Курсовая работа: Векторные функции

Если V - область трехмерного пространства, то скалярное поле U можно рассматривать как функцию трех переменных x, y, z (координат точки M):

Наряду с обозначениями U=U(M), U=U(x; y; z), используют запись U=U(, где радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U(M) зависит только от двух переменных, например x и y, соответствующее скалярное поле U(x; y) называют плоским.

Аналогично: вектор можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов x, y и z: или . Вектор можно представить в виде

где P(x; y; z), Q(x; y; z), R(x; y; z) - проекции вектора на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора равна 0, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским.

Векторное поле называется однородным, если - постоянный вектор (P, Q, R - постоянные величины).

В дальнейшем будем полагать, что скалярные функции: U(x; y; z) - определяющая скалярное поле, P(x; y;z), Q(x; y; z), R(x; y; z) - задающее векторное поле, непрерывны вместе со своими частными производными.

2.2 Скалярное поле

Пусть задано скалярное стационарное поле U = f(M) = f(x; y; z) , где функцию f(x; y; z) будем всегда предполагать непрерывно дифференцируемой в рассматриваемой области.

Основной вопрос исследования скалярного поля есть вопрос об изменении функции U при переходе из одной точки пространства в другую. Для выяснения этого вопроса рассмотрим, прежде всего, геометрическое место точек, в которых величина U сохраняет постоянное значение. Это геометрическое место точек называютповерхностью уровня скалярного поля U. Ее уравнение в выбранной системе координат имеет вид: U(x; y; z) = C, где C = const. Следовательно, изменяя значения C, получаем семейство поверхностей уровня, которые заполняют всю область, где определено поле, и никакие две поверхности уровня, отвечающие различным значениям C, не имеют общих точек.

Задание всех поверхностей уровня с указанием соответствующих значений C равносильно заданию самого поля. Указанный способ изображения поля особенно удобен, если речь идет о поле, заданном в плоской области Dдвух переменных. В этом случае уравнение U(x,y) = C определяет, вообще говоря, некоторую кривую линию, называемую линией уровня плоского скалярного поля.

Такие линии различных скалярных полей всем хорошо известны: линии равных высот (горизонтали) удобны для изображения размера местности, линии равных температур (изотермы) или линии равных давлений (изобары) в метеорологии и т. д.

Производная скалярного поля по направлению

Производной скалярной функции U = f(x;,y; z) по направлению вектора

M

Рис. 8

₀(x₀; y₀; z₀) называется предел, если он существует, отношения приращения ДU₀функции при смещении из точки M₀(x₀; y₀; z₀) в направлении вектора в точку M₁(x; y; z) к величине этого смещения , когда с > 0, то есть

Следовательно, характеризует скорость изменения величины U в точке M₀ в направлении вектора .

Очевидно, что функция U имеет бесчисленное множество производных по направлениям в каждой точке M. Получим формулу для вычисления производной по направлению. Так как

где величины x₀, y₀ ,z₀, cos б, cos в, cos г фиксированы, то U(M₁) есть функция только смещения с

Обозначим эту функцию

При с = 0 имеем ш(0) = U(x₀, y₀, z₀) = U(M₀). Следовательно:

Т. е. получим формулу:

выражающую производную от функции U = f(x;,y; z) по направлению вектора

Градиент скалярного поля

Пусть задано скалярное поле U = f(x; y; z). Градиентом скалярного поля U = f(x; y; z) в точке M(x; y; z)называют вектор

Если функция U = f(x; y; z) имеет частные производные U'_x, U'_y, U'_z в каждой точке некоторой области, то скалярное поле порождает в этой области векторное поле . Преобразуем формулу для вычисления производной по направлению:

Угол между векторами и обозначим через ц, тогда скалярное произведение равно но Значит:

т.е. производная скалярной функции U = f(x; y; z) в точке M в направлении вектора равна проекции на направление вектора

Из формулы () следует, что, когда направление вектора совпадает с направлением вектора , производная по направлению имеет своё наибольшее значение, т. е. вектор , вычисленный в точке М, показывает направление наибольшего возрастания скалярного поля, и скорость его возрастания равна

Рис. 9

В направлении, перпендикулярном направлению , как это следует из формулы (),, т. е. в этом направлении из точки М поле не меняется.

Вспомним, что, если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0, нормаль к поверхности в точке M₀(x₀,y₀,z₀) может быть задана уравнением:

Теперь для скалярной функции U = f(x, y, z) построим поверхности уровня f(x, y, z) = C, тогда уравнение нормали к поверхности уровня в точке M₀(x₀, y₀, z₀) запишется:

т.е. имеет направляющий вектор

Следовательно, вектор есть вектор, перпендикулярный поверхности уровня функции U = f(x, y, z).

Свойства градиента функции:

1? Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.

2.3 Векторное поле и его циркуляция

Одной из характеристик стационарного векторного поля служат векторные линии.

Векторной называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке.

Пусть задано векторное поле

тогда вектор

коллинеарен вектору поля т. е.

Следовательно, уравнение векторных линий поля можно получить, решив систему дифференциальных уравнений:

Найдем работу, которая совершается при перемещении материальной точки Миз точки А в точку В вдоль некоторого гладкого контура L под действием непрерывного силового поля (рис. 10).

