Материал: 4553

2

УДК 519.1

Веневитина, С.С. Математика (специальные разделы). Дискретная математика [Электронный ресурс] : методические указания для самостоятельной работы студентов по направлению подготовки 15.03.04 – Автоматизация технологических процессов и производств / С.С. Веневитина, И.В. Сапронов; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2016. – 40 с.

Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (прот)

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного педагогического университета В.В. Обуховский

3

Оглавление

1.Теория множеств ……………..………………………………………………..…4

1.1.Теоретическая часть ……………………………………………………………4

1.2.Практическая часть …………………………………………………………….8

1.3.Индивидуальные задания ………………………………………………...…..10

2.Бинарные отношения …………………………………………………………...13

2.1.Теоретическая часть …………………………………………………………..13

2.2.Практическая часть …………………………………………………………...16

2.3.Индивидуальные задания …………………………………………………….20

3.Элементы математической логики …………………………………………….22

3.1.Теоретическая часть …………………………………………………………..22

3.2.Практическая часть …………………………………………………………...25

3.3.Задачи для самостоятельного решения ……………………………………...27

4.Булева алгебра …………………………………………………………………..30

4.1.Теоретическая часть …………………………………………………………..27

4.2. Практическая часть ………………………………………………………… ..36

4.3.Задачи для самостоятельного решения ……………………………………...38

Библиографический список………………………………………………………..40

4

Методические указания содержат необходимый теоретический материал и решение практических примеров, которые помогут студентам выполнить самостоятельную работу, индивидуальные задания по разделам: теория множеств, бинарные отношения, элементы математической логики и булева алгебра.

Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объѐму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта соответствующего направления подготовки.

1. Теория множеств 1.1. Теоретическая часть

Под множеством понимают совокупность различимых объектов любой природы, объединенных по какому – либо признаку, которые называют

элементами множества.

Множества принято обозначать прописными буквами А, В, С, . . . , а их элементы – малыми буквами а, b, с, . . . .

Запись а A означает, что объект а является элементом множества A (а принадлежит множеству А). Если объект b не принадлежит множеству B, то пишут b В.

Множество можно обозначить также, записав внутри фигурных скобок все его элементы или записав их свойства. Например, {2, 4, 6, . . . } – множество всех четных положительных чисел, { x x 2k 1для k } – множество всех нечетных чисел.

Множество, число элементов которого конечно, называют конечным. В противном случае множество называют бесконечным.

Бесконечные множества делятся на счетные и несчетные. Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счетным, в противном случае – несчетным.

В разделе математики, называемом дискретной математикой, рассматриваются конечные и счетные множества.

Если каждый элемент множества А есть элемент множества В, то А называют подмножеством множества В и пишут А В.

5

Если А В и В А, то множества А и В называют равными и пишут А = В, иначе пишут А В. Если А В, А В, то пишут А В.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø или V. Пустое множество считается конечным множеством и подмножеством любого множества.

Если А В, А Ø, то множество А называется собственным подмножеством множества В.

Пустое множество и множество А называются несобственными подмножествами множества А.

Множество, содержащее все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным и обозначается U.

Число всех подмножеств любого конечного множества, содержащего n элементов, равно 2n. Так, например, для множества {a1, a2, a3} всеми его подмножествами являются V, {a1}, {a2}, {a3}, {a1, a2}, {a1, a3}, {a2, a3}, {a1, a2, a3} = U.

Операции над множествами

Объединением (суммой) множеств A и B называется множество A B , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В:

A B {x x A или x B}.

В частности, A Ø = А, A U U.

Пересечением (произведением) множеств A и В называется множество A B , состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству А, так и множеству В:

A B {x x A и x B}.

В частности, A Ø = Ø, A U = A.

Дополнением множества A называется множество A , состоящее из всех элементов универсального множества U, не принадлежащих множеству А:

A {x x U и x A}.

Заметим, что A A U, A A Ø.

Разностью множеств A и В называется множество A \ B, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В: