Материал: 4785
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИКА
Методические указания к выполнению расчетно-графических работ
для студентов по специальности
38.05.01Экономическая безопасность
Воронеж 2019
2
УДК 517.9
Веневитина, С.С. Математика [Электронный ресурс] : методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов по специальности 38.05.01 Экономическая безопасность / С.С. Веневитина, И.В. Сапронов; М- во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2019. – 42 с.
Одобрено решением учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № _4_ от _31 мая_2019)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский
Методические указания к выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Математика» предназначены для студентов ФГБОУ ВО «Воронежский государственный лесотехнический университет», обучающихся по специальности 38.05.01 Экономическая безопасность
Дисциплина «Математика» изучается в течение двух семестров, в каждом из которых необходимо выполнить одну РГР.
Предложены несколько вариантов расчетно-графических работ по каждому из разделов «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Интегральное исчисление функции одной переменной».
В целях качественного выполнения студентами расчетно-графических работ даны необходимые рекомендации и образцы выполнения этих работ. Они будут особенно полезны при самостоятельном изучении дисциплины «Математика».
Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объёму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта соответствующей специальности.
3
Оглавление
1. РГР № 1 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»…………………………………………………………….……. 4
1.1. Теоретический материал материал…………………………………… 4
1.2.Варианты РГР…………………………………………………………… 7
1.3.Образец решения РГР………………………………………………….. 8
2. РГР № 2 «Интегральное исчисление функции
одной переменной»………………………………………………………… 15
2.1.Теоретический материал………………………………………………... 15
2.2.Варианты РГР…………………………………………………………… 18
2.3.Образец решения РГР…………………………………………………… 33
Библиографический список……………………………………………… 42
4
1.РГР №1 «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
1.1.Теоретический материал.
Правила дифференцирования:
1.(u v) u v ;
2.(u v) u v u v ;
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
C const ; |
|
|||||
(C u) |
C u |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
u |
|
u , |
|
C const ; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
C |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v u v |
|
|
|
|
|
||||||
5. |
u |
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
v |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C v |
|
|
|||
|
C |
|
C (v |
1 |
|
|
C const . |
|||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
v |
2 |
||||||||||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Производная сложной функции |
|
|
|
Если функция u (x) имеет производную u |
в точке x , а функция |
||
|
x |
|
|
y f (u) имеет производную |
y в соответствующей точке u (x) , то |
||
|
u |
|
|
сложная функция y f ( (x)) |
имеет производную y |
|
в точке x , которая |
|
|
x |
|
находится по формуле
yx yu ux .
Производные основных элементарных функций (таблица производных)
1. (xn ) n xn 1 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. (x) 1; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
; |
1 |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x2 |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
x |
x |
|
|
|
|||||
3.(a x ) a x ln a ;
4.(ex ) ex ;
5. |
|
|
1 |
; |
|
||||
(log a x) |
x ln a |
|||
|
|
|
|
6. (ln x) 1x ;
5
7.(sin x) cos x ;
8.(cos x) sin x ;
9. |
tgx |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
ctgx |
|
1 |
|
|
|
; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sin2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||
(arcsin x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
(arccos x) |
|
x2 |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
13. |
(arctg x) |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
14. |
(arctg x) |
1 |
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|||||||||||||||
Производные высших порядков
|
Производная y |
|
|
|
функции |
y f (x) |
есть также функция от x и |
||||||||||
|
|
f (x) |
|||||||||||||||
называется производной первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Если |
функция |
|
y |
|
|
|
дифференцируема, то |
ее |
|
производная |
||||||
|
|
|
f (x) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
( y ) |
( f (x)) называется производной второго порядка и обозначается |
|
|||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная |
|
от |
|
производной |
второго порядка ( y |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
) |
( f (x)) |
||||||||||||
называется производной третьего порядка и обозначается y |
|
или |
|
|
|
||||||||||||
|
f (x) . |
|
|
||||||||||||||
|
Производной |
|
n -го |
|
порядка (или n -й |
производной) |
|
называется |
|||||||||
производная от производной |
(n 1) -го порядка: |
y(n) ( y( n 1) ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Применение производной к исследованию функций
Необходимые условия возрастания (убывания) функции:
Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция f (x) возрастает (убывает), то f (x) 0, x (a,b) ( f (x) 0, x (a,b) .