Рис. 10

Контур L разбиваем на n элементарных дуг точками

А = М₀, М₁, ..., М_i-1, М_i, ..., М_n = В.

Если элементарные дуги достаточно малы, то в силу непрерывности можно считать, что на каждой элементарной дуге сила является постоянной и равна своему значению в некоторой точке N_i,

При этих предположениях элементарная работа ДA_i, совершаемая при передвижении материальной точки вдоль дуги М_{i - 1} М_i, приближённо равна скалярному произведению

Следовательно, вся работа вдоль контура L приближённо выражается суммой

Обозначим через л длину наибольшей из хорд Тогда

Т. е. мы пришли к криволинейному интегралу второго рода, который в координатной форме имеет вид:

и который называют линейным интегралом вектора _{(x; y; z)} вдоль линии L.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L называют циркуляцией векторного поля по контуру L и обозначают:

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Т.к.

где - проекция вектора на касательную ф, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство можно записать в виде:

или

Это выражение имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция - это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L.

Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, т.к. в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: «+» - если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; «-» - в противном случае.

Поток векторного поля

Понятие потока векторного поля удобно рассматривать на примере потока жидкости, движущейся через некоторую поверхность. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, расположенную в движущейся жидкос-

Рис. 11 ти, назовем потоком жидкости через эту поверхность.

Пусть поверхность S расположена в поле скоростей частиц несжимаемой жидкости с плотностью с = 1. Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен

где - единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором , а величина

Независимо от физического смысла вектора интеграл () по поверхности называют потоком векторного поля через поверхность S.

Пусть и , тогда поток П вектора через поверхность S можно записать в виде:

Или учитывая связь поверхностных интегралов первого и второго родов, можно записать поток П через поверхностный интеграл в координатах:

Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме

Пусть задано векторное поле

Дивергенцией или расходимостью векторного поля называется скалярная функция, определяемая равенством:

На этот раз векторное поле порождает скалярное поле .

С учетом понятий дивергенции и потока векторного поля формулу Остроградского-Гаусса можно представить в форме:

т. е. поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

На основании формулы () можно записать:

и, переходя к пределу, стягивая V в точку М (при этом величина V > 0 ), имеем:

То есть есть предел отношения потока поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую точку М, к величине объёма, ограниченного этой поверхностью. Из этого следует, что дивергенция не зависит от выбора системы координат.

Если поток

то в область V втекает большее количество жидкости, чем вытекает из неё, т.е. внутри области V имеются источники жидкости.

Если П<0, то внутри области V есть стоки. Но поток векторного поля характеризует интенсивность источников и стоков лишь суммарно, т.е. при П ? 0 внутри области V могут быть как источники, так и стоки.

Для характеристики точки можно использовать.

Если, то данная точка есть источник, если - то сток.

Заметим, что можно записать с помощью символического вектора Гамильтона

в следующем виде:

Свойства дивергенции:

1? Если - постоянный вектор, то

4? , U - скалярная функция.

Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме

Вихревым вектором (вихрем), или ротором векторного поля

называется вектор, имеющий координаты:

Тем самым векторное поле порождает векторное поле вихря

Через символический вектор Гамильтона

вихревой вектор записывается как векторное произведение вектора на вектор поля , т. е.

Как легко видеть, выражение

стоящее под знаком поверхностного интеграла в формуле Стокса, представляет собой скалярное произведение вихря векторного поля на единичный вектор нормали к поверхности S.

Следовательно, формулу Стокса можно представить в векторной форме следующим образом:

Левая и правая части формулы () представляют, соответственно, циркуляцию векторного поля и поток его вихря. Значит, формула Стокса утверждает: циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку его вихря через Рис. 12поверхность S, натянутую на этот контур.

Можно определить проекцию вектора на любое направление следующим образом:

т.е. есть вектор, проекция которого на любое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ф, перпендикулярной этому направлению , к площади этой площадки, когда размеры этой площадки стремятся к нулю.

Или другими словами: есть вектор, нормальный к поверхности, на которой плотность циркуляции достигает наибольшего значения.

Это, кроме прочего, означает и то, что вихрь поля (как и градиент, так и дивергенция) не зависит от выбора системы координат, а является характеристикой самого поля.

Отметим некоторые свойства ротора:

1? Если - постоянный вектор, то

2?

3?

4? Если U - скалярная функция, а - векторная, то

2.4 Специальные векторные поля

Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция равна нулю, т.е. Примерами соленоидальных полей являются: поле скоростей вращающегося твердого тела; магнитное поле, создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электрический ток, и т.д.

Векторное поле называется безвихревым, если его ротор тождественно равен нулю в области определения поля:

Векторное поле называется потенциальным, если оно является полем градиентов некоторой скалярной функции ц(M), т. е. В этом случае функция ц(M) называется потенциалом поля.

Имеет место важное утверждение.

Теорема

Если векторное поле непрерывно дифференцируемо в замкнутой односвязной области V, то каждое из следующих четырёх предложений равносильно любому другому из них:

· - потенциальное поле;

· - безвихревое поле;

· циркуляция поля по любому замкнутому контуру, лежащему внутри области V, равна нулю;