Материал: 4-1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Полученная система эквивалентна исходной, так как обратными преобразованиями из нее можно получить исходную. Можно показать, что хотя бы один из коэффициентов a0i2 при x2 в уравнениях с номерами i = 2, 3, ..., m не равен нулю. Пусть a022 6= 0. Сделаем преобразование Гаусса-Жордана: второе уравнение разделим на a022, а затем последовательно умножим его на a0i2 и вычтем из уравнения с номером i (i=1,3,4,...,m).

Продолжая этот процесс далее, приведем систему к виду

рассматриваемых систем существует базисная система неизвестных. Такие системы всегда совместны.

Предположим для простоты, что первые неизвестные x1, x2, ..., xm образуют базисную систему. Можно показать, что хотя бы один из коэффициентов при x1 отличен от нуля. Предположим,что a11 6= 0. Преобразуем систему по методу Гаусса-Жордана: первое уравнение делим на a11, а затем последовательно умножаем его на коэффициенты ai1 и вычитаем из уравнения с номером i. Этим мы добиваемся того, что в первом уравнении при x1 получим коэффициент 1, а в остальных уравнениях членов с x1 не будет, система примет вид

+ a012x2 + ... + a01mxm + a01(m+1)xm+1 + ... + a01nxn = b01, a022x2 + ... + a02mxm + a02(m+1)xm+1 + ... + a02nxn = b02,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a0m2x2 + ... + a0mmxm + a0m(m+1)xm+1 + ... + a0mnxn = b0m.

+ h1(m+1)xm+1 + ... + h1nxn = f1, + h2(m+1)xm+1 + ... + h2nxn = f2,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xm + hm(m+1)xm+1 + ... + hmnxn = fm.

или иначе

x1 = f1 − h1(m+1)xm+1 − ... − h1nxn,

x2 = f2 − h2(m+1)xm+1 − ... − h2nxn,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xm = fm − hm(m+1)xm+1 − ... − hmnxn.

(6)

(7)

Окончательный вывод состоит в том, что методом Гаусса-Жордана систему можно разрешить относительно базисных неизвестных. Обратно: если систему удается разрешить относительно каких-то неизвестных,например, x1, x2, ..., xm, то эта система является базисной.Таким образом система неизвестных будет базисной в том и только том случае, когда систему уравнений можно разрешить относительно этих неизвестных.

Пример 1. Решить систему методом Гаусса-Жордана.

2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 0

x1 + 2x2 + 3x3 − 5x4 = 2

−3x1 − 5x2 + 2x3 + 2x4 = 2

4x1 + 3x2 − 3x3 − 2x4 = 1

Выпишем расширенную матрицу системы

1		−2		−3	−5	2
2			1	2	3	0
	3		5	2	−2	2
−		−
−		−

43 −3 −2 1

Переставим 1-ю и 2-ю строки

2		1	2	−3	0
1		2	3	5	2
	3	−5	−2	−2	2
−		−
−		−

43 −3 −2 1

Умножим 1-ю строку последовательно на (-2), 3, (-4) и сложим соответственно со 2-й, 3-ей и 4-й строками, получим

0		5 −8		−7	−4
	1	2	3	5	2
	0	−1	11	13	8
				−18
	0	5	15	−18		7
		−	−		−
		−	−		−

Переставим местами 2-ю и 3-ю строки

0	1	11	−13		8
1	2	3	−	5	2
0	5	8	−	7	4
	−5	−15 18			−7
0	−5	−15 18			−7
	−	−			−
	−	−			−

Умножим 2-ю строку на (-2), 5, 5 и сложим соответственно с 1-й, 3-ей и 4-й строками. Получим

0	1	−11	13	−	8
1	0	19	21		14
0	0	47	−58	36
			−47
0	0	40	−47	33
			−
			−

Далее, разделим 3-ю строку на 47 и получим нули в 3-м столбце

0	1	0	47	47
1	0	0	115	26
1	0	0	47	47
0	0	1	58	−36
			−27	20
0	0	0	−111	111
			47	47
			47	47
			47	47

Наконец, разделив 4-ю строку на 11147 и получив нули в 4-м столбце, приходим к матрице

0	1	0	0	1
1	0	0	0	3
0	0	1	0	−2

0	0	0	1	1

Восстановленная по последней матрице система имеет вид

x1 = 3

x2 = −1x3 = 2

x4 = 1.

Ответ: x1 = 3, x2 = −1, x3 = 2, x4 = 1.

