Материал: 6593

176

В связи с п отерей некоторых требований нагрузка, обслуженная каждым прибором, несколько меньше поступающей нагрузки и равна

Более реалистический вариант системы с потерями – это

система с повторными вызовами, когда все заблокированные вызовы в очередь не ставятся, но абоненты делают многократные повторные попытки до тех пор, пока не получат обслуживания.

Обычно вероятность блокировки невелика (В<<1), поэтому хорошая точность получается уже после первого приближения

откуда видно, что повторные вызовы не сильно увеличивают нагрузку, так как (1− B) ≈1. Итак, Br определяем из (8.7) с ис-

пользованием (8.9).

В системе с ожиданием избыточный трафик помещается в очередь и сохраняется до начала обслуживания.

Вероятность того, что вызов сталкивается с перегрузкой системы и, следовательно, помещается в очередь, также была определена Эрлангом

где В – вероятность блокировки в системе с явными потерями

(8.7).

Вероятность того, что вызов, оказавшийся в очереди, ждет начала обслуживания не более времени t, равна

где τ – средняя длительность обслуживания (не ожидания). Отсюда видно, что среднее время ожидания в очереди равно

177

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ Пример 9.1.. Девять компьютеров расположены в узлах

квадратной решетки с шагом 5 м. Найти минимальную суммарную протяженность линий, если используется сеть топологии:

а) общая шина; б) звезда; в) полносвязная.

Решение. а) В сети топологии “общая шина” необходимо иметь 8 линий по 5 метров, то есть суммарная протяженность линий равна 40 метров.

б) В сети топологии “звезда” узел располагается в центре и

необходимо иметь 4 линии по 5 метров и 4 линии по 52 метров, то есть суммарная протяженность линий равна 48,5 м.

в) В полносвязной сети имеется C92 = 36 линий. Их суммарная протяженность равна

L = 5(12 1+8 2 +8 5 +6 2 + 2 22 )= 294,3 ì .

Пример 9.2. Определить общее количество линий в полносвязной сети, обслуживающей 1000 абонентов.

Пример 9.3. Локальная сеть имеет топологию “общая шина” и обслуживает 50 абонентов. Каждый абонент отправляет в среднем 100 пакетов в час через случайные интервалы времени, при этом средний размер пакета составляет 300 байтов. Пропускная способность общей шины составляет 100 Мбит/с. Найти вероятность того, что в случайно выбранный момент времени шина окажется свободной.

Решение. Абонент отправляет в час 100·300·8 = 240 кбит в среднем и занимает шину на 240/100000 = 0,0024 часа. Вероятность того, что в случайно выбранный момент времени он ее не занимает, равна 0,9976. Вероятность того, что ни один из 50 абонентов ее не занимает, находим по формуле умножения ве-

роятностей Р = 0,997650 = 0,887.

178

Пример 9.4. АТС предприятия обслуживает М абонентов и имеет N-канальный выход на городскую телефонную сеть. Каждый абонент предприятия делает в среднем 1,2 исходящих звонка в час абонентам городской телефонной сети (входящие звонки исключены), при этом средняя продолжительность разговора составляет 2,7 минуты. Если не удается связаться с первой попытки, абонент звонит по сотовому телефону.

Рассматриваются два варианта:

а) М = 30, N = 2;

б) М = 90, N = 6.

Для обоих вариантов найти:

1)нагрузку, создаваемую одним абонентом;

2)общую нагрузку;

3)общее среднее количество требований на обслуживание в

час;

4) среднюю интенсивность поступающих от абонента вызо-

вов;

5)общую среднюю интенсивность вызовов, поступающих на АТС;

6)вероятность блокировки в системе;

7)среднюю величину нагрузки, приходящейся на один ка-

нал.

Решение. Нагрузка, создаваемая одним абонентом, измеряется в эрлангах. Она в обоих случаях одинакова и в соответ-

ствии с формулой (7.4) [2] равна

A1 = CT1τ = 1,2602,7 = 0,054 Эрл.

Одинакова и средняя интенсивность поступающих от абонента вызовов λ1 = C1 T =1,2 / 60 = 0,02 мин-1.

Общая нагрузка в обоих случаях разная. Она вычисляется по формуле (7.5) [2] и равна соответственно Аа = 1,62 Эрл и

Аб = 4,86 Эрл.

Общее среднее количество требований на обслуживание в час равно Са = С1М =1,2·30 = 36 час–1 и Сб = 1,2·90 = 108 час–1.

Общая средняя интенсивность вызовов, поступающих на АТС, равна соответственно λа = Са/Т =0,6 мин–1 и λб = 1,8 мин–1.

179

Описанная система является системой с явными потерями, поэтому вероятность блокировки находим по формуле (7.10) [2], и тогда

Видно, что при увеличении размеров сети качество обслуживания улучшилось.

Нагрузку, приходящуюся на один канал, находим по фор-

муле (7.11) [2]

Aoа / Nа = Aа (1− Bа ) / Nа =1,62(1−0,334) / 2 = 0,539 Эрл/канал, Aoб / Nб = 4,86(1−0,181) / 6 = 0,663 Эрл/канал.

Во втором случае канал обслуживает большую часть поступающей нагрузки за счет того, что теряется меньше вызовов.

Пример 9.5. В условиях примера 9.4 полагаем, что абоненты, не обслуженные сразу, ставятся в очередь, причем длина очереди не ограничена.

Для обоих вариантов найти:

1)среднее время ожидания в очереди для абонентов, оказавшихся в ней;

2)вероятность того, что время ожидания в очереди не превысит 10 минут.

Решение. Среднее время ожидания в очереди находим по формуле (7.16) [2] τî ÷ =τ(N − A) и получаем

Вероятность того, что время ожидания в очереди tоч не превысит t = 10 минут, находим по формуле (7.15) [2]

180

чае.

ЗАДАЧИ 8.1. Закрытая сеть предприятия обслуживает 100 абонен-

тов, каждый из которых в час наибольшей нагрузки совершает в среднем 3,3 исходящих звонка продолжительностью в 1,2 мин каждый. АТС предприятия способна одновременно поддерживать не более N соединений. Найти минимальное значение N, при котором вероятность блокировки не превышает 0,05.