Материал: 2234

Р,%

Размер

Рис.16. Кривая Гаусса

Глава 5. Обработка и оценка результатов измерений

5.1. Оценка случайных величин

Для оценки погрешности измерения необходимо знать закономерности появления случайных погрешностей. Как правило, значения случайных погрешностей распределяются по нормальному закону и:

1)погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд

значений;

2)вероятность (частота) появления погрешностей, равных по величине и обратных по знаку, одинакова;

3)среднее арифметическое случайных погрешностей стремится к нулю при увеличении числа измерений.

Этому закону подчиняются случайные величины, появление которых зависит от большого количества причин, ни одна из которых не имеет решающего значения и играет малую роль в их возникновении.

Случайные погрешности оценивают средним арифметическим

полученных результатов измерений x, средним квадратичным отклонением , характеризующим разброс (рассеивание) результатов измерений и предельной погрешностью lim.

Среднее арифметическое полученных результатов – сумма действительных размеров деталей х1, х2, ….хn деленная на их число n:

51

x i 1

Около x происходит группирование всех результатов измерений, поэтому оно определяет положение центра группирования размеров. Так как истинное значение измеряемой величины неизвестно, то вместо него

пользуются средним арифметическим x.

При бесконечно большом числе измерений одной величины, x равно истинному значению величины. Практически отклонение среднего арифметического от истинного значения величины зависит от числа повторных измерений и от среднего квадратичного отклонения . Среднее квадратичное отклонение случайных погрешностей относительно центра группирования размеров определяется:

где хi – результат единичного измерения; (хi - x) – случайное отклонение

результатов измерения от x; n – число измерений.

Среднее квадратичное отклонение определяет характер случайного распределения погрешностей. На рис.17 показаны зависимости плотности вероятности Р случайных ошибок от величины случайных ошибок при различных значениях .

Рис.17.

Погрешность пр = 3 называют предельной погрешностью ряда измерений.

52

Погрешность определения среднего арифметического ряда измерений рассчитывают по формуле:

измерений, например, при n = 10 (x) = 0,316 пр, а при n = 100 (x) = 0,1 пр.

При измерениях случайные и систематические погрешности проявляются одновременно. Если систематические погрешности отсутствуют или учтены поправками, то суммарная предельная погрешность определяется по формуле:

где прi – предельные погрешности измерительных приборов, установочных мер, от температурных деформаций, деформаций от измерительного усилия и др., из которых складывается суммарная погрешность данного измерения.

Чем уже поле рассеяния, меньше величина , тем выше точность измерения, т.е. тем меньше величины случайных погрешностей измерения. По результатам измерения можно установить границы, внутри которых с определенной, заранее заданной исходя из эксплуатационных требований вероятностью, будут находиться значения многократных измерений. Эти границы определяют так называемый доверительный интервал. При законе нормального распределения доверительные интервалы определены

границами x 3 .

Доверительные интервалы – такие интервалы, между границами которых с определенными (заданными) вероятностями находится истинное значение измеряемой величины. Доверительный интервал с вероятностью Р накрывает истинное (неизвестное) значение измеряемой величины. Чем больше величина доверительного интервала, тем с большей вероятностью величина х (истинное значение измеряемой величины) попадает в этот интервал.

5.2. Правила записи и округления результатов измерений

53

Точность результатов измерений и последующих вычислений при обработке данных должна быть согласована с необходимой точностью результатов измерений. Погрешность результатов измерений следует выражать не более чем двумя значащими цифрами. Две значащие цифры следует давать в двух случаях:

-при проведении высокоточных наблюдений;

-при погрешности, выраженной числом с цифрой старшего

разряда 3, например = 22.

При обработке результатов измерений следует пользоваться правилами приближенных вычислений, а округление выполнять по следующим правилам:

1. Округлять результат измерения следует так, чтобы он оканчивался цифрой того же порядка, что и погрешность. Если значение результата измерения оканчивается нулями, то ноль отбрасывается до того разряда, который соответствует разряду погрешности.

Пример: погрешность = 0,0005 м.

После вычислений получены результаты измерения:

2. Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр (слева направо) меньше 5, то остающиеся цифры не изменяются.

Пример: = 0,06; Х = 2,3641 2,36.

3. Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр или нулей, то округление производят до ближайшего четного числа, т.е. четную последнюю оставленную цифру или ноль оставляют без изменений, нечетную увеличивают на единицу.

Пример: = 0,25

Х1 = 1,385 1,38;

Х2 = 1,355 1,36.

4. Если первая из заменяемых нулем или отбрасываемых цифр больше или равна 5, но за ней следует отличная от нуля цифра, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу.

Пример: = 12

54

Х1 = 236,51 237.

Типичные ошибки записи результата измерения представлены в табл. 5.

Таблица 5. Примеры записи результата

5.3. Обработка многократных измерений постоянных величин Многократным измерением называется измерение, результатом которого является совокупность возможных значений однократных результатов измерений y1(х), ..., y (х), где 2. Эту совокупность

представим в форме вектора-столбца y (x) = (y1(х), ..., y (х))Т. Множеству возможных векторов соответствует случайный вектор многократных

измерений Y (x) = (Y1(x),…, Y (x))T, где . — объем многократных измерений. Таким образом, измеряемая величина х, объем многократных измерений . для конкретного СИ (совокупности СИ) в рабочих условиях

измерения определяют случайный вектор многократных измерений Y (x).

Пару структурных элементов (х, ) называют планом измерения для получения вектора многократных измерений.

Разумеется, вектор многократных измерений содержит больше информации об измеряемой величине х, чем результат однократного измерения. Поэтому его следует использовать для получения оценки дисперсии и более точной оценки измеряемой величины х, т. е. для получения оценок количественных значений величин. В общем случае искомую оценку Z количественного значения величины х можно представить в виде некоторой функции от составляющих вектора многократных измерений

55