Материал: 258
факторного показателя У; Y – среднее значение факторного показателя
У; n – число наблюдений.
Средние квадратические отклонения факторного и результативного показателей определяются по формулам
|
|
n |
_ |
|
|
|
δ x |
= |
∑ |
( xi − x )2 |
, |
|
|
i =1 |
n |
|
(4) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
_ |
|
|
|
δy |
= |
∑( yi − y)2 |
, |
|
|
|
i=1 |
n |
|
(5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
где δ х – среднее квадратическое отклонение факторного показателя Х;
δу – среднее квадратическое отклонение факторного показателя У; хi –
значения факторного показателя Х.
Нормированные отклонения факторного и результативного показателей определяем по формулам
t
t
xi
yi
|
|
|
|
_ |
|
|
|
= |
|
x i |
− |
x |
|
, |
(6) |
|
t x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
|
= |
|
y i |
− |
y |
, |
|
(7) |
|
t y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициент корреляции может быть представлен как среднее значение произведений нормированных отклонений (tx , ty)
R = |
∑n |
t xi • t yi |
. |
|
i =1 |
|
8) |
||
|
n |
|||
|
|
|
|
Корреляционное отношение (коэффициент корреляции) даёт количественную оценку тесноты связи, характеризует силу влияния факторных признаков на результативные.
Если коэффициент корреляции возвести в квадрат, то получим коэффициент (индекс) детерминации d, который показывает, чему равна доля
влияния изучаемого фактора на результативный показатель.
d=R2 • 100 % . (9)
При значениях тесноты связи меньше 0,7 величина индекса детерминации d всегда будет меньше 50 %. Это означает, что на долю вариации
10
факторного показателя Х приходится меньшая доля по сравнению с другими признаками, влияющими на изменение результативного показателя
У.
Если значения показателей тесноты связи (R и η) более 0,7, то выбирается уравнение регрессии, с помощью которого описывается форма связи между показателями Х и У.
Прямолинейное уравнение регрессии показывает равномерное нарастание результативного признака с увеличением факторного
Ух = а + bХ . (10)
Коэффициент регрессии b несёт основную смысловую нагрузку в уравнении регрессии. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменяется результативный признак У с изменением на одну единицу факторного признака Х. Коэффициент b на графике показывает угол наклона прямой, коэффициент d – начальную ординату, т.е. расстояние от начала координат до пересечения прямой с осью у.
Значения коэффициентов а и b определяются методом наименьших квадратов на основании следующей системы уравнений:
|
n |
|
n |
|
n •a +b •∑xi = ∑yi , |
|
|||
|
i=1 |
|
i=1 |
(11) |
|
n |
n |
n |
|
a •∑xi +b •∑xi2 = ∑yi •xi . |
|
|||
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
Криволинейная форма связи может быть представлена уравнением гиперболы, параболы, логарифмической функцией и т.д. Параболическая форма связи может описываться параболическим уравнением, например параболой 2-го порядка:
Ух=a+bX+cX2. |
(12) |
Расчёт коэффициентов а, b, с находится также на основе принципа наименьших квадратов, т.е. коэффициенты а, b, с определяем, решая следующую систему уравнений:
|
|
n |
n |
n |
|
|
a •n +b •∑xi +c •∑= ∑yi , |
|
|||||
|
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
|
n |
n |
|
n |
n |
|
a •∑xi |
+b •∑xi2 +c •∑xi3 |
= ∑xi • yi , |
(13) |
|||
|
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
|
|
n |
n |
|
n |
n |
|
a •∑xi2 +b •∑xi3 +c •∑xi4 = ∑xi2 • yi . |
|
|||||
|
i=1 |
i=1 |
|
i=1 |
i=1 |
|
11
5.2. Второе задание
Задача
За последние три месяца в фирменном магазине «Атлант» по продаже холодильников наметился спад объема продаж и, как следствие, объема прибыли.
Директором магазина был принят ряд мер, направленных на увеличение объема продаж (реклама, сервисное обслуживание, различные методы стимулирования сбыта).
Необходимо определить, способствовали ли меры увеличению объема продаж, т.е. существует ли связь между объемом продаж магазина каждый месяц и временем, в течение которого продаются холодильники.
Исходные данные приведены в табл.1
Таблица 1
Объем продаж магазина «Атлант» за 12 месяцев
Порядковый |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
месяц работы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
магазина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Атлант” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объём про- |
4+ |
3- |
6+ |
8- |
9+ |
11- |
10+ |
11- |
13+ |
14- |
15+ |
16- |
даж магазина |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
за месяц (у. |
•N |
•N |
•N |
•N |
•N |
•N |
•N |
•N |
•N |
•N |
•N |
•N |
е.) |
•К |
•К |
•К |
•К |
•К |
•К |
•К |
•К |
•К |
•К |
•К |
•К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример решения второго задания
Исходные данные приведены в табл. 2.
Таблица 2
Объем продаж магазина «Атлант» за 12 месяцев
№ п/п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Порядковый месяц ра- |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
боты магазина “Ат- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лант” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объём продаж мага- |
4 |
3 |
6 |
8 |
9 |
11 |
10 |
11 |
13 |
14 |
15 |
16 |
зина за месяц (у.е.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этап 1
5.2.1. Анализ условия задачи позволяет выделить факторный и результативный показатели:
–факторный показатель х – порядковый день работы магазина “Ат-
лант”, 1,2,3 …..12;
–результативный показатель у – объём продаж магазина за месяц
(у.е.).
12
|
|
|
|
|
|
Этап 2 |
|
|
|
|
|
|
Строим график зависимости объема продаж от времени работы мага- |
||||||||||||
зина на основании данных табл. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1. График зависимости объема продаж от времени работы магазина |
||||||||||||
Этап 3
Анализ графика, изображенного на рис. 1, показывает, что при увеличении факторного показателя Х на определенную величину наблюдается равномерное возрастание значений результативного показателя У.
Таким образом, связь между показателями описывается при помощи уравнения прямой
ух = а +bX,
где ух – результативный показатель; Х – факторный показатель; a,b – параметры уравнения регрессии.
5.2.2. Среднее значение факторного показателя х определяем по формуле
_ |
∑n |
χi |
|
(1) |
χ = |
i =1 |
|
, |
|
|
|
|||
n |
|
|||
|
|
|
||
где xi – значение факторного показателя х, i =1–12; n – число дней работы магазина, 12.
Подставляя известные значения в формулу (1), вычисляем среднее значение факторного показателя х.
x = 78 = 6,5 .
_
12
5.2.3. Среднее значение результативного показателя у определяем по формуле
13
_ |
|
∑n |
y i |
|
|
y |
= |
i = 1 |
|
, |
(2) |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
где уi – фактические значения результативного показателя у, i =1–12. Подставляя значения в формулу (2), определяем среднее значение ре-
зультативного показателя у.
y = 120 = 10 .
_
12
5.2.4. Средние квадратические отклонения факторного и результативного показателей находим по формулам
|
|
n |
|
_ |
|
|
|
|
∑(x |
−x)2 |
|
|
|||
δx = |
i=1 |
i |
|
|
, |
(3) |
|
|
|
n |
|||||
|
|
n |
|
_ |
|
|
|
|
|
∑(y |
− y) |
|
|
||
δy = |
|
i=1 |
i |
|
|
, |
(4) |
|
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
|||
где δ х – среднее квадратическое отклонение факторного показателя; δ y −
среднее квадратическое отклонение результативного показателя. Подставляя известные значения в формулы (3), (4), определяем сред-
ние квадратические отклонения факторного показателя х и результативного показателя у.
δx = 
14312 = 3,5 ,
δy = 
19412 = 4.
5.2.5.Нормативные отклонения факторного и результативного показателя вычисляем по формулам
|
|
|
|
_ |
|
|
|
txi = |
|
xi − x |
, |
|
(5) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
δx |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
t y |
|
= |
yi − |
y |
. |
(6) |
|
i |
t y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Результаты расчётов заносим в табл. 3 .
14