 000 Гц?

1.9 Можно ли без искажений восстановить телевизионный видеосигнал, если по линии связи передавались его отсчеты с

шагом ∆t = 0,2 мкс?

1.10 Система случайных величин XY имеет совместную плотность вероятности

а) Вычислить четвертый центральный момент величины X . б) Являются ли эти случайные величины независимыми?

1.11Билеты лотереи, среди которых только один выигрышный, занумерованы числами от 0 до 999. Указать среднее количество цифр, необходимых для передачи номера выигравшего билета.

1.12По каналу связи передаются сообщения x1 или x2 с ве-

роятностями p(x1) = 0,7, p(x2 ) = 0,3. Вследствие влияния помех сигнал на выходе может принимать одно из трех значе-

Найти вероятность ошибочных решений, если выходным сигналам ставить в соответствие следующие решения:

y1 → x1 , y2 → x1 , y3 → x2 .

совместное распределение также нормальным.

1.14 Плотность вероятности системы трех случайных величин равна

Найти совместную плотность вероятности величин X и Y . 1.15 Система случайных величин имеет нормальное рас-

пределение