Курсовая работа: Векторные функции

Содержание

Введение

Глава I. Криволинейные и поверхностные интегралы

1.1. Криволинейный интеграл I рода

1.2. Криволинейный интеграл II рода

1.3. Поверхностный интеграл I рода

1.4. Поверхностный интеграл II рода

1.5. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса

Глава II. Теория поля

2.1. Основные понятия теории поля

2.2. Скалярное поле

Производная скалярного поля по направлению

Градиент скалярного поля

2.3. Векторное поле и его циркуляция

Поток векторного поля

Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме

Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме

2.4. Специальные векторные поля

2.5. Оператор Лапласа. Гармонические функции

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Для описания физической реальности математикам стало не доставать основных типов чисел (целые, рациональные, иррациональные, комплексные и пр.). Чтобы иметь возможность для некоторых величин указывать не только их числовое значение, но и направление, было введено понятие вектора как направленного отрезка. Следовательно, вектор - абстракция математических объектов, характеризующихся модулем и направлением. Примерами физических векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, напряженность электрического ил магнитного поля.

Сам термин «вектор» (от лат. vector - несущий) впервые появился у Гамильтона в 1845г. В работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат термины «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение».

После введения понятия вектора были более детально разработаны правила операций над векторами, что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа. Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Она стала своеобразным языком аналитической геометрии. Векторный анализ изучает векторные и скалярные поля. Основными понятиями векторного анализа являются «градиент», «дивергенция», «ротор» («вихрь») и «лапласиан».

Многие результаты векторного исчисления получены Германом Грассманом и английским математиком Уильямом Клиффордом. Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайн Уилларда Гиббса, который в 1901г. Опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Следует отметить, что в ясно очерченном виде векторная алгебра появилась примерно на 30 лет позже первых работ по теории кватернионов (это числа, каждое из которых определяет величину и направление в пространстве). Гиббс показал связь векторной алгебры с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана. Он был большим энтузиастом распространения векторного исчисления в различных областях точных наук.

Понятие вектора может быть введено аксиоматически, тогда вектор будет пониматься как элемент векторного пространства. Развитием понятия «вектор» можно считать понятие «тензор».

Тензорное исчисление - раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление разделяется на тензорную алгебру, входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру, и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей. Тензорное исчисление является важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии. В этой связи оно впервые систематически было развито Дж.Риччи и Т.Леви-Чивитой, его часто называли «исчислением Риччи».

Термин «тензор» еще с середины XIXв. употребляется в механике при описании упругих деформаций тел. С начала XX в. аппарат тензорного исчисления систематически используется в релятивистской физике.

Изучение векторного анализа сводится к изучению дифференциального и интегрального исчисления, включающего криволинейные и поверхностные интегралы, их основные свойства и понятия; а также теорию поля, которая является обобщением основных понятий векторного анализа.

Теория поля - крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные векторные и тензорные поля. Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле.

Следовательно, мы можем выделить основную цель нашей работы: рассмотрение важнейших операций векторного анализа - градиента, ротора, циркуляции и дивергенции, а также наиболее важных теорем векторного анализа -- формулы Грина, теоремы Стокса, формулы Остроградского-Гаусса.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть понятие векторной функции;

2. Изучить особенности нахождения предела непрерывности, производной и интеграла вектор-функции;

3. Раскрыть использование векторных функций в криволинейной системе координат;

4. Проанализировать приложения векторных функций в скалярном и векторном поле.

При написании работы использованы общенаучные и специальные методы.

Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной.

Глава I. Криволинейные и поверхностные интегралы

1.1 Криволинейный интеграл I рода

Рис. 1

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая L = АВ длины l. Рассмотрим непрерывную функцию f (x; y), определенную в точках дуги L. Разобьем кривуюL последовательными точками

А₀=А, А₁, А₂, . . . , А_n=В на n дуг

₁= А₀А₁,₂= А₁А₂, . . . ,_n= А_n-1А_n.

На дуге _i выберем произвольную точку М_i (t_i ; s_i) (i = 1,2, . . . , n) (рис. 1). Обозначим l_i длину дуги _i , а

Составим интегральную сумму функции f (x,y) по кривой L:

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом I рода от функции f (x; y) по кривой L и обозначается

В случае замкнутой кривой L криволинейный интеграл I рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Основные свойства криволинейного интеграла I рода:

т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

7? Если функция f(x; y) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдется точка (x_c; y_c):

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями:

x = x (t), y=y (t), ? t ?, где x (t), y (t) непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [, ] функции. Тогда

Пусть кривая L задана явно уравнением:

Пусть кривая L задана в полярных координатах:

Геометрические приложения

· Длина кривой АВ вычисляется по формуле

Площадь цилиндрической поверхности z=f(x; y)с направляющей АВ и образующей, параллельной Oz,находится

· Масса материальной кривой АВ определяется формулой

· Статистические моменты и координаты центра тяжести кривой АВ определяются по формулам

· Для кривой АВ моменты инерции относительно осей Ox, Oy и начала координат равны:

1.2 Криволинейный интеграл II рода

Рис. 2

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая L = АВ и функция P(x;y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую Lпоследовательными точками А₀=А, А₁, А₂, . . . , А_n=В в направлении от точки А к точке В на n дуг _i= с длинами (i = 1,2, . . . , n). На каждой элементарной дуге _i возьмем точку (; ) и составим сумму вида:

где проекция дуги _i на ось Ox (рис.2).

Определение. Если при д= интегральная сумма (2.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек ( ; ), то его называют криволинейным интегралом по координате x (или II рода) от функции P(x; y) по кривой L:

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x; y) по координате y:

где проекция дуги на ось Oy.

Криволинейный интеграл II рода общего вида определяется равенством:

Основные свойства криволинейного интеграла II рода

1? При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный:

2? Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям:

3? Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy:

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается

не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями:

x = x (t), y=y (t), ? t ?, где x (t), y (t) непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [, ] функции. Тогда

Пусть кривая L задана явно уравнением:

Геометрические приложения

· Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Oxy и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

· Переменная сила на участке АВ равна

Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Для того чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования в односвязной области D (область без «дыр»), в которой существуют и непрерывны

и

необходимо и достаточно, чтобы

Замечание. Криволинейные интегралы I и II рода связаны соотношением

где и - углы, образованные касательной к кривой АВ в точке M(x; y) с осями Ox и Oy.

1.3 Поверхностный интеграл I Рода

Рис. 3

Пусть S - поверхность в трёхмерном пространстве Oxyz, а f(x; y; z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ДS₁, ДS₂, ...., ДS_i, ..., ДS_n, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами S_i (i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через л На каждом "элементарном" участке ДS_i произвольным образом выберем по точке M_i(x_i; y_i; z_i) (i = 1,...,n) и составим интегральную сумму:

Определение. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на «элементарные» участки ДS_i и от выбора точек M_iДS_i (i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом I рода от функции поверхности S и обозначается

Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x; y; z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует (теорема существования).

Основные свойства криволинейного интеграла I рода:

7? Если непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует точка (теорема о среднем значении):

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам.

Пусть выполнены условия теоремы существования, тогда, обозначив проекцию ДS_i (и площадь проекции) на плоскость Oxy через Дф_i, по теореме о среднем значении будем иметь:

где (x_i, y_i) Дф_i, а, следовательно

при данном специфическом выборе точек M_i. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции

по плоской области ф. Переходя к пределу, получаем:

Если проектировать поверхность S не на координатную плоскость Oxy, а на координатную плоскость Oxzили Oyz, то можно записать формулы для вычисления поверхностного интеграла аналогично формуле (3.5):

и

Геометрические приложения

· Площадь поверхности, заданной уравнением z=z(x; y):

· Масса поверхности S:

где - плотность распределения массы.

· Моменты, центр тяжести поверхности:

Глава II. Теория поля

2.1 Основные понятия теории поля

Теория поля - крупный раздел, физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.

К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин.

Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой области соответствует определенное число U=U(M), говорят, что в области определено, задано скалярное поле (или функция точки). Иначе говоря, скалярное поле - это скалярная функцияU(M) вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор , то говорят, что задано векторное поле (или векторная функция точки).

Примерами скалярных полей могут быть поля температуры, атмосферного давления, плотности, электрического потенциала и т.д. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра), магнитное поле, поле плотности электрического тока и т.д.

Если функция U(M) () не зависит от времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным; поле, которое меняется с течением времени называется нестационарным.

Далее будем рассматривать только стационарные поля.