Материал: 4785

36

7x 15

=

dx

x3 2x2 3x

5

dx

3

dx

2

dx

5ln

x

3ln

x 3

2ln

x 1

C .

x

x 3

x 1

Пользуясь правилом

f kx b dx

1

F kx b C ,

k

табличным интегралом 1) и формулой Ньютона-Лейбница, получаем:

7

3x

2

2

2

dx

2

1

2

1

= 7 3x 3 dx

3x

3

6 7

3x

2

1 7

1

3

2

1

1

1

1

1

1

1

1

5

1

.

6 7

3 2

2

6 7

3

1

2

6

2

6

4

6

16

32

4

2.

x cos 2x dx .

Интегрируя по частям, получаем:

0

b

b

udv uv

ba vdu

a

a

4 x cos 2x dx =

u x

dv cos 2xdx

=

x

sin 2x

4

1

4 sin 2xdx

0

1

2

0

2

0

du dx

v

sin 2x

2

4

1

4

1

1

sin

2

0

cos 2x

sin

cos

cos 0

=

2

4

4

0

8

2

4

2

4

1

0

1

1

2 .

8

4

4

8

e

3.

ln3 x dx

.

Пользуясь

формулой

замены переменной в

1

x

определённом интеграле и учитывая, что ln1 0

и ln e 1,получаем:

e

ln3 x dx

ln x t

1

t4

1

1

0

1

=

dx

= t3dt

.

dt

1

x

0

4

0

4

4

4

x

12

x

e4

dx =

4.

3

9

3 e4

x

12

3 e4 4 e4 3 3 e0 e1 3 1 e 3 e 1 .

3

9

При вычислении интеграла воспользовались 3-им правилом

интегрирования и табличным интегралом 4).

Задача № 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

y x2 3x 5;

y x 2.

x1 3;

x2 1.

b

S f2 (x) f1(x) dx ,

a

где

f

2

(x) x 2,

f (x) x2

3x 5, следовательно,

1

1

1

3

1

S

x 2 x2 3x 5 dx x2 2x 3 dx

x

x2

3x

3

3

3

3

( 3)3

1

2

1

2

1 3

( 3)

3 ( 3)

2

9 9

9 10

.

3

3

3

3

Задача № 5.

Вычислить объём тела, полученного при вращении

вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

2

2

x

y

1,

x 6.

2

2

3

2

6

4

2

4

x3

6

4

63

VOx

3

x

4

dx

4x

4 6

9

9

3

3

9

3

3

4

3

4 3 8 8 16 (куб. ед.)

9

3

6

4 9 x2 dx,

n 8.

2

Разобьём отрезок интегрирования

[–2;6]

на 8

равных частей с шагом

h

6 ( 2)

1 точками x 2, x

1, x

0,

x 1,

x

2,

x 3,

8

0

1

2

3

4

5

x6 4,

x7 5,

x8 6 .

Вычислим значения

функции

y 4 9 x2

в

этих

точках:

yi y(xi ), i 0;8.

Запишем результаты вычислений в таблицу:

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

xi

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

yi

1,899

1,778

1,732

1,778

1,899

2,060

2,236

2,415

2,590

b

y0

... y7 ,

y(x) dx h

y1

y2

a

b

y1

... y8 .

y(x) dx h

y2 y3

a

Формула трапеций:

b

y

y

y(x) dx h

0

8

y1 y2 ... y7

.

2

a

Формула Симпсона:

b

h

y y

2

y y y

4 y y y y .

y(x) dx

3

0

8

2

4

6

1

3

5

7