тогда
Значит, подынтегральное выражение в (15) равномерно ограничено и регулярно при e--Ј--r, поэтому как и утверждалось, P(e) регулярна в нуле.
Замети теперь, что P не изменится, если в качестве круга C взять другой Cў, отличающийся от первого достаточно мало и вложенный в него. Тогда
R(l,--e)-----R(m,--e)--=--[E--+--R(l,--e)][(E-----A--(l,--e))---(E-----A--(m,--e))]--[E--+--R(m,--e)]--
Однако поскольку l--О--C не лежит внутри Cў
Поэтому P2 = P. Значит, собственные значения этого оператора равны нулю или единицы. В силу того, что R имеет в качестве своего вычета лишь конечномерные операторы, то таков и P. Поэтому при любом e < e0 след SpP(e) равен натуральному числу N(e) или нулю. В [18] показано, что это число совпадет с кратностью собственных значений, лежащих внутри C, и с размерностью P(e).
Остается доказать, что и SpP(e) является аналитической функцией от e, регулярной в нуле. Воспользуемся с этой целью леммой Фань Цуй [25]: для любой ортогональной системы {fj }1n и любого компактного оператора A верна оценка
Из нее следует, что
Поскольку при любом e размерность корневого пространства конечна, N(e) < N0 при всех e < e0. Норму ||P(e)|| тоже можно оценить равномерно. В самом деле, в силу теоремы Шура можно найти такой ортонормированный базис, в котором конечномерный P имеет на главной диагонали 1 и нули. Тогда
(P fj, fj) = 1 или 0
поэтому для любого--f--О--H
|(P--f,--f)|--Ј--||f||2
откуда ||P||--Ј--4--[16].
Поскольку P - конечномерной оператор размерности < N0, то существует не более N0 чисел sj (P) not = 0 и все эти числа меньше || P(e)|| < P0. Поэтому
По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда из этой оценки следует, что ряд
Но это значит, что s0(e) непрерывна и в тоже время принимает только целые значения, это возможно только если s0(e)--є--N. Но с другой стороны при фиксированном e подынтегральная функция в выражении для P имеет полюса только в точках e(m)(e) и с вычетами P(m), поэтому
По доказанному выше SpP(m) = Nm (e) - кратность собственного значения e(m)(e), поэтому
то есть число собственных значений, лежащих внутри C остается неизменным.
Изучим теперь некоторые свойства оператора
При фиксированном--e--подынтегральная функция имеет полюса только в точках e(m)(e) и с вычетами P(m), поэтому
По теореме 6 SpP(m) = Nm (e) - кратность собственного значения e(m)(e), поэтому как и в конечномерном случае
Для доказательства теоремы 5 остается заметить, что в силу леммы Фань Цуй верно
Поскольку оператор Pn конечномерный, то существует не более N0 чисел sj (P) not = 0 и все эти числа меньше || Pn(e)|| . Оценить эту норму равномерно можно, воспользовавшись тем, что по доказанному в теореме 6
||P(m)||--Ј--4
ибо тогда
Значит ряд SpPn (e) сходится равномерно и по теореме Вейерштрасса о суммировании ряда Pn(e) = P (e), что и завершает доказательство теоремы 5, которая теперь формулируется так:
Теорема 7 Пусть в гильбертовом пространстве H компактный оператор A(l,e), голоморфный в области B l- плоскости и в области e < e0, имеет при e = 0 в области B только одно собственное значение e0 кратности N. Тогда его собственные значения { e(n)(e)} при заданном e < e0 удовлетворяют алгебраическому уравнению
eN--+--a1(e)--eN-1--+--...--+--aN--(e)--=--_
где
а функции sn(e) определяются формулами
и являются аналитическими функциями от e, регулярными в нуле.
Замечание 4 Тот факт, что в окрестности невозмущенного собственного значения имеется хотя бы одно собственное значение, был указан в [12].
Отметим, что формулы для sn удобны для непосредственного вычисления поправок теории возмущений, если известна R(l, 0) є R0(l). В самом деле, коль скоро
и так далее.
A.3 Первый порядок теории возмущений.
Из теоремы 7 следует, что все собственные значения, лежащие в области B можно представить в виде одного или нескольких рядов
e(m)--(e)--=--e_+--e1(m)--e[--1/(pm)]+...--=--P--(e[--1/(pm)]),--m--=--1,--...--M
причем еm=1Mpm = N. (Подробное и полное доказательство этого факта содержится в [23].)
Характерной особенностью операторов A, возникающих в задачах математической физики, состоит в том, что e0 - число вещественное и
Бe(m)--(e)--Ј--_
Отсюда следует, что ряды для e(m) (e) должный иметь весьма специальный вид
где e0 , epm, ..., e(2Mm-1)pm - все вещественные и Бe2Mm pm < 0 или pm = 1 и все коэффициенты вещественны, где Mm - некоторое натуральное число. [8]. Поэтому верна теорема.
Теорема 8 Пусть в гильбертовом пространстве H задан компактный оператор A(l,e), голоморфный в области B l---плоскости и в области e < e0, и пусть все его собственные значения в указанных областях удовлетворяют условию
Бe--(e)--Ј--_
Пусть, далее, при e = 0 в области B имелось только одно вещественное собственное значение e0 произвольной кратности N. Тогда при всех достаточно малых e все собственные значения этого оператора, лежащие в B, представимы в виде рядов
где M - некоторое натуральное число, e0 , ep, ..., e(2M-1)p - все вещественные и Бe2Mp < 0 или p = 1 и все коэффициенты вещественны.
Для оправдания формального применения теории возмущений в первом порядке (не зависимо от кратности невозмущенного собственного значения) остается заметить следующее. Пусть v0 О H - собственная функция сопряженного оператора A* (l, 0), отвечающая e0 и имеющая максимальный порядок присоединения m, то в силу выражения для главной части резольвенты из [18] функция
является собственной функцией оператора A (l, 0), отличной тождественно от нуля и зависящей от e аналитически.
Теорема 9 В предположениях теоремы 8 в окрестности e0 не только одно из собственных значений A(l,--e)--допускает разложение
e(e)=e_--+--e1--e+--O(e1+[--1/p]),
но и соответствующая ему собственная функция представима в виде
u(e)--=--u_--+--u1--e+--O(e2).
Замечание 5 Особо следует отметить случай, когда при e = 0 оператор A имеет ровно N собственных функций u(n)0. В этом случае по каждой собственной функции сопряженного оператора можно построить N функций
u(n)--=--P(e)--v(n)_--=--u(n)_--+--u(n)1--e+--...
являющихся собственными функциями A. Каждой из них отвечает собственное значение представимое в виде
e(n)--(e)=e_--+--e1(n)--e+--O(e1+[--1/p]).
Эта теорема полностью оправдывает формальное применение теории возмущений в первом порядке.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 00-01-00111) и программы "Университеты России" (код 015.03.02.001)
Литеpатуpа
[1] Jones D.S. The eigenvalues of С2 u + lu when the boundary conditions are on semi-infinite domains. // Proc. Camb. Phil. Soc., 49 (1954), p. 668-684.
[2] Werner P. Resonanzphдnomene in akustischen und elektromagnetischen Wellenleitern. // Z. angew. Math. Mech. 67 (1987), N 4, p. 43-54.
[3] Davies E.B., Parnovski L. Trapped modes in acoustic waveguides. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 51 (1998), p. 477-492.
[4] Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О вещественных резонансах в волноводе с неоднородным заполнением. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2001, N 5. C. 23-25.
[5] Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О ловушечных модах волноведущих систем. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2001, N 6. C. 69-70.
[6] Малых М.Д. О поведении вложенных в непрерывный спректр собственных значений при изменении заполнения волновода. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2002, N 1. C. 61-62.
[7] Howland J.S. Puiseux series for resonances at an embedded eigenvalue. // Pacific J. Math., 55 (1974), N 1, p. 157-176.
[8] Howland J.S. On the Weinstein-Aronszajn Formula. // Arch. Rational Mech. Anal., 39 (1970), p. 323-339.
[9] Albeverio S., Hoegh-Korn R. Perturbation of resonances in quantum mechanics. // J. Math. An. Appl., 101 (1984), p. 491-513.
[10] Goldstein C.I. The singularities of the S-matrix and Green's function associated with perturbation of -D acting in a cylinder. // Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1973), p. 1303-1307.
[11] Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. М.: Наука, 1987.
[12] Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М: Мир, 1984.
[13] Гильберт Д., Курант Р. Методы математической физики. Т.1. М-Л.: ГИТТЛ, 1951, Т.2. М.: ГИТТЛ, 1945.
[14] Heuser H. Funktionalanalisis. Stuttgart: B.G. Teubner, 1975.
[15] Ладыженская О.А. Краевые задачи матемтической физики. М.: Наука, 1973.
[16] Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Rдumen. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1969.
[17] Hellwig G. Differentialoperatiren der mathematischen Physik. Berlin-Gцttingen-Heidelberg: Springer, 1964.
[18] Келдыш М.В. Избранные труды. Математика. М.: Наука, 1985.
[19] Малых М.Д. Поведение вложенных собственных значений при малых возмущениях. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2002, N 3.
[20] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. T.4. М.: Мир, 1982.
[21] Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: ГИФМЛ, 1962.
[22] Гауерт Г., Реммерт Р. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.
[23] Weierstrass K. Mathematische Werke. Bd. 4. Vorlesungen ьber die Theorie der Abelschen Transcendenten. Bearb. von G. Hettner und J. Knoblauch. Berlin: Mayer&Mьller, 1902.
[24] Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. М.-Л.: ГТТИ, 1933.
[25] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.