подобластей. «вырезая» кусок несовместимости, и ставить несколько планов экспериментов.
Требование № 2.
При планировании также важна независимость факторов, т. е. возможность установления факторов на каком-либо уровне вне зависимости от значений уровней других факторов. Иначе это требование называют требованием отсутствия корреляции между факторами. Если между факторами наблюдается зависимость среднего или высокого уровня, один из двух факторов не принимают в рассмотрение.
1.5. Выбор модели эксперимента
Нередко при построении модели приходиться принимать решение о выборе самого объекта, а именно, какие его характеристики и поведенческие функции следует учитывать, а какие не вписываются в рамки поставленной задачи. В планировании эксперимента любого исследователя, прежде всего интересует как поведѐт себя система, если на неѐ подействовать определѐнным образом. При этом ни одного из экспериментаторов абсолютно не интересует, что при этом «чувствует» сама система. Модели подобного рода, когда рассматривается только влияние на объект и его ответ на это влияние без учета внутренних процессов объекта, часто представляются так называемым черным
ящиком.
Как же найти те оптимальные условия эксперимента, которые нас интересуют? Причѐм было бы неплохо, если бы этот поиск не требовал особых затрат. В этом случае мы прибегаем к математической модели эксперимента, с помощью которой можно предсказывать отклик системы в тех состояниях, которые экспериментально не изучались. В этом случае появляется возможность прогнозирования результатов эксперимента в точках, являющихся оптимальными в рамках поставленной задачи. И здесь мы переходим к пошаговому принципу.
Однако, прежде, чем приступить к моделированию, необходимо определиться с основными требованиями к поверхности отклика, на основе которой мы и собираемся делать прогнозы.
Требование № 1.
11
Непрерывность поверхности - если в какой-либо точке факторного пространства функция отклика терпит разрыв, нет никакой гарантии, что при реальном осуществлении эксперимента данное состояние, либо вообще невозможно, либо привлечѐт к фатальным последствиям. При выборе большого шага перебора уровней факторов можно просто не заметить этот разрыв, «перешагнув» через него, однако вероятность попадания в эту критическую область на практике довольно-таки велика, и результат будет самым непредсказуемым.
Требование № 2.
Гладкость поверхности отклика (соображения те же, что и в предыдущем пункте).
Требование № 3.
Наличие единственного оптимума. Данное требование, пожалуй, одно из самых важных. При планировании эксперимента поиск оптимума может вестись в разных направлениях - и вправо, и влево. Если оптимумов несколько, да они и неравномерны, нет никакой гарантии, что наткнувшись на один из них, мы посчитаем данный оптимум именно тем решением, который мы ищем, в то время, как это предположение неверно. Если же оптимум будет единственным, неважно с какой стороны мы будем к нему приближаться.
1.6. Принятие решения перед планированием
Подытоживая все выше сказанное, отмечу, что прежде чем заниматься планированием эксперимента, необходимо определиться с некоторыми вопросами.
1.Во-первых, следует точно определиться с понятием объекта исследования, дав ему точное формальное определение.
2.Во-вторых, прежде чем приступить к эксперименту, необходимо однозначно и непротиворечиво сформулировать цель эксперимента, определиться с параметрами оптимизации. Параметр оптимизации должен быть единственным, хотя он и может принимать различные значения.
3.В-третьих, необходимо определиться с факторами, влияющими на ход эксперимента и с тем, какие значения принимают эти факторы. Влияющих факторов, вообще говоря, может быть
12
сколько угодно, при этом каждый из них может принимать бесконечное число значений. Однако не следует забывать, что в зависимости от числа факторов и их уровней катастрофически растѐт и число экспериментов. Выбирая, скажем, порядка двадцати факторов, каждый из которых имеет, например, по два уровня, мы можем обречь себя на долгие годы «мучений».
4.В-четвѐртых, необходимо озадачитьс поиском области проведения эксперимента. И здесь должны учитываться следующие соображения.
а) прежде всего, необходимо оценить границы областей определения факторов. При выборе границ учитываются ограничения нескольких типов: принципиальные ограничения; технико-экономические ограничения; конкретные условия проведения процесса (наиболее часто встречающийся тип ограничений).
Таким образом, выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации.
б) на втором этапе необходимо найти локальную область для планирования эксперимента. Данная процедура включает в себя два этапа: выбор основного условия; выбор интервалов варьирования.
Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень, а вычитание - нижний уровень.
5.И, наконец, необходимо помнить, что для грамотного исследователя является главной целью не поиск материальных благ, приобретаемых при оптимизации процесса, а построение математической модели объекта исследования, представляющей собой математическое уравнение, связывающее параметр оптимизации и факторы, т.е. функции отклика. Наличие функции отклика «под рукой» поможет в дальнейшем решать новые задачи с наименьшими затратами по исследованию объекта.
13
ЛЕКЦИЯ 2.
Статистическая проверка статистических гипотез.
2.1.Статистические гипотезы.
2.2.Виды ошибок при выдвижении статистических гипотез.
2.3.Статистические критерии.
2.4.Виды критериев согласия и области их применения
2.1. Статистические гипотезы Гипотеза – это научно обоснованное высказывание вероятностного
характера о сущности изучаемых явлений действительности. Гипотеза - это всегда утверждение.
Если гипотеза подтвердилась, то ее принимают, если не подтвердилась, то отвергают. Принятая гипотеза может в последующем при соответствующих дополнительных доказательствах ее жизнеспособности и плодотворности преобразоваться в теорию. Выдвинутая до эмпирического исследования гипотеза обычно называется исследовательской или рабочей. Рабочая гипотеза дает первый, предварительный проект решения проблемы.
Взависимости от логического пути развития гипотезы различают: гипотезы индуктивные и дедуктивные. Первые рождаются из наблюдения за отдельными фактами, вторые – выводятся из уже известных отношений или теорий.
Вматематической статистике различают нулевую и альтернативную
(т.е. исследовательскую) гипотезы.
Нулевая гипотеза (нуль гипотеза)— гипотеза, подлежащая проверке, гипотеза, которая проверяется на согласованность с имеющимися выборочными (эмпирическими) данными.
Альтернативная гипотеза – каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой.
Нулевую гипотезу обозначают Н0, альтернативную – Н1.
Вформализованном виде данные гипотезы примут следующий вид:
Н0 : μ = μ0 Н1 : μ ≠ μ0
где μ – неизвестное среднее значение генеральной совокупности (которое нас интересует); μ0 – заданное значение, в отношении которого проверяют
14
гипотезу; Х – среднее значение выборки (случайная величина), которое представляет μ.
Нулевая и исследовательская гипотезы взаимно исключают друг друга. Доказывать необходимо именно исследовательскую гипотезу, при этом, если доказательств окажется недостаточно, то принимается нулевая гипотеза. В процессе принятияотвержения гипотез возможны ошибки двух родов.
Ошибка первого рода состоит в том, нулевая гипотеза отвергается, то есть принимается гипотеза Н1 , в то время как в действительности верна гипотеза Н0 .Т.е. ошибка первого рода: мы отклоняем гипотезу, когда она выполняется.
Ошибка второго рода состоит в том, что принимается гипотеза Н0 , а в действительности верна гипотеза Н1. Т.е. ошибка второго рода: мы принимаем гипотезу, когда она не выполняется.
Для любой заданной критической области будем обозначать через
вероятность ошибки первого рода, а через - вероятность ошибки второго рода. Следовательно, можно сказать, что при большом количестве выборок доля ложных заключений равна , если верна гипотеза Н0 , и , если верна гипотеза Н1. При фиксированном объѐме выборки выбор критической области W позволяет сделать как угодно малой либо , либо .
Часто в качестве нулевой гипотезы Н0 выступают гипотезы об отсутствии взаимосвязи или корреляции между исследуемыми переменными, об отсутствии различий (однородности) в распределениях (параметрах распределений) двух и/или более выборках. Поэтому статистическая гипотеза – любое предположение, касающееся неизвестного распределения случайных величин (элементов).
Примеры формулировки нескольких статистических гипотез:
1.Результаты наблюдений имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием.
2.Результаты наблюдений имеют функцию распределения N(0,1).
3.Результаты наблюдений имеют нормальное распределение.
4.Результаты наблюдений в двух независимых выборках имеют одно
ито же нормальное распределение.
5.Результаты наблюдений в двух независимых выборках имеют одно
ито же распределение.
15