Материал: 6593
11
t1,t2 ,...,tn . Совокупность символов X (1) ,..., X (n) образует кодо-
вое слово, а число n символов в слове называется его длиной. Аналогично для сигнала Y (t) имеем последовательность
отсчетов Y (1) ,...,Y (z) , образующую кодовое слово длины z.
Основание кода сигнала s |
также может отличаться от ос- |
|||||||||||
нования кода сообщения m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Последовательность |
X = (X (1) ,..., X (n) ) имеет |
Nx = mn |
||||||||||
возможных |
значений, |
а |
|
|
для |
последовательности |
||||||
Y = (Y (1) ,...,Y ( z) ) |
это число равно Ny |
= sz . Поэтому для полно- |
||||||||||
го описания |
системы |
XY |
|
необходимо |
перечислить |
|||||||
N = Nx Ny = mn sz |
возможных реализаций этой системы и ука- |
|||||||||||
зать их вероятности p(x(1) |
,..., x(n) |
, y(1) |
,..., y( z) ) . |
|
|
|
|
|||||
|
|
j |
|
k |
|
r |
|
q |
|
|
|
|
Из них могут быть получены безусловные и условные ха- |
||||||||||||
рактеристики |
X (t) и Y (t) по формулам, |
аналогичным (1.3) - |
||||||||||
(1.8), например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(x(1)j ,..., xk(n) ) = ∑ ∑p(x(1)j ,..., xk(n) , yr(1) ,..., yq( z) ) , |
||||||||||||
|
|
r=1 |
q=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(x(1) ,..., x(n) , |
y(1) |
,..., |
y( z) ) |
||||
p(x(1) ,..., x(n) |
/ y(1) ,..., y( z) ) |
= |
|
j |
|
k |
r |
|
q |
|||
|
|
p(yr(1) ,..., yq( z) ) |
|
|
||||||||
j |
k |
r |
q |
|
|
|
|
|
||||
и так далее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Две последовательности бесконечной длины |
|
|
|
|||||||||
X =..., X (−1) , X (0) , X (1) ,... |
и |
Y =...,Y (−1) ,Y (0) ,Y (1) ,... |
||||||||||
называются стационарными и стационарно связанными, если для любых n и i
p(x(ji) ,..., xk(i+n) , yr(i) ,..., yq(i+n) ) = p(x(1)j ,..., xk(n) , yr(1) ,..., yq(n) ) ,
т.е. все характеристики таких последовательностей не зависят от начала отсчета.
Модель сигнала – непрерывная случайная функция.
Осуществляя квантование по времени, переходим от непрерывной случайной функции X (t) к системе непрерывных случай-
12
ных величин X (1) , X (2) ,..., X (n) , а от непрерывной случайной функции Y (t) – к системе Y (1) ,Y (2) ,...,Y (n) . Полной статистической характеристикой сообщения и сигнала является 2n -мерная совместная плотность вероятности W (x(1) ,..., x(n) , y(1) ,..., y(n) ) .
Для вычисления других характеристик необходимо использовать обобщение формул (1.3) – (1.8).
Помехи. Помехой называется всякое стороннее воздействие, мешающее правильному приему сигнала. Если принима-
емый сигнал Y (t) связан с передаваемым сигналом |
X (t) соот- |
ношением |
(1.9) |
Y (t) = X (t) +Q(t) , |
|
то помеха Q(t) называется аддитивной, а в случае |
(1.10) |
Y (t) = X (t)Q(t) - |
мультипликативной.
В качестве помехи имеет смысл рассматривать только такую функцию Q(t) , значение которой заранее не известно по-
лучателю, так как в противном случае помеха может быть скомпенсирована в месте приема. Поэтому для описания помехи используют те же модели, что и для описания сигнала. Принципиальное отличие сигнала от помехи сводится к тому, что последняя не имеет информативных параметров.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ
Пример 1.1. Случайная величина X – число бросаний монеты до первого выпадания герба. Найти:
а) ряд распределения случайной величины X , б) математическое ожидание X ,
в) математическое ожидание двоичного логарифма вероятности X .
Решение. Возможные значения случайной величины X равны 1, 2, 3,... . Для осуществления события x = n необходимо, чтобы в первых n -1 бросаниях выпадали решки, а в n-м броса-
нии выпал орел, поэтому p(x = n) = (1/ 2)n по формуле умно-
жения вероятностей независимых событий. Ряд распределения
13
дан в табл. 1.1.
Таблица 1.1
xj |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
p(xj ) |
1/2 |
1/4 |
1/8 |
1/16 |
… |
Математическое ожидание числа бросаний вычислим по формуле (1.2), положив
ϕ(x) = x, m = ∞,
M[X ]= ∑xj |
p(xj ) =1 1 |
+ 2 1 +3 1 |
+... = |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
(1+ 2 |
|
+3 |
|
|
+...) = |
|
(1+ |
|
+ |
|
+...) |
|
= |
|
|
|
|
= 2. |
|
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
4 |
|
2 |
1−0,5 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Математическое ожидание двоичного логарифма вероятности X также вычисляем по формуле (1.2), положив
ϕ(x) = log2 p(x) , т. е.
M[log2 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(X )]= ∑log2 |
p(xj ) p(xj ) = |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
+... = −1 |
1 |
−2 |
1 |
−3 |
1 |
−... = −2. |
= log2 |
|
2 |
+ log2 |
|
4 |
2 |
4 |
8 |
||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1.2. По двоичному каналу связи с помехами (рис. |
||||||||||||||
1.3) передаются сообщения x1 и x2 с априорными вероятностя- |
||||||||||||||
ми p(x1) = 0,4 и |
p(x2 ) = 0,6 . Влияние помех описывается пе- |
|||
реходными вероятностями: |
|
|
|
|
p(y1 / x1) = 0,75, |
p(y2 / x1) = 0,25 , |
|
||
p(y1 / x2 ) = 0,5, |
p(y2 / x2 ) = 0,5 . |
|
||
|
Найти: а) безусловные вероятности |
|||
|
сигналов на выходе канала; |
|
||
|
б) |
наиболее |
вероятное |
значение |
|
X , если y = y1 ; |
|
|
|
|
в) |
наиболее |
вероятное |
значение |
Рис. 1.3 |
X , если y = y2 . |
|
|
|
Решение. Совместные вероятности |
||||
14
сообщения X и сигнала Y вычисляем по формуле умножения вероятностей (1.5):
p(x1, y1) = p(x1) p(y1 / x1) =
0,4 0,75 = 0,3,
p(x1, y2 ) = 0,4 0,25 = 0,1, p(x2 , y1) = 0,6 0,5 = 0,3 ,
p(x2 , y2 ) = 0,6 0,5 = 0,3 .
Безусловные вероятности сигналов на выходе канала вычислим по формуле полной вероятности (1.3):
p(y1) = p(x1, y1) + p(x2 , y1) = 0,3 +0,3 = 0,6,
p(y2 ) = p(x1, y2 ) + p(x2 , y2 ) = 0,1+0,3 = 0,4 =1− p(y1) .
Условные вероятности сообщений на входе находим по формуле Байеса (1.4):
p(x / y ) = |
p(x1, y1) |
= 0,3 = 0,5 , |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
p(y1) |
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p(x / y ) = 0,3 = 0,5 =1− p(x / y ) , |
||||||||||||
2 |
|
1 |
|
0,6 |
|
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p(x / y |
2 |
) = |
p(x1, y2 ) |
|
= 0,1 = 0,25 , |
|||||||
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
p(y2 ) |
0,4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p(x / y |
2 |
) = 0,3 = 0,75 =1− p(x / y |
2 |
) . |
||||||||
2 |
|
|
|
0,4 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сравнив p(x1 / y2 ) и p(x2 / y2 ) , видим, |
что если принят |
|||||||||||
сигнал y2 , то более вероятно, что было передано сообщение x2 . Сигнал y1 мог быть с одинаковой вероятностью вызван сооб-
щениями x1 и x2 .
Пример 1.3. Сигнал Y (t) на выходе непрерывного канала связи выражается через входной сигнал X (t) соотношением Y (t) = X (t) + Z(t) , где Z(t) – аддитивный нормальный стационарный белый шум с односторонней спектральной плотностью N0 =10−18 Вт/Гц, ограниченный полосой от 0 до FB =10 МГц. Суммарная мощность составляющих в спектре сигнала X (t) ,
15
лежащих вне указанной полосы, пренебрежимо мала. Осуществить квантование по времени сигнала Y (t) на ин-
тервале от 0 до T =10−4 секунды. Для конкретной реализации входного сигнала (в вольтах)
x(t) = |
10−6 |
1+105 (t −5 10−5 )2 |
найти для квантованного сигнала:
а) вектор условных математических ожиданий; б) условную корреляционную матрицу;
в) условную плотность вероятности квантованного сигнала на выходе.
Решение. Чтобы осуществить квантование непрерывного по времени сигнала Y (t) , необходимо взять его отсчеты
Y (1) ,Y (2) ,...,Y (n) |
в |
моменты |
времени |
tk = k∆t , |
k =1,2,..., n , где |
T ∆t ≤ n <T ∆t +1. |
|
|
|
Верхняя граничная частота суммы сигнала с шумом равна FB , поэтому шаг квантования определяется в соответствии с теоремой Котельникова
∆t = 21FB = 2 101 7 c = 0,05 мкс.
Требуемое число отсчетов равно n =10−4 2 107 = 2000 . Каждый отсчет сигналаY (k ) =Y (tk ) является суммой двух
величин
Y (k ) = X (k ) + Z (k ) ,
где X (k ) = X (tk ) - отсчет сообщения;
Z (k ) = Z(tk ) - отсчет шума.
Вектор условных математических ожиданий сигнала состоит из следующих элементов
m(k ) = M Y (k ) / x(k ) = x(k ) + M Z (k ) = x(k ) =
10−6
1+105 (5 10−8 k −5 10−5 )2