Материал: 3
Свойства векторного произведения векторов:
[a, b] [b, a] (антикоммутативность); |
(4) |
[a b, c] [a, c] [b, c] (дистрибутивность); |
(5) |
[ a,b] [a,b] ( ). |
(6) |
Совокупность свойств (5) и (6) называется линейностью векторного произведения векторов по первому аргументу. Имеет место также линейность по второму аргументу:
[a, b c] [a, b] [a, c], |
[a, b] [a, b]. |
(7) |
Условие коллинеарности векторов
a, b коллинеарны [a, b] 0;
Выражение векторного произведения через координаты векторов
|
|
Пусть a (a1; a2 ; a3 ), |
b (b1; b2 ; b3 ) – векторы, заданные своими координатами в |
|||||
прямоугольной системе координат, и i, j, k – правая тройка. Тогда: |
||||||||
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a, b |
|
a |
a |
|
a |
. |
(8) |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
b1 |
b2 |
b3 |
|
|
|
Если раскрыть определитель, то получится:
[a, b] (a2b3 a3b2 )i (a3b1 |
a1b3 ) j (a1b2 a2b1)k. |
(9) |
||||||||||||
Или, что тоже самое: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a, b |
|
|
a |
a |
|
a |
a |
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
3 |
; |
1 |
3 |
; |
1 |
2 |
|
. |
|
||
|
|
|
|
b2 |
b3 |
|
b1 |
b3 |
|
b1 |
b2 |
|
|
|
Замечание. Для левой системы координат в формуле векторного произведения правую часть равенства следует умножить на ( 1).
Упражнение 3.14.
Найти векторное произведение векторов и с помощью определителя третьего порядка см формулу (8) и проверить решение стандартной функцией cross(a,b)
>>a=[1,2,0];b=[2,1,0];
>>syms i j k
16
>> [i,j,k;a;b]
ans =
[ i, j, k] [ 1, 2, 0] [ 2, 1, 0]
Вычислить определитель полученной матрицы разложением по первой строке, обращаясь индексами к элементам матрицы.
>>
Проверяем себя стандартными функциями det() и cross(a,b)
>> VECTab=det([i,j,k;a;b])
VECTab =
-3*k
>> cross(a,b)
ans =
0 0 -3
Упражнение 3.15.
Найти все векторы, перпендикулярные векторам a ( 1; 3; 2) и b (3; 2; 2).
Упражнение 3.16. Упростить выражение |
a 2b, a 2b |
. Затем найти скалярное |
|
|
|
|
|
произведение тех же векторов.
>> syms a1 a2 a3 b1 b2 b3
17
>>a=[a1 a2 a3];b=[b1 b2 b3];
>>ans1= cross(a,b)
>>ans2=cross(a+2*b,a-2*b)
>>simplify(ans2)
>>ans2./ans1
>>simplify(ans)
ans =
[ -4, -4, -4]
Вывод
Вывод. Скалярное произведение тех же векторов преобразуется к совершенно иному виду, а именно, .
Упражнение 3.17.
Найти векторное произведение векторов и . Изобразить все данные и результат. Первый вектор изобразить синим, второй зеленым, результат красным. Сделать выводы: как связаны определение векторного произведения и то, что мы получили на рисунке.
>> a=[1,2,0];b=[2,1,0]; |
// Задаем векторы |
>> c=cross(a,b) |
// Находим векторное произведение |
c =
0 0 -3 |
// Нашли векторное произведение. |
>>grid on, hold on
>>xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
18
>>axis square
>>line([-5 0 0;5 0 0], [0 -5 0;0 5 0],[0 0 -5;0 0 5],'Color','black')
>>box on
>> line([0 1],[0,2],'LineWidth',2) //первый вектор |
, по умолчанию цвет синий |
|||
>> plot3(1,2,0,'>','LineWidth',2)//конец вектора |
, по умолчанию цвет синий |
|
||
>> line([0 2],[0,1],'Color','green','LineWidth',2) |
|
|
// второй вектор |
. |
>> plot3(2,1,0,'>g','LineWidth',2) |
|
|
// конец вектора |
|
>> line([0 0],[0,0],[0 -3],'Color','red','LineWidth',2) |
|
// результат векторного произведения |
||
>> plot3(0,0,-3,'>r','LineWidth',2) |
|
// конец вектора |
|
|
>> plot3(5,0,0,'<k','LineWidth',2) |
|
|
// направление оси 0X |
|
>> plot3(0,5,0,'<k','LineWidth',2) |
// направление оси 0Y |
|
||
>> plot3(0,0,5,'<k','LineWidth',2) |
// направление оси 0Z |
|
||
>> text(4.5,-0.5,0.8,'X') |
// подпись оси 0X |
>> text(-0.5,4.5,0.8,'Y') |
// подпись оси 0X |
>> text(-0.5,-1,4.5,'Z') |
// подпись оси 0Z |
// Как только появится графическое окно “Figure 1”, с помощью стрелочки “Rotate3D” (c панели инструментов), разворачиваем плоскую картинку в объемную и поворачиваем изображение так как, мы обычно рисуем на бумаге.
19
Немного повозившись можно сделать так:
Выводы: Синий вектор |
, зеленый вектор |
и красный вектор |
|||
|
|
|
|
||
образуют правую тройку. Вектор |
перпендикулярен |
плоскости векторов |
и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
С длиной вектора дело обстоит сложнее.
Найдем длину вектора . В данном случае очевидно, что длина вектора равна 3.
Изобразим параллелограмм, натянутый на векторы и .
Еще раз напишем, что
длина вектора равна площади желтого параллелограмма
Изобразим плоскость желтого параллелограмма:
>>x1=0:0.1:1.9;y1=0:0.05:0.95;x2=1:0.1:2.9;y2=2:0.05:2.95;
>>line([x1; x2],[y1; y2],'Color','yellow','LineWit')
Изучите внимательно как здесь мы работаем с функцией line.
Далее можно повозиться с рисунком с помощью инструментов графического окна. Здесь рисунок повернут так, чтобы красный вектор смотрел вверх. На этом рисунке еще более очевидно, что синий, зеленый и красный векторы образуют правую тройку.
20