Материал: 4553

6

A \ B {x x A и x B}.

Перечисленные операции проиллюстрируем диаграммами Эйлера – Венна (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Диаграммы Эйлера – Венна Отметим порядок выполнения операций над множествами: 1) дополнение

( ), 2) пересечение ( ), 3) объединение ( ), разность ( \ ).

Укажем основные свойства операций объединения, пересечения и дополнения:

1. Ассоциативность операций объединения и пересечения:

7. Закон двойного дополнения: A A.

Отметим еще две важные операции над множествами – декартово произведение и симметрическую разность.

7

Декартовым (прямым) произведением множеств A и B называется множество A B, состоящее из всех упорядоченных пар (x, y), где x A, y B :

A B {(x, y) x A и y B}.

Аналогично вводятся понятия декартова произведения n сомножителей и декартовой степени множества:

A1 A2 . . . An {(a1, a2, . . .,an ) a1 A1, a2 A2, . . .,an An}, A A . . . A An (для n сомножителей).

Симметрической разностью множеств A и B называется множество A B, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A\В, В\А:

A B = (A\B) (B\A).

Проиллюстрируем последнюю операцию диаграммой Эйлера – Венна

(рис. 1.2).

А В

Рис. 1.2 Диаграмма Эйлера – Венна для симметрической разности множеств

Отображение множеств

Отображением f множества X в множество Y называют правило, по которому каждому элементу x множества X поставлен в соответствие некоторый единственный элемент y множества Y. Для обозначения отображения f множества X в множество Y пользуются записью f : X Y.

Если x – элемент множества X, то соответствующий ему при отображении f : X Y элемент y множества Y называют образом элемента x при данном отображении, обозначают f(x) и пишут y = f(x). Совокупность всех тех элементов x множества X, образом которых при отображении f : X Y является данный элемент y множества Y, называют

прообразом элемента y при данном отображении и обозначают f 1(y).

8

Если А X, то совокупность всех элементов множества Y, которые при отображении f : X Y являются образами хотя бы одного элемента множества А, называют образом множества А при данном отображении и обозначают f

(A).

Если В Y, то совокупность всех тех элементов множества X, образы которых при отображении f : X Y принадлежат множеству В, называют

прообразом множества В при данном отображении и обозначают f 1 Отображение f : X Y называют инъективным, если для любых двух

различных элементов x1 и x2 множества X их образы f (x1) и f (x2 ) также различны, и сюръективным, если для каждого элемента y множества Y существует элемент x множества X такой, что y = f(x). Отображение f : X Y называется биективным (взаимно однозначным), если оно инъективно и сюръективно.

Два множества называются изоморфными (эквивалентными), если существует биективное отображение одного из них в другое.

Для сокращения записей будем пользоваться следующими специальными символами:

– «следует», «если …, то»;

– «равносильно», «тогда и только тогда, когда».

1.2. Практическая часть

Пример 1. Пусть A = {1, 3, 5, 8}, B = {2, 3, 8, 10}, C = {3, 9, 10}.

Перечислить все элементы следующих множеств:

Требуется изобразить множество A B \ C.

9

Решение. По условию множество A представляет собой прямоугольник с центром симметрии в начале системы координат, множество B – круг радиуса 5 с центром тоже в начале системы координат, множество C – левую полуплоскость координатной плоскости xOy.

Рис. 1.3.

Тогда A B – «обрезанный» прямоугольник KLST, A B \ C – множество точек, полученное удалением из A B точек полуплоскости x < 0. Искомое множество затонировано на рис. 1. 3.

Пример 3. Доказать, что A\B = A B.

Решение. Произвольный элемент x A \ B x A и x B x A и x B x A B. Доказательство завершено.

Пример 4. Упростить выражение A B A B C.

A B (A B C) = A B A A B B A B C =

= A A B A B A B C A B A B.

Итак, A B A B C = A B.

Пример 5. Пусть А = {1, 2}, B = {3, 4}. Перечислить все элементы множеств А В, В А, A2.

Решение. А В = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}, В А = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4,

2)}, A2 = A A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.

Пример 6. Пусть A = {x x [0, 1]}. Требуется изобразить множество A2.

10

Решение. A2 {(x, y) 0 x 1, 0 y 1}. Этому множеству соответствует множество точек на плоскости, имеющих неотрицательные координаты, не превосходящие единицы (рис. 1. 4).

Рис. 1.4.

Пример 7. Пусть X = {a, b, c, d}, Y = {1, 4, 8}. Рассмотрим отображения

Образы f1 (c), f1 (d) элементов c, d совпадают, поэтому отображение f1 : XY не является инъективным. Для каждого элемента множества Y существует элемент множества X, образом которого при отображении f1 : X Y является этот элемент множества Y, поэтому отображение f1 : X Y является сюръективным. Так как образы любых двух различных элементов множества Y при отображении f2 : Y X различны, то это отображение является инъективным. В множестве Y не существует элемента, образом которого при