1. |
Нахождение уровней временного ряда методом скользящих |
|||||
средних |
. |
|
|
|
|
|
2. |
Оценка( ) |
сезонной компоненты ( и её корректировка ( ). |
||||
3. |
Элиминирование влияния сезонной) |
компоненты, вычитая её зна- |
||||
чение из каждого уровня исходного временного ряда: |
|
|||||
4. |
Построение уравнения линейного тренда по |
уровням ряда и расчет |
||||
|
= − . |
|||||
выравненных значений трендовой составляющей .
|
5.Расчет теоретических значений уровней ряда с учетом сезонности |
|||
|
|
|
|
= + . |
С6. Расчет случайной компоненты [1]. |
||||
|
Пр менен е сезонных фиктивных переменных при моделировании |
|||
сезонных колебан й позволяет построить регрессионную модель, в кото- |
||||
рую пом мо фактора |
включаются сезонные фиктивные перемен- |
|||
ные |
|
|
|
ė. Фактор времени позволяет учесть |
времени |
|
|||
|
тенденц . Сезонный фактор представлен фиктивными перемен- |
|||
влияние= + + |
+ |
+ |
|
|
ных, число которых должно |
ыть на единицу меньше числа рассматри- |
|||
ваемых параметров. Параметр b характеризует среднее абсолютное изме- |
||||
нение уровней ряда под воздействием тенденции. Каждая фиктивная пе- |
||||
ременная отражает сезонную (циклическую) компоненту временного ряда |
||||
для какого-либо одного периода. Она равна единице (1) для данного пе- |
||||
риода и нулю (0) для всех остальных. |
||||
|
Модель с фиктивными переменными является аналогом аддитивной |
|||
|
бА |
|||
модели временного ряда, поскольку фактический уровень временного ря- |
||||
да представляет собой сумму трендовой, сезонной и случайной компонен- |
||||
ты. Недостатком данной модели является наличие большого количества |
||||
переменных. |
|
|
|
|
|
Применение рядов Фурье приДвыявлении сезонной компоненты вре- |
|||
менного ряда – данный метод является разновидностью спектрального |
||||
анализа, с помощью которого в структуре временного ряда можно опре- |
||||
делить отклонение |
от тренда, что позволит рассчитать длительность пе- |
|||
риодических колебаний периодической компонентыИряда. Суть спектрального анализа – случайный стационарный процесс может быть представлен в виде суммы гармонических колебаний различных частот, которые называются гармониками. Функция, описывающая распределение амплитуд этого процесса по различным частотам называется спектром, который показывает, какие именно колебания преобладают в изучаемом процессе и какова его структура. Сезонную составляющую можно представить в виде модели разложения в ряд Фурье, где сезонные колебания представляют собой сумму нескольких гармоник с различными периода-
46
ми. Цель спектрального анализа – оценка спектра ряда временного ряда. Графически распределение ряда можно представить в виде периодограммы, которая отражает зависимость дисперсии от частот или периодов. Перед применением спектрального анализа из исходного ряда необходимо
удалить трендовую компоненту, чтобы определить сезонную компоненту |
|
временного ряда [2, 3]. |
|
С |
|
|
Контрольные вопросы и задания |
1. |
Что пон мается под трендом? |
2. |
Охарактер зуйте основные элементы временного ряда. |
3. |
Охарактер зуйте аддитивную модель временного ряда. |
4. |
Дайте определен е понятия «автокорреляционная функция» |
5. |
Какова сущность спектрального анализа? |
6. |
бА |
Переч сл те охарактеризуйте основные методы выявления на- |
|
личия тренда. |
|
и7.Переч сл те основные этапы построения мультипликативной и |
|
аддитивной модели временного ряда. |
|
|
Д |
|
И |
47
ущность всех методов исключения тенденции заключается в устранении воздействия фактора времени на формирование уравнений времен- Сного ряда. Общий недостаток метода исключения тенденций – данные ме-
тоды предполагают модификацию моделей регрессии из-за замены переменных л бо добавлен я в эту модель фактора времени.
Методы сключен я тенденций делятся на две группы:
ные, не содержащ е тенденции. Полученные переменные используем да-
лее для анал за вза изучаемых временных рядов. Эти методы
предполагают устранен е трендовой компоненты из каждого уровня временного ряда. К данной группе относят: метод последовательных разно-
стей, метод отклонен я от трендов.
мосвязи Основанные на преобразовании уровней ряда в новые перемен-
Основанные на зучении взаимосвязей исходных уровней временных рядов при сключении воздействия фактора времени на зависимые и незав с мые переменные модели: включение в модель регрессии фактора времени.
Метод последовательных разниц учитывает тенденцию, представленную полиномом соответствующей степени. Если в ряде динамики имеется четко выраженная линейная тенденция, необходимо её устранить пу-
тем перехода от исходных уровней ряда ( |
к цепным абсолютным при- |
|
ростам ( , тбА.е. первым разностям, поскольку) линейный тренд характери- |
||
зуется постоянным) |
абсолютным приростом. |
Цепной абсолютный прирост |
можно представить как |
|
|
= − |
и, если =Д+ + ė, то = +(ė −ė ). |
|
Если ряд динамики характеризуется тенденцией в виде параболы второй степени, для её устранения необходимо заменить исходные урав-
нения ряда на вторые разности ( |
, т.е. на величину абсолютных ускоре- |
|||
ний. Абсолютное ускорение можно)представитьИ |
||||
= −ė ė |
и если |
|
|
ė , то |
, т.е. |
первые разности являются линейной |
|||
= + + + |
|
|||
функцией от времени, а вторые разницы окажутся равными |
||||
= ( − )+2 +( − |
) |
|
|
|
= 2 +(ė − 2ė + ė ).
48
Вторые разницы не зависят от фактора времени и могут быть использованы для построения регрессии по временным рядам. Если тенденция характеризуется полиномом третьей степени, для построения модели регрессии следует использовать третью разницу, чтобы исключить тенденцию из уровней временного ряда. Недостатками данного метода явля-
ются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
применение связано с сокращением числа пар наблюдений, по ко- |
|||||||||||||
торым строится уравнение регрессии, и сокрушением числа степеней сво- |
|||||||||||||
боды; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
использован е вместо исходных уровней |
временных рядов их |
||||||||||||
тенденцию |
|
|
|
|
|
|
|||||||
приростов |
ли ускорен й приводит к потере информации, содержащейся |
||||||||||||
в исходных данных. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Метод отклонен й от тренда является более точным исключением |
|||||||||||||
тенденц |
|
з данных временных рядов, |
поскольку тенденция выражается |
||||||||||
в виде уравнен я тренда лю ой математической функции. Применение |
|||||||||||||
данного тренда позволяет исключить из каждого временного ряда соот- |
|||||||||||||
ветствующую ему |
|
|
. Влияние тенденции можно устранить пу- |
||||||||||
тем выч тан я расчетных значений |
уровней ряда из фактических. Алго- |
||||||||||||
ритм построен я регресс и при применении данного метода: |
|
||||||||||||
1.Для каждого уравнения ряда определяется уравнение тренда и |
|||||||||||||
теоретические значения |
из, |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
2.По |
каждому |
рядов |
находится |
остаточная |
величина |
||||||||
3. |
|
|
= |
− |
, |
= |
− |
. |
|
|
|
|
|
|
Строится модель |
|
|
Д |
|||||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
В линейнойбАрегрессии = ( ) параметр b показывает, как в |
|||||||||||||
среднем изменяется величина |
случайных отклонений по ряду |
с измене- |
|||||||||||
= |
|
+ |
|
|
|
|
|||||||
нием случайных колебаний ряда на |
на единицу. Если данные ряды ха- |
||||||||||||
рактеризуются |
линейной тенденцией, |
то параметр a=0, |
поскольку |
||||||||||
∑ = ∑ |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
И |
|||||
|
|
|
|
|
|
= |
и параметр b будет |
||||||
|
|
|
|
, тогда модель примет вид |
|
||||||||
выступать коэффициентом пропорциональности. Его величина будет по- |
|||||||||||||
казывать, во сколько раз случайные отклонения по ряду в среднем выше |
|||||||||||||
(ниже) случайных отклонений по ряду. |
|
|
|
|
|||||||||
Для прогноза конкретных значений необходимо перейти к уравне- |
|||||||||||||
нию, связывающему между собой уровни временного ряда, т.е. в модель |
|||||||||||||
регрессии |
|
|
|
подставляем значения dy, dx, раскрыв их содер- |
|||||||||
жание, и |
данная модель примет вид |
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
+ |
|
− |
), |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
+ + ( |
|
|
|
|
|
|
|||||
где – прогнозное значение у;
–прогноз по тренду при t=p;
–прогнозное значение х;
–прогноз х исходя из уравнения при t = p.
49
Модель регрессии по временным рядам может быть построена по исходным данным с включением в неё отдельной независимой переменной фактора времени, т.е. для двух связанных рядов динамики строится модель вида [6, 9, 11]:
= + + +ė. С
Включение в модель фактора времени позволяет устранить тенден-
цию из уровней временного ряда, что объясняется спецификой множест-
венной регресс : коэффициенты регрессии показывают изолированное
ременной на у в услов ях неизменной тенденции, т.е. при устранении тенденц . Если временные ряды характеризуются линейной тенденцией,
исходнымвлияние на результат соответствующего фактора при неизменном уровне других факторов. Коэфф циент b характеризует прямое воздействие пе-
с применениембАметода наименьших квадратов (происходит оценка параметров a, b, c);
последовательным включением в модель линейную тенденцию
ряда и линейную тенденцию остаточных величин – данный подход позволяет оценить, что уравнение регрессииДс включением фактора времени учитывает линейные тенденции для временных рядов. При наличии в рядах тенденции необходимо строить модель по исходным уровням ряда с включением фактора времени. При включении в модель регрессии факто-
ра времени необходимо учитывать, что коэффициенты при переменных остаются неизменными и характеризуют силу связиИрезультата с соответствующей объясняющей переменой. Алгоритм построения модели при данном способе включает этапы:
= |
−( |
+ |
)., |
|
|
|
|
|
ė. |
|
|
отклонениям от трендов |
|
|
|
|
|||||||
4. Строится регрессия по= |
− ( |
+ |
|
) |
|
|
|
= |
+ |
|
ė. |
5.Определяем модель для |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
заключается в том, что она позволяет |
||||||||||
Преимущество данной модели: = ( |
|
− |
)+( |
|
− |
) |
+ |
+ |
|
||
учесть всю информацию, которая содержится в исходных данных, по-
скольку значения |
, |
есть уровни исходных временных рядов. Модель |
|
|
50