Материал: высшая математика1курс1сем
Односторонние
пределы:
число
А называется пределом функции
слева в точке x0,
если для любого число
>0
существует число
=
(
)>0
такое, что при
выполняется
неравенство
.
Предел
слева записывают так:
Аналогично определяется предел функции справа:
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
Предел
функции при
:
Число
А называется пределом
функции при
,
если для любого положительного числа
существует такое число М=М(
)
>0, что при всех х, удовлетворяющих
неравенству
выполняется
неравенство
.
Коротко:
36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция
называется бесконечно
большой при
,
если для
любого числа M>0
существует число
=
(М)>0,
что для всех х, удовлетворяющих
неравенству 0<
,
выполняется неравенство
.
Записывают
.
Коротко:
Функция
называется бесконечно
большой при
,
если для
любого числа M>0
найдется такое число N=N
(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству
,
выполняется неравенство
.
Коротко:
37. Односторонние пределы.
число А называется пределом функции слева в точке x0, если для любого число >0 существует число = ( )>0 такое, что при выполняется неравенство .
Предел слева записывают так:
Аналогично определяется предел функции справа:
.
Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами.
38. Сравнение бесконечно малых.
Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения:
1.
если
,
то
и
называются бесконечно
малыми одного порядка.
2.
если
то
называется бесконечно
малой более высокого порядка, чем
.
3.
если
то
называется
бесконечно
малой более низкого порядка, чем
.
4.
если
не существует, то
и
называются несравнимыми
бесконечно малыми.
Таковы
же правила сравнения б.м.ф. при
и
.
Эквивалентные бесконечно малые:
Sinx |
x,
при |
ex - 1 |
x, |
tgx |
x, |
ax - 1 |
x*lna, |
arcsinx |
x, |
ln(1+x) |
x, |
arctgx |
x, |
loga(1+x) |
x*logae |
1-cosx |
|
(1+x)k - 1 |
k*x, k>0, |
,
Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.
Бесконечно
малая функция:
Функция
называется бесконечно малой при
,
если
:
для любого числа
>0
найдется число
>0
такое, что для всех х, удовлетворяющих
неравенству 0<
,
выполняется неравенство
.
Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Док-во:
Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Док-во:
Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Док-во:
Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.
Док-во:
39. Теоремы о пределах.
Теорема:
если существует
и
и они равны между собой, то существует
=
.
Теорема:
если
,
,
то =>
1)
2)
3)
Примечание 1: 1-е и 2-е свойства распространяются на любое конечное число слагаемых или сомножителей, однако число слагаемых и сомножителей не может быть .
Примечание
2:
Теорема: если , то функция g(x) = f(x) – a является б.м. при .
Следствие: если => в окрестности т. х0 g(x) + а = f(x), где g(x)- б.м. при .
Теорема:
если
и
существуют конечные пределы, когда
,
=>
.
Теорема
(о сжатой переменной):
если
и
существуют конечные пределы
=>
существует:
.
Теорема (о пределе сложной функции):
Пусть:
х0,
,
U=f(x),
.
Сама теорема:
Если
задана сложная функция,
и
существуют конечные пределы
и
,
то
40. Первый замечательный предел.
При
вычислении пределов выражений, содержащих
тригонометрические функции, часто
используют предел
называемый
первым
замечательным пределом.
Читается: предел отноешния синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.
Доказательство:
Возьмем
круг радиуса 1, обозначим радианную
меру угла МОВ через х. пусть 0<x<
.
На рисунке
,
дуга МВ численно равна центральному
углу х,
.
Очевидно, имеем
.
На основании соответствующих формул
геометрии получаем
.
Разделим неравенство на
>0,
Получим 1<
Так
как
,
то по признаку ( о пределе промежуточной
функции) существования пределов
.
А
если x<0
=>
,
где –x>0
=>
