Раздел 1.Понятия, определения... Вопрос:36.
36.Что такое обобщённая неравновесная термодинамика и неравновесная термодинамика граничных условий?
Это относительно новые направления феноменологической тео-
рии. Обобщённая термодинамика неравновесных процес-
сов (extended irreversible thermodynamics) имеет дело с ситуациями, когда характерное время процесса сравнимо со временем релаксации. В этом случаев выражении для энтропии, потока энтропии и скорости возникновения энтропии включают дополнительные независимые переменные состояния, в качестве которых обычно берутся реальные физические потоки (см. Muller I, Ruggery Т. Extended Thermodynimics. New-York: Springer-Verlag. 1992).
Неравновесная термодинамика граничных условий ре-
шает задачи, учитывающие то обстоятельство, что непосредственно у поверхности обтекаемого тела значения макроскопических параметров текущей среды отличаются от соответсвующих параметров, характеризующих состояние поверхности (например, температуры). Это отличие может быть описано введением некоторых эффективных граничных условий, которые имеют вид разного рода кажущихся разрывов макроскопических параметров у границ конденсированной фазы. Фактически это означает, что вместо граничных условий прилипания вводится граничное условие скольжения. Обобщённые системы феноменологических уравнений, вытекающие из выражения для граничной скорости возникновения энтропии, приводят к выявлению необычных эффектов, например, к выводу о возможности существования неравновесного поверхностного натяжения на непроницаемой границе газ-твёрдое тело или к объяснению обращенного профиля температуры в паровой фазе между двумя жидкими поверхностями (см. В. М. Жданов, В. И.Ролдугин Неравновесная термодинамика и кинетическая теория разреженных газов. УФН. 1998. Т. 168. С. 407-437).
47
Раздел 2. Свойства функций диссипации. Вопросы: 37-38.
Раздел 2. Свойства функций диссипации
3 7 . Имеется неравновесный процесс, в котором действуют две термодинамических силы, вызывая два потока? Как записать выражение для функции диссипации, зависящейтолько от потоков?
Функция диссипации, зависящая только от сил, получена в предыдущем ответе (см.формулу 55).
Выразим с помощью системы уравнений (54) обобщённые силы как функции потоков
Yi = a(L22Ji - Ll2J2), Y2 = a(LnJ2 - L2iJi), |
(61) |
где
e = (LuL22 — L\2L2\)
Подставив (61)в (53), получим величину какфункцию потоков
Ф =a [LnJf - (Ll2 + L21)7,J2 +Ln J?] . |
(62) |
38. Чему равна производная (fj 4 ?
Используя уравнение (62),вычислим производные
я т ) =a[2L22Jx -(Ll2 + L2l)J2]
\^"l/ J2
( |
( 6 3 ) |
=e{2L 1 ,J 2 - (Li a +L a i )J 1 ]
Согласно соотношению взаимности Онсагера, L\2 + L2\ — 2L\2. Тогда с учётом (61)
Лф \
тгг) =2a[L22Jl-Ll2J2) =
-- -18 -
Раздел 2. Свойства функций диссипации. Вопросы: ...38-40.
или в общем случае
0Ф\
— ' • I ^ ^
Таким образом, получено выражение, аналогичное известному в механике консервативных систем, в котором сила есть частная производная скалярного потенциала по смещению (вданном случае по потоку).
39. Чему равна производная (§т) |
П РИ наложении дополни- |
тельного условия стационарности?
Если напроизводные (64-65) наложить дополнительное условие стационарности, то они станут равными нулю, поскольку в стационарном состоянии нет потоков. Характер экстремума определяется изанализа второй производной. Например,
2 |
=2aL22>0 |
(66) |
\ OJi / |
j2 |
|
Знак неравенства следует изположительного значения сомножителей (см. ответ 32).
40. Приведите формулировку теоремы Глансдорфа-Пригожина.
Предыдущий ответ фактически является доказательством тео-
ремы Глансдорфа-Пригожина:
в стационарном состоянии функция диссипации (соответственно, скорость возрастания энтропии) минимальна при заданных значениях сил и постоянстве феноменологических коэффициентов.
Иными словами можно сказать, что в стационарном состоянии скорость возникновения энтропии минимальна при заданных внешних условиях, препятствующих достижению системой
—- 49 —
Раздел 2. Свойства функцийдиссипации. Вопросы:...40-42.
равновесного состояния. Если таких препятствий нет, то стационарное состояние переходит в равновесное, в котором скорость возникновения энтропии достигает своего абсолютного минимума
— нуля.
4 1 . С помощью каких рассуждений можно придти к выводу, что принцип Ле-Шателье применим нетолько к равновесному, нои
кстационарному состоянию?
Всоответствии с теоремой Глансдорфа-Пригожина, при установлении в системе стационарного состояния внутренние неравновесные процессы в ней действуют в направлении, вызывающем уменьшение скорости возникновения энтропии. Это значит, что система не может выйти из стационарного состояния путем самопроизвольного необратимого изменения.
Врезультате флуктуации, выводящих систему из этого состояния, в ней возникнут внутренние потоки, которые вернут её вновь в стационарное состояние. Другими словами, стационарное состояние является аттрактором всех близлежащих состояний, то есть оно устойчиво, и к нему можно применять принцип ЛеШателье.
42. Покажите, что изменения обобщённых термодинамическихсил и потоков вносят равную долю в изменение функции диссипации, если Lki = const.
Продифференцируем выражение (29)
Ji = dY Ф + dj Ф |
(67) |
Подставим в дифференциал функции диссипации, обусловленной изменением обобщённых термодинамических сил
значение потока согласно (31) в предположении Lj* = const
iк
—50 —
Раздел 2.Свойства функций диссипации. Вопрос: ...42.
Проведем суммирование в другой последовательности и воспользуемся соотношением взаимности Онсагера ЬЦ. =Ьм
кi
Вторая сумма в (69) согласно (31) равна dJk- Следовательно,
dy Ф = X)J i d Y * = ] £ Ykdh = dj* = | d * |
(70) |
Таким образом, доля, вносимая изменением обобщённых сил в приращение функции диссипации, равна доле, обусловленной изменением потоков, если феноменологические коэффициенты постоянны.
— 51 —