Материал: 4554

26

3.Написать скрипт, рассчитывающий число перестановок, размещений, сочетаний и выборов с повторением. Для вычисления факториала используйте функцию factorial .

4.Оформить отчѐт по лабораторной работе. Раздел «Выполнение работы» содержит:

текст варианта задания на лабораторную работу;

формулы комбинаторики;

результаты расчѐтов.

Варианты заданий

Контрольные вопросы

1.Что такое комбинаторика?

2.В чѐм состоят принципы суммы и произведения?

3.Как решаются задачи при помощи формулы перестановок?

4.Как решаются задачи при помощи формулы размещений?

5.Как решаются задачи при помощи формулы сочетаний?

6.Как решаются задачи при помощи формулы выбора с повторением?

27

Лабораторная работа № 4. Параметры генеральной совокупности и выборки

Цель работы: определить параметры выборки, пригодные для оценки генеральной совокупности.

Теоретическая часть

Характеристики генеральной совокупности называются параметрами. Параметр генеральной совокупности есть фиксированное число, которое нам неизвестно, при его вычислении случайность отсутствует. Тем самым, параметр есть неизвестная и фиксированная величина.

С другой стороны, статистикой мы назвали числовую характеристику выборки. Статистика является случайной величиной, так как в ее основе лежат данные, полученные в результате случайного отбора. Тем самым, статистика является известной и случайной величиной. Статистики являются оценочными функциями параметров генеральной совокупности. Фактическое значение статистики, рассчитанное по данным выборки, назовем оценкой параметра генеральной совокупности.

Среднее определяется как среднее арифметическое выборки, то есть как сумма всех значений выборки, деленная на ее объем. Следуя определению, будем находить среднее значение по формуле

x x n

где x – сумма всех значений выборки, n – объем выборки.

Медиана является точной серединой заранее упорядоченной выборки. Обозначается Me и определяется по-разному для выборок с четным и нечетным числом элементов. Для нечетного количества наблюдений медиана есть наблюдение с номером n 1 2 . Для четного количества наблюдений медиана вычисляется как среднее значение наблюдений с номерами n2 и n 2 2 .

Размах – это разница между наибольшим и наименьшим значениями. Для нахождения размаха прежде рекомендуется упорядочить данные в порядке возрастания. Можно записать размах с помощью формулы

R xmax xmin .

28

Дисперсия для набора данных или выборки – это среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего. Дисперсия обозначается s 2 . Основная формула (по определению) для нахождения дисперсии

s 2 x x 2 .

n 1

Стандартное отклонение – квадратный корень из дисперсии выборки. Обозначается s и вычисляется по формуле

Доля – это отношение некоторого подмножества частот к общей сумме частот

P f1 n , где

f1 – одна из частот в распределении, n – общее число наблюдений.

Рассмотрим пример. Предположим, мы имеем генеральную совокупность, состоящую из чисел 1, 2 и 5.

Параметры такой генеральной совокупности Среднее значение

x 1 5 2 2,7 n 3

Медиана (число элементов – нечѐтное)

Me xn 1/ 2 x(3 1) / 2 x4 2

Размах

R xmax xmin 5 1 4

Генеральная дисперсия

Стандартное отклонение = 1,7

s s2 2,9 1,7

Доля нечетных чисел = 0,67

P nf1 23 0.7 .

29

Теперь найдѐм все возможные выборки по два элемента из генеральной совокупности (табл. 1). Их число (выбор с повторениями) составит

MN n 32 9 .

Вэтом учебном примере генеральная совокупность известна полностью.

Вреальности так почти никогда не случается. Как правило, невозможно, например, опросить всех жителей страны по некоторому вопросу. Поэтому из всей генеральной совокупности делаются выборки приемлемых размеров и оцениваются их параметры, по которым и делают статистические выводы о параметрах генеральной совокупности в целом. Не все параметры выборок совпадают с параметрами генеральной совокупности.

Поэтому найдѐм указанные выше параметры для каждой выборки, а затем посчитаем средние значения этих параметров для всех выборок. Совпадение этих средних значений с соответствующими параметрами генеральной совокупности позволит нам сделать вывод о том, какие параметры выборки могут характеризовать всю генеральную совокупность. Выполнение этих расчѐтов вручную – трудоѐмкая задача, поэтому используем среду Scilab. Результаты занесѐм в табл. 1.

Дисперсия и стандартное отклонение каждой из девяти выборок вычисляется по формулам:

Из таблицы видно, что совпадение среднего значения статистики со значением параметра генеральной совокупности происходит только для трех характеристик: среднего, дисперсии и доли. Эти три статистики могут служить оценками параметров генеральной совокупности. Три другие: медиана, размах и стандартное отклонение, как показал расчет, не могут служить оценками соответствующих параметров генеральной совокупности.

30

Порядок выполнения работы

1.Рассчитать параметры генеральной совокупности согласно своему варианту по соответствующим формулам.

2.Создать скрипт для выполнения работы и сохранить его. В первой строке написать комментарий, содержащий название работы.

3.Задать генеральную совокупность согласно своему варианту в виде матрицы.

4.Рассчитать параметры генеральной совокупности, используя функции Scilab. Проверить совпадение с результатами расчѐта в п.1.