IV. Базисные решения. Метод последовательного замещения для нахождения всех базисных решений

После приведения системы (5) к виду (7) неизвестным xm+1, ..., xn можно давать произвольные числовые значения и находить из уравнений

x1, x2, ...xm (поэтому неизвестные xm+1, ..., xn и называются свободными). Отсюда видно, что наша система имеет бесчисленное множество решений. Из них выделяется одно, для которого все свободные неизвестные равны нулю: xm+1 = 0, ..., xn = 0. Тогда x1 = f1, x2 = f2, ..., xm = fm. Полученное решение называется базисным. Итак, каждой базисной системе неизвестных отвечает одно базисное решение, для которого значения свободных неизвестных равны нулю.

Базисное решение называется невырожденным, если значения всех базисных неизвестных отличны от нуля: f1 6= 0, f2 6= 0, ...fm 6= 0. В противном случае базисное решение называется вырожденным.

Система уравнений (5) имеет лишь конечное число базисных решений. Действительно, число таких решений не превосходит числа базисных систем неизвестных, а последнее - числа всех возможных комбинаций из n неизвестных x1, x2, ..., xn по m, то есть Cnm. Итак, система (5) имеет не более Cnm базисных решений.

Пример 2. Найти одно базисное решение системы уравнений

2x1		− x2	+ x3	+ 3x4	= 0,
	x1		+ x3	+ 4x4	= 2,
	2x1 + x2 + x3 + 7x4 = 2.

Выпишем расширенную матрицу системы

2	−1	1	3	0	.
1	0	1	4	2

21 1 7 2

Прибавляя ко второй строке третью, получим


1	0	1	4	2
2	1	1	7	2 .
4	0	2	10	2

Умножим первую строку на (-4), а затем на (-2) и сложим соответственно со второй и третьей строками

0	0	−2	−6	−6 .
1	0	1	4		2
0	1	1	1			2
		−	−		−
		−	−		−

Поделим вторую строку на (-2)

0	0	1	3	3		.
1	0	1	4	2
0	1	1	1		2
		−	−	−
		−	−	−

Прибавим к третьей строке вторую и к первой вторую, умноженную на (-1), тогда матрица примет вид

		0	0	1	3	−3		.
		1	0	0	1	1
		0	1	0	2	1



Восстановленная по матрице система имеет вид
				x3	+ 3x4		= −3,
	x1				+ x4		=		1,
		x2 +			+2x4 =				1,
или
				x3	=	3	3x4,
	x1				=	−1 − x4			,
		x2			=	1 −	2x4.
						−

Так как система разрешена относительно неизвестных x1, x2, x3, то эти неизвестные базисные. Давая свободной неизвестной x4 значение нуль, получим базисное решение системы (-1, 1, 3, 0).

Для нахождения различных базисных решений не нужно каждый раз заново решать систему (5) относительно базисных неизвестных. Достаточно применить метод последовательного замещения неизвестных. Пусть мы нашли базисную систему неизвестных и решили систему (5) относительно этих неизвестных, то есть привели ее к виду (6). Предположим, что теперь мы хотим вывести из числа базисных неизвестную xr и ввести xs. Это можно сделать с помощью одного шага метода Гаусса-Жордана, если коэффициент hrs 6= 0. Делим r − e уравнение системы (6) на hrs, а затем последовательно умножаем его на his и вычитаем из уравнения с номером i. В результате получим:

	.x1.+.h10.rx.r	.+.h1(0.m.+1.xm.		+1. .+ .....+ 0 · xs + ... + h10	nxn = f10,
hrr0 xr + hr0		(m+1)xm+1 + ... + xs + ... + hrn0 xn = fr0,				(8)


. . . . . . . . . . . . . . .

hmr0 xr + xm + hm0			(m+1)xm+1 + ... + 0 · xs + ... + hmn0			xn = fm0 .

Система (8) уже будет разрешена относительно переменных x1, ..., xr−1, xs, xr+1, ..., xm. Таким образом с помощью одного шага

преобразований Гаусса-Жордана мы переходим от одного базисного решения

кдругому и можем перебрать все базисные решения.

Вописанном преобразовании s− тый столбец, r−тая строка и коэффициент hrs называются ключевыми.

Если коэффициент hrs = 0, то можно показать, что система x1, ..., xr−1, xs, xr+1, ..., xm не является базисной.

Итак, для перехода от одного базисного решения к другому за ключевой можно принимать любой коэффициент hrs 6= 0.

Выпишем формулы перехода от системы (6) к системе (8):

hrj

hrj0

, fr0

, hij0

= hij −

his, fi0

= fi −

his (i 6= r) (9)

hrs

Пример 3. Найти все базисные решения системы линейных уравнений

2x1		− x2	+ x3	+ 3x4	= 0,
	x1		+ x3	+ 4x4	= 2,
	2x1 + x2 + x3 + 7x4 = 2.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия