Материал: Задачи по математике
Задачи по математике
Пример 1. При исследовании состояния лесного массива выявлено на одном гектаре следующее число пораженных деревьев:
4 12 11 13 15 7 15 6 4 9 10 15.
Расположив полученные данные в порядке возрастания, получим вариационный ряд:
4 4 6 7 9 10 11 12 13 15 15 15.
Количество
исследованных гектаров – объем выборки 
.
оценим среднее число поражённых деревьев, приходящихся на 1 га:
.
и
.
или
коэффициент вариации
Дано: 
1)По таблице 3
.
2)Точность
1) Границы интервала:
Получим доверительный интервал (7,5; 12,7).
Пример 2. Количество ежедневных нарушений техники безопасности в цехе, сделанных за месяц, представлено следующими данными:
5 6 5 6 6 4 9 6 4 5
1 4 5 10 10 5 2 2 5 7
4 0 6 5 7 6 9 1 9 4.
Статистический ряд распределения частот будет иметь вид:
|
|
0 |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
10 |
|
|
1 |
2 |
2 |
5 |
7 |
6 |
2 |
3 |
2 |
Ломаная линия,
соединяющая точки 
, называется полигоном
частот. Для примера 2 полигон частот имеет вид:
xi
0
1
2
4
5
6
7
9
10 1
2
2
5
7
6
2
3
2
30 ximi
0
2
4
20
35
36
14
27
20
158
xi2mi
0
2
8
80
175
216
98
243
200
1022
По формуле (3) как и раньше имеем
а по формуле (8)
и
Дано: а) считая объем выборки большим и
полагая 1) Для 2) Тогда 3) Отсюда получаем искомый доверительный
интервал: (4,4;6,2).
б) считая объем выборки недостаточно
большим и рассматривая s только как оценку 1)По таблице 3
2)Точность
1) Границы интервала:
Получим доверительный интервал (4,3;6,3).
Пример 3. Вариационный ряд, записанный по
результатам 64 опытов по определению содержания нитратов (мг/кг) в огурцах,
поставляемых в магазин из совхоза, имеет вид:
0,1 0,2 0,2 0,4 1,0 1,5 2,1
2,2 2,3 2,5 2,5 3,5 3,8 3,9 4,2 4,2 4,4 4,5 5,0 5,0 5,5 5,6 5,8
6,0 6,2 6,3 6,5 6,8 6,8 6,8 7,0 7,5 7,8 7,8 7,8 7,8 8,0 8,0 8,6
8,8 9,0 9,5 9,5 9,5 9,5 9,5 10,0 10,0 10,0 11,3 11,8 11,8 11,8
11,9 12,0 12,0 12,8 13,2 13,8 13,8 14,0 14,5 15,0 15,9.
Наименьшее и наибольшее
значения данного вариационного ряда : Размах выборки R:
В примере 3 Выбираем число интервалов
Ширина каждого интервала
определяем по формуле
Принимая Интервальный статистический ряд имеет
вид
Границы интервалов
0 – 2
2 – 4
4 – 6
6 – 8
8 – 10 12 – 14
14 - 16
6
8
10
12
10
8
6
4
Графически интервальный
статистический ряд имеет вид гистограммы:
Гистограмма частот
распределения концентрации нитратов в огурцах
Если заменить границы
интервалов серединами интервалов где 1
3
5
7
9
11
13
15
6
8
10
12
10
8
6
4
имеем
xi
mi
ximi
xi2mi
1
6
6
6
3
8
24
72
5
10
50
250
7
12
84
588
9
10
90
810
11
8
88
968
13
6
78 15
4
60
900
суммы
64
480
4608
откуда
и
Имеем 1)Для 2)Тогда 3) Отсюда получаем
искомый доверительный интервал: (7,0; 8,0).
Пример
4. В контрольной точке на морской
акватории из придонного слоя отобрали 5 проб воды и определили в них содержание
растворенного кислорода, получив следующие значения (мл/л):
5,07 5,16 5,19 5,23 5,25.
Тогда
содержание растворённого кислорода в придонном слое оценим значением
Выборочные данные (мл/л): 5,07 5
,16 5,19 5,23 5,25.
Выборочное среднее: Рассчитаем рассеяние содержания
растворённого кислорода в воде по формулам (4) и (5):
Дано: 1)По таблице 3
2)Точность
2)
Границы
интервала:
Получим доверительный интервал
(5,04; 5,32).
Пример 5. Пусть имеется
генеральная совокупность с некоторой характеристикой, распределенной по
нормальному закону с дисперсией, равной Дано: n = 27, Решение.
1)
По таблице для функции
Лапласа из уравнения
2) Определим точность оценки d:
3)Находим
границы доверительного интервала:
Отсюда получаем искомый доверительный интервал:
(10,76;
13,24).
1
Пример 7.
Произведено девять проб почвы с целью определения, превышает ли концентрация
загрязняющего вещества уровень ПДК, равный 4,2 мг/кг. Получены следующие
результаты в мг/кг:
4,7
5,8 3,9 6,1 5,1 4,4 4,6 4,1 4,5
Можно
ли с надежностью 0,95 утверждать, что ПДК в среднем превышена?
Решение.
1) Вычисляем выборочное среднее:
2)
Вычисляем дисперсию:
и
выборочное среднее отклонение 3)
Так как 4)
Точность оценки
5)
Границы интервала:
Получим доверительный интервал (4,23;5,37) мг/кг.
6)Так
как Ответ:
Можно сделать вывод о превышении ПДК с заданной доверительной вероятностью
0,95.
Пример 8. В результате клинического анализа крови 10 детей
интерната определено содержание свинца в крови. Получены данные (мкг/100мл):
3,2 10,2 4,8 5,4 14,2 11,1 10,1 8,9 12,4 2,1
Можно ли утверждать с доверительной
вероятностью 0,95, что содержание свинца в крови детей не превышает в среднем
значения 9,0 мкг/100мл, выше которого возможны изменения поведения и обучения
детей?
Решение.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
суммы
xi
3,2
10,2
4,8
5,4
14,2
11,1
10,1
8,9
12,4
2,1
82,4
xi2
10,24
104,04
23,04
29,16
201,64
123,21
102,01
79,21
153,76
4,41
830,72
1) Вычисляем
выборочное среднее
2) Найдем дисперсию по
расчетной формуле:
и выборочное среднее
отклонение 3) Так как 4) Точность оценки
5) Границы интервала:
Получим доверительный
интервал (5,30; 11,18 мкг/100мл.
6)Сравним пороговое значение
концентрации свинца в крови с доверительным интервалом:
,
.
;
находим по таблице 2 
,
.
и 
.
.
.
.
.
.
.
.
, считаем 
.
,
которые вычисляются по формуле:
,
-
граничные значения интервала i,
то получим дискретный статистический ряд
,
.
, . .
находим
по таблице 2 ,
.
и 
.
.
.
.
.
Произведена выборка объема n = 27 и получено выборочное среднее характеристики
. Найти доверительный интервал,
покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики
генеральной совокупности с надежностью 
.
,
, .
найдем значение 
.
.
.
то по
таблице 3 
,
> ПДК=4,2, то
ПДК превышена.
.
то по таблице 3
.
,
и 
.